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数列最新核心题型专项突破之新考法
目录
数列最新核心题型专项突破之新考法 1
(一) 新高考数列题的新玩法：与三角函数、导数和概率的完美结合 1
(二) 数列与概率相结合 2
(三) 数列与三角函数相结合 29
(四) 数列和导函数相结合 37
新高考数列题的新玩法：与三角函数、导数和概率的完美结合
一、数列与三角函数的华丽邂逅
当数列与三角函数相遇，仿佛是一场绚烂的烟花盛宴。三角函数，那个充满神秘与魅力的数学领域，它的周期性、和差化积等特性，使得数列问题焕发出新的生机。在这种结合中，我们需要将三角函数的这些特性巧妙地运用到数列问题中，从而解决一些看似棘手的问题。这种结合不仅考验了我们对数列知识的掌握程度，更展现了我们对三角函数应用能力的独特魅力。
二、数列与导数的梦幻联动
数列与导数的结合，仿佛是一场梦幻般的联动。导数，作为微积分的灵魂，它能帮助我们深入剖析数列的增减性和凹凸性。在备考过程中，我们需要灵活运用导数的基本运算方法，将其巧妙地融入数列问题中。通过导数的指引，我们可以轻松地找到数列的极值点和拐点，为解题开辟出一条新的道路。这种结合不仅提升了数列问题的难度，更激发了我们探索数学奥秘的热情。
三、数列与概率的奇妙融合
数列与概率的结合，为我们呈现了一种全新的解题思路。在这种融合中，我们需要深入了解随机数列的概念，并熟练掌握概率的基础知识。通过将概率的知识与数列问题相结合，我们可以更加深入地理解数列的性质，并解决一些看似复杂的问题。这种结合不仅拓宽了我们的解题思路，更让我们领略到数学世界的奇妙与魅力。
四、备考策略：稳扎稳打，全面提升
面对这种新型的结合题型，备考策略显得尤为重要。首先，我们要确保对数列、三角函数、导数和概率等基础知识有深入的理解和掌握。只有打下坚实的基础，我们才能更好地应对各种题型。其次，我们要多做练习，通过大量的实践来加深对知识点的理解和记忆。同时，我们还要不断总结归纳各种题型和解题思路，形成自己的解题方法和技巧。最后，我们要保持积极的心态和良好的学习习惯，相信自己能够战胜困难，取得优异的成绩。
五、呈现得分率低的趋势分析：寻找短板，突破自我
在考试中，得分率较低的原因可能有很多。首先，我们要反思自己的基础知识是否扎实。如果我们对数列、三角函数、导数和概率等基础知识掌握不够牢固，就很难在解题时灵活运用。其次，我们要审视自己的解题思路是否清晰。对于复杂的结合题型，如果我们没有清晰的解题思路和方法，就容易陷入混乱和迷茫。最后，我们要检查自己的练习是否足够。缺乏足够的练习，我们就难以熟悉各种题型和解题思路，也难以提高自己的解题速度和正确率。
通过深入分析得分率低的原因，我们可以找到自己的短板，并有针对性地进行改进。只有不断突破自我，才能在高考中取得优异的成绩。让我们携手努力，共同迎接这场数学盛宴的挑战吧！
数列与概率相结合
高考数学新风尚：数列与概率的混搭舞！
（2024·内蒙古呼和浩特·一模）甲 乙 丙三名高中生进行传球训练.第一次由甲将球传出，传给乙的概率是，传给丙的概率是；乙传给甲和丙的概率都是；丙传给甲和乙的概率地都是.如此不停地传下去且假定每次传球都能被接到，记开始传球的人为第一次触球者，第次触球者是甲的概率记为.
(1)求；
(2)证明：为等比数列.
【答案】(1)，，；
(2)证明见解析.
【分析】
（1）根据互斥事件及相互独立事件的概率公式进行计算即可；
（2）根据题意得到，变形后根据等比数列的定义证明即可.
【详解】（1）根据题意知，
，
.
（2）把第次触球者是甲的概率记为，
当时，第次触球者是甲的概率为，
第次触球者不是甲的概率为，
则
而，故,
即，
所以是以为首项，以为公比的等比数列.
（2024·重庆·模拟预测）设动点每次沿数轴的正方向移动，且第次移动1个单位的概率为，移动2个单位的概率为已知表示动点在数轴上第次移动后表示的数，在第一次移动前动点在数轴的原点处．
(1)若，，求的概率；
(2)若每次移动2个单位的概率都是移动1个单位的概率的2倍．
①求的概率；
②求动点能移动到自然数处的概率
【答案】(1)
(2)① ；②
【分析】
（1）利用独立事件的概率公式可得结果.
（2）利用独立事件的概率公式及独立重复实验概率公式，结合等比数列通项公式及累加法求通项可得结果.
【详解】（1）因为，，，
所以，
即概率为；
（2）
由题意得，∴，，
（i）因为，即在次移动中恰有次移动2个单位，
所以，
（ii）由题意得，，且，
所以，即，
则数列是等比数列，公比，而，
所以
=
所以．
【点睛】
关键点点睛：本题关键是通过独立事件概率得出，利用数列构造法及累加法求出结果.
（23-24高三上·河北沧州·期末）一只LED灯能闪烁红、黄、蓝三种颜色的光，受智能程序控制每隔1秒闪一次光，相邻两次闪光的颜色不相同.若某次闪红光，则下次有的概率闪黄光；若某次闪黄光，则下次有的概率闪蓝光；若某次闪蓝光，则下次有的概率闪红光.已知第1次闪光为红光.
(1)求第4次闪光为红光的概率；
(2)求第次闪光为红光的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）由互斥加法、独立乘法公式运算即可求解.
（2）由全概率公式得递推式，构造等比数列即可求解.
【详解】（1）由题意，前4次闪光的顺序为“红黄蓝红”或“红蓝黄红”，
所以.
（2）设事件表示“第n次闪光为红光”，事件表示“第n次闪光为黄光”，事件表示“第n次闪光为蓝光”，且，，则，
由题意知，当时， ，
即，整理得，
所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
故，即第次闪红光的概率为.
（2023·浙江·二模）如图，已知的面积为1，点D，E，F分别为线段，，的中点，记的面积为；点G，H，I分别为线段，，的中点，记的面积为；…；以此类推，第n次取中点后，得到的三角形面积记为．
(1)求，，并求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据相邻两个三角形的面积关系可得，即可求解通项，
（2）先利用并项求和法求得为偶数的情况的和，再利用所得结论求得奇数的情况的和，然后写成分段形式.
【详解】（1）由题意可知,，...，
由此可知，故是以公比为的等比数列，所以.
（2）由得，，
当为偶数时，
，
当为奇数时，，
故.
（22-23高三上·江苏·期末）第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军．
(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左 中 右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左 中 右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X的分布列和期望；
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲 乙 丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn，易知．
①试证明：为等比数列；
②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为qn，比较p10与q10的大小．
【答案】(1)分布列见解析；期望为
(2)①证明见解析 ；②
【分析】（1）方法一：先计算门将每次可以扑出点球的概率，再列出其分布列，进而求得数学期望；
方法二：判断，结合二项分布的分布列和期望公式确定结论；
（2）①记第n次传球之前球在甲脚下的概率为，则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为，由条件确定的关系，结合等比数列定义完成证明；
②由①求出，比较其大小即可.
【详解】（1）方法一：的所有可能取值为，
在一次扑球中，扑到点球的概率，
所以，
，
所以的分布列如下：
0 1 2 3
方法二：依题意可得，门将每次可以扑到点球的概率为，
门将在前三次扑到点球的个数可能的取值为，易知，
所以，
故的分布列为：
0 1 2 3
所以的期望．
（2）①第次传球之前球在甲脚下的概率为，
则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为，
第次传球之前球不在甲脚下的概率为，
则，
即，又，
所以是以为首项，公比为的等比数列．
②由①可知，所以，
所以，
故．
（2024·辽宁·一模）近年来，某大学为响应国家号召，大力推行全民健身运动，向全校学生开放了两个健身中心，要求全校学生每周都必须利用课外时间去健身中心进行适当的体育锻炼.
(1)该校学生甲 乙 丙三人某周均从两个健身中心中选择其中一个进行健身，若甲 乙 丙该周选择健身中心健身的概率分别为，求这三人中这一周恰好有一人选择健身中心健身的概率；
(2)该校学生丁每周六 日均去健身中心进行体育锻炼，且这两天中每天只选择两个健身中心的其中一个，其中周六选择健身中心的概率为.若丁周六选择健身中心，则周日仍选择健身中心的概率为；若周六选择健身中心，则周日选择健身中心的概率为.求丁周日选择健身中心健身的概率；
(3)现用健身指数来衡量各学生在一个月的健身运动后的健身效果，并规定值低于1分的学生为健身效果不佳的学生，经统计发现从全校学生中随机抽取一人，其值低于1分的概率为0.12.现从全校学生中随机抽取一人，如果抽取到的学生不是健身效果不佳的学生，则继续抽取下一个，直至抽取到一位健身效果不佳的学生为止，但抽取的总次数不超过.若抽取次数的期望值不超过3且，求的最大值.
参考数据：.
【答案】(1)；
(2)；
(3)30.
【分析】
（1）利用独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式进行计算；
（2）设出事件，利用全概率公式进行求解；
（3）设抽取次数为，求出的分布列和数学期望，利用错位相减法求出，利用导函数得到其单调性，结合特殊值，求出答案.
【详解】（1）由题意得这三人中这一周恰好有一人选择健身中心健身的概率
.
（2）记事件：丁周六选择健身中心，事件：丁周日选择健身中心，
则，
由全概率公式得.
故丁周日选择健身中心健身的概率为.
（3）设从全校学生中随机抽取1人，抽取到的学生是健身效果不佳的学生的概率为，则，
设抽取次数为，则的分布列为
1 2 3
故，
又，
两式相减得，
所以
，
令，则，
因为，故令得，
即，
令时，，
故在且时单调递增，
结合，
可知当时，；
当时，；
当时，.
若抽取次数的期望值不超过3，则的最大值为30.
（2024·河南·模拟预测）甲 乙 丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式：当球在甲手中时，若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留；当球在乙手中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙；当球在丙手中时，若骰子点数大于3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传给乙．初始时，球在甲手中．
(1)设前三次投掷骰子后，球在甲手中的次数为，求随机变量的分布列和数学期望；
(2)投掷次骰子后，记球在乙手中的概率为，求数列的通项公式；
(3)设，求证：．
【答案】(1)分布列见解析；期望为
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据传球游戏的规则，可得，再根据独立事件概率公式，求解概率，再结合分布列公式，即可求数学期望；
（2）首先题意，可得关于数列的递推公式，，再通过构造求数列的通项公式；
（3）首先根据（2）的结果，求，并利用放缩法证明不等式.
【详解】（1）由题意知，．
所以随机变量的分布列为
0 1 2 3
随机变量的数学期望为.
（2）由于投掷次骰子后球不在乙手中的概率为，此时无论球在甲手中还是球在丙手中，均有的概率传给乙，故有．
变形为．
又，所以数列是首项为，公比为的等比数列．
所以．
所以数列的通项公式．
（3）由（2）可得，
则，
所以．
又因为，
所以．
综上，．
【点睛】关键点点睛：本题的关键是找到关于数列的递推公式，从而可以利用数列的知识解决问题，第三问的关键是对通项合理的放缩，从而可以求和，证明不等式.
（2024·江苏常州·模拟预测）某游戏设置了两套规则，规则A：抛掷一颗骰子n次，若n次结果向上的点数之和大于时，继续下一次抛掷，否则停止抛掷；规则B：抛掷一颗骰子一次，结果向上的点数大于2时，继续下一次抛掷，否则停止抛掷.
(1)若执行规则A，求抛掷次数恰为1次的概率；
(2)若执行规则B，证明：抛掷次数的数学期望不大于3.
【答案】(1)
(2)证明见详解
【分析】（1）先求出“抛掷一颗骰子1次向上的点数”构成的基本事件总数，再计算事件“向上的点数不大于2”的基本事件数，由古典概型的计算公式计算即可；
（2）先写出随机变量抛掷次数的所有可能的结果，写出它的分布列，计算其数学期望，计算过程用到了错位相减法.
【详解】（1）若执行规则A，抛掷次数恰为1次，
“抛掷一颗骰子1次结果向上的点数”构成的基本事件为：，共个基本事件；
事件“向上的点数不大于2”包含的基本事件为：，包含个基本事件；
由古典概型的计算公式得，
若执行规则A，抛掷次数恰为1次的概率为：．
（2）若执行规则B，抛掷次数的所有可能取值为1，2，3，…，；
显然抛掷一颗骰子1次结果向上的点数不大于2的概率为，大于2的概率为，
，，，…，
所以
，
设①，
②，
①－②，
，
得：
所以，问题得证.
（23-24高三上·河南驻马店·期末）一枚质地均匀的小正四面体，其中两个面标有数字1，两个面标有数字2.现将此正四面体任意抛掷次，落于水平的桌面，记次底面的数字之和为.
(1)当时，记为被3整除的余数，求的分布列与期望；
(2)求能被3整除的概率.
【答案】(1)分布列见解析，期望为
(2)
【分析】（1）先确定的可能值，再分别求概率列表求期望.
（2）先得到递推关系，再构造等比数列求解.
【详解】（1）由题可知，正四面体与桌面接触的数字为1和2的概率均为，
的取值可能为0，1，2.
，
，
，
则的分布列为
0 1 2
.
（2）由题可知，当时，次底面的数字之和能被3整除的概率为，
所以，则，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，即.
（23-24高三上·河南焦作·期末）为了验证某种新能源汽车电池的安全性，小王在实验室中进行了次试验，假设小王每次试验成功的概率为，且每次试验相互独立．
(1)若小王某天进行了4次试验，且，求小王这一天试验成功次数的分布列以及期望；
(2)若恰好成功2次后停止试验，，以表示停止试验时试验的总次数，求．（结果用含有的式子表示）
【答案】(1)分布列见解析；期望为
(2)
【分析】（1）利用二项分布求解；
（2）法一：先求次试验中，成功了0次或1次的概率，再利用对立事件求解；法二：先求，再利用错位相减求和.
【详解】（1）依题意，，
则，，
，
，
故的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
故．
（2）方法一：设“停止试验时试验总次数不大于”，
则，
“次试验中，成功了0次或1次”，
“次试验中，成功了0次”的概率；
“次试验中，成功了1次”的概率．
所以．
方法二：事件“”表示前次试验只成功了1次，且第次试验成功，
故，
所以，
令，
则，
两式相减得：，
则．即
（2024·湖北武汉·二模）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有1个黑球和2个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，称为1次球交换的操作，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为．
(1)求的概率分布列并求；
(2)求证：（且）为等比数列，并求出（且）．
【答案】(1)分布列见解析；；
(2)证明见解析；（且）.
【分析】（1）确定的可能取值，求出每个值相应的概率，即可得分布列，继而求得数学期望；
（2）求出、、的表达式，结合期望公式可求得的递推式，结合构造等比数列，即可证明结论，进而求得期望.
【详解】（1）可能取0，1，2，3，
则；
；
；
，
故的分布列为：
0 1 2 3
；
（2）由题可知
，
，
，
又
，
，
（且），
，故（且）为等比数列，
，
（且）.
【点睛】关键点睛：本题将概率问题和数列问题综合在一起考查，比较新颖，难度较大，解答本题的关键在于要明确n次交换后黑球的个数的概率与上一次之间的递推关系，特别是第二问，要求出概率的表达式，进而求出期望的递推式，构造数列，解决问题.
（23-24高三上·湖北·期中）小明进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为0.5.
(1)若小明共投篮4次，求在投中2次的条件下，第二次没有投中的概率；
(2)若小明进行两组训练，第一组投篮3次，投中次，第二组投篮2次，投中次，求；
(3)记表示小明投篮次，恰有2次投中的概率，记表示小明在投篮不超过n次的情况下，当他投中2次后停止投篮，此时一共投篮的次数（当投篮n次后，若投中的次数不足2次也不再继续投），证明：.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）设出事件，求出相应概率，利用条件概率公式求出答案；
（2）方法1：得到的可能取值及相应的概率，求出期望值；
方法2：得到，，得到，，由，互相独立，求出，得到答案；
（3）先计算出，再求出，，利用互斥事件求概率公式和错位相减法得到，计算出，作商比较出，从而证明出结论.
【详解】（1）设事件表示共有次投中，事件B表示第二次没投中，
则表示一共投中2次，且第二次没投中，则从剩余的三次选择两次投中，
故，
表示一共投中2次，故，
则；
（2）方法1：根据题意有可得取值为，的可能取值为，
故的可能取值为，
则，
，
，
，
，
.
所以.
方法2：因为，，
所以，.
又因为，互相独立，
所以.
（3）根据题意可知.
，，
，
记①，
②，
两式相减得，
故，
故.
所以
，
又因为，且当时，，
所以.
【点睛】常见分布列的数学期望和方差公式：
若服从两点分布，则，
若，则，
若，则.
（2024·河南·模拟预测）桌面上放有一个四个面分别标有字母A，B，C，D的正四面体.若将该正四面体轻轻推倒，其与桌面接触的面会随之更换，且其他各面与桌面接触的可能性均相等.现将该正四面体标有字母的面与桌面接触，每次将其轻轻推倒后，标有字母B，C，D的面等可能地与桌面接触.将该正四面体推倒次后，记事件“标有字母B，C，D的三个面均与桌面有过接触”发生的概率为.
(1)当时，记标有字母B，C，D的三个面与桌面有过接触的面的个数为随机变量；当时，记标有字母B，C，D的三个面与桌面有过接触的面的个数为随机变量，求随机变量X，Y的数学期望；
(2)记，若存在实数，使得数列为等比数列，求实数的值，并求.
【答案】【小题1】； 【小题2】；
【分析】（1）根据题中条件列出随机变量的分布列，即可求得期望；
（2）根据第次推到后，三个面接触桌面的情况进行分类讨论，由此得到，再根据数列为等比数列，，求得值后，即可求得的通项公式，继而可求得.
【详解】（1）根据题意,每次推到后，标有字母B，C，D的面与桌面接触的概率均为，
则随机变量的所有可能取值为，
且,
,
,
则的分布列为：
1 2 3
故
随机变量的所有取值可能为，
,
,
,
则的分布列为：
1 2 3
故
（2）根据题意，,
当时，
在次推到后，标有字母B，C，D的三个面均与桌面有过接触，
有两种情况，
第一种是次推到后，B，C，D的三个面均与桌面有过接触，
这种情况的概率为，
第二种情况是次推到后，B，C，D的三个面只有两个面与桌面有过接触，
第次推到后，剩余的一面与桌面接触，
这种情况的概率为，
所以当时，
，
所以,
,
若为等比数列，设公比为，则,
即，
，
解得,
则,
故时，是以为首项，为公比的等比数列，
则，
则，
所以.
【点睛】解答本题第二问的关键是在次推到后，标有字母B，C，D的三个面均与桌面有过接触，分两种情况进行讨论，从而得到.
（2024·安徽蚌埠·模拟预测）寒假期间小明每天坚持在“跑步3000米”和“跳绳2000个”中选择一项进行锻炼，在不下雪的时候，他跑步的概率为，跳绳的概率为，在下雪天，他跑步的概率为，跳绳的概率为．若前一天不下雪，则第二天下雪的概率为，若前一天下雪，则第二天仍下雪的概率为．已知寒假第一天不下雪，跑步3000米大约消耗能量330卡路里，跳绳2000个大约消耗能量220卡路里．记寒假第天不下雪的概率为．
(1)求，，的值，并证明是等比数列；
(2)求小明寒假第天通过运动锻炼消耗能量的期望．
【答案】(1)，，证明见解析
(2)
【分析】
（1）据题意，建立与的递推关系，通过构造出等比数列；（2）通过计算小明寒假第n天跑步的概率，进一步可以求得锻炼消耗能量的期望.
【详解】（1）依题意，，
依题意
整理得，又，
所以是首项为，公比为的等比数列．
（2）（2）由（1），寒假第n天不下雪的概率，
从而小明寒假第n天跑步的概率为，
则他第n天通过运动锻炼消耗能量为 ．
（2024·海南·模拟预测）某学校有甲 乙 丙三名保安，每天由其中一人管理停车场，相邻两天管理停车场的人不相同.若某天是甲管理停车场，则下一天有的概率是乙管理停车场；若某天是乙管理停车场，则下一天有的概率是丙管理停车场；若某天是丙管理停车场，则下一天有的概率是甲管理停车场.已知今年第1天管理停车场的是甲.
(1)求第4天是甲管理停车场的概率；
(2)求第天是甲管理停车场的概率；
(3)设今年甲 乙 丙管理停车场的天数分别为，判断的大小关系.（给出结论即可，不需要说明理由）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由题意可知：前4天管理停车场的顺序为“甲乙丙甲”或“甲丙乙甲”，结合独立事件概率乘法公式运算求解；
（2）设，由全概率公式可得，利用构造法结合等比数列分析求解；
（3）根据题意结合全概率公式可得，根据数列求和可得，进而可得结果.
【详解】（1）由题意可知：前4天管理停车场的顺序为“甲乙丙甲”或“甲丙乙甲”，
所以.
（2）设事件表示“第天甲管理停车场”，事件表示“第天乙管理停车场”，事件表示“第天丙管理停车场”，
可知，
记，则，
由题意可知：，
当时，，
即，整理得，
可得，且，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，故，
所以第天是甲管理停车场的概率为.
（3）由题意可知：当时，，
，
可得，
两式相减得：，
且，可知，即，
综上所述：对任意恒成立，可知；
令的前n项和为，则或，
可得，
可知，
又因为，
则；
综上所述：.
【点睛】关键点点睛：1.利用全概率公式建立之间的关系，即可得相应的递推公式；
2.根据递推公式利用构造法以及等比数列求的通项公式.
（23-24高三下·湖南·阶段练习）2023年10月11日，中国科学技术大学潘建伟团队成功构建255个光子的量子计算机原型机“九章三号”，求解高斯玻色取样数学问题比目前全球是快的超级计算机快一亿亿倍.相较传统计算机的经典比特只能处于0态或1态，量子计算机的量子比特（qubit）可同时处于0与1的叠加态，故每个量子比特处于0态或1态是基于概率进行计算的.现假设某台量子计算机以每个粒子的自旋状态作为是子比特，且自旋状态只有上旋与下旋两种状态，其中下旋表示“0”，上旋表示“1”，粒子间的自旋状态相互独立.现将两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑门后，粒子自旋状态等可能的变为上旋或下旋，再输入第二道逻辑门后，粒子的自旋状态有的概率发生改变，记通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为.
(1)若通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为2，且，求两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为2的概率；
(2)若一条信息有种可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率分别为，，…，，则称（其中）为这条信息的信息熵.试求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为的信息熵；
(3)将一个下旋粒子输入第二道逻辑门，当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入，否则重复输入第二道逻辑门直至其变为上旋粒子，设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为（，2，3， ，， ）.证明：当无限增大时，的数学期望趋近于一个常数.
参考公式：时，，.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据全概率公式、条件概率计算公式求得正确答案.
（2）根据独立重复事件概率计算公式求得.
（3）先求得的表达式，根据根据极限的知识证得结论成立.
【详解】（1）设“两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为个”，，1，2，
“两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为个”，
则，，
，，，
则，
故.
（2）由题知，1，2，
由（1）知，
同理可得，
则，
故的信息熵.
（3）由题知，其中，2，3，…，
则，
又，
则，①
，②
得：
，
由题知，当无限增大时，趋近于零，趋近于零，则趋近于.
所以当无限增大时，的数学期望趋近于一个常数.
【点睛】本题中有很多新定义名词，如“逻辑门”、“信息熵”，“上旋粒子”，“下旋粒子”等等.解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.
数列与三角函数相结合
数列与三角函数是高中数学中的两个重要模块，它们各自具有独特的性质和解题技巧，但在某些情况下，它们也会结合在一起，形成更为复杂的问题。在新高考中，数列与三角函数结合的题目往往具有较高的难度和综合性，因此备考策略和解题策略的制定显得尤为重要。
备考策略：
1. 扎实基础：数列和三角函数的基础知识是解题的关键。学生需要熟练掌握等差数列、等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等，以及三角函数的定义、性质、诱导公式、变换公式等。只有对基础知识有深入的理解，才能在解题时灵活运用。
2. 理解联系：数列与三角函数虽然看似是两个独立的部分，但它们之间其实存在着一定的联系。例如，等差数列的通项公式可以转化为三角函数的形式，通过三角函数的周期性、对称性等特点，可以更好地理解数列的性质。因此，在备考过程中，学生需要积极寻找数列与三角函数之间的联系，加深对两者关系的理解。
3. 大量练习：数列与三角函数的结合题目通常具有较强的综合性，需要学生在解题时灵活运用各种知识和技巧。因此，学生需要通过大量的练习来熟悉这种题型，提高解题的熟练度和准确性。在练习过程中，要注意总结归纳各种题型和解题方法，形成自己的解题思路和体系。
总之，备考新高考中的数列与三角函数结合的题目需要学生在基础知识的掌握、联系的理解、大量练习等方面下功夫。在解题时，需要仔细审题、转化问题、综合运用各种知识和技巧来找到解题的突破口。通过不断的练习和总结归纳，学生可以逐渐提高自己的解题能力和水平。
（2024·上海·二模）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．类比三角函数的三种性质：①平方关系：；②两角和公式：，③导数：定义双曲正弦函数．
(1)直接写出，具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）；
(2)当时，双曲正弦函数的图像总在直线的上方，求直线斜率的取值范围；
(3)无穷数列满足，，是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)存在，
【分析】（1）类比，写出平方关系，和角关系和导数关系，并进行证明；
（2）构造函数，，求导，分和两种情况，结合基本不等式，隐零点，得到函数单调性，进而得到答案；
（3）当时，利用数学归纳法证得排除该可能；当，同理证得，从而利用换元法即可得解.
【详解】（1）平方关系：；
和角公式：；
导数：．
理由如下：平方关系，
；
和角公式：，
故；
导数：，；
（2）构造函数，，
由（1）可知，
①当时，由，
又因为，故，等号不成立，
所以，故为严格增函数，
此时，故对任意，恒成立，满足题意；
②当时，令，
则，可知是严格增函数，
由与可知，存在唯一，使得，
故当时，，则在上为严格减函数，
故对任意，，即，矛盾；
综上所述，实数的取值范围为．
（3）当时，存在，使得，
由数学归纳法证明：，证明如下：
①当时，成立，
②假设当（为正整数）时，，
则成立.
综上：.
所以，有，即.
当时， ，
而函数的值域为，
则对于任意大于1的实数，存在不为0的实数，使得，
类比余弦二倍角公式，猜测.
证明如下：
类比时的数学归纳法，设，
易证，，，，，
所以若，
设，则，解得：或，即，
所以，于是.
综上：存在实数使得成立.
【点睛】思路点睛：对新定义的题型要注意一下几点：
（1）读懂定义所给的主要信息筛选出重要的关键点
（2）利用好定义所给的表达式以及相关的条件
（3）含有参数是要注意分类讨论的思想.
（2024·湖北·一模）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时， ．注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式．
(1)根据该公式估算的值，精确到小数点后两位；
(2)由该公式可得：．当时，试比较与的大小，并给出证明；
(3)设，证明：．
【答案】(1)；
(2)，证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】
（1）根据麦克劳林公式求得，赋值即可求得近似值；
（2）构造函数，利用导数判断其单调性和最值，即可证明；
（3）根据（2）中所得结论，将目标式放缩为 ，再裂项求和即可证明.
【详解】（1）令，则 ， ，，，
故， ， ，，，
由麦克劳林公式可得，
故.
（2）
结论：，
证明如下：
令，
令，
故在上单调递增，，
故在上单调递增，，
即证得，即．
（3）
由（2）可得当时，，且由得，
当且仅当时取等号，故当时，，
，
而
，
即有
故
而，
即证得.
【点睛】
关键点点睛：本题第三问的处理关键是能够利用第二问结论，将原式放缩为，再利用裂项求和法证明，对学生已知条件的利用能力以及综合应用能力提出了较高的要求，属综合困难题.
（23-24高三下·江西·开学考试）同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设且．若，则称a与b关于模m同余，记作（“|”为整除符号）．
(1)解同余方程：；
(2)设（1）中方程的所有正根构成数列，其中．
①若，数列的前n项和为，求；
②若，求数列的前n项和．
【答案】(1)或
(2)6072；
【分析】（1）根据同除的定义求解，（mod3），即能被3整除，从而得出x或能被3整除；
（2）①首先求出（分奇偶项），确定出，用并项求和法求和；②求出，利用两角差的正切公式变形通项，结合裂项相消法求和．
【详解】（1）由题意（mod3），所以或（），
即或（）．
（2）由（1）可得为，所以．
①因为（），所以．
则．
②（）．
因为，
所以
．
【点睛】关键点点睛：本题考查学生的阅读理解能力，创新意识，解题关键是正确理解新概念并能应用解题，本题中同余问题，实质就是除以一个质数后的余数相等，问题转化后可结合数列的求和方法，两角差的正切公式等等知识才能顺利求解．
（2024·广东·一模）已知函数．
(1)判断是否成立，并给出理由；
(2)①证明：当时，；
②证明：当时，．
【答案】(1)成立，理由见解析
(2)①证明见解析；②证明见解析
【分析】
（1）构造，二次求导得到其单调性，得到，得到答案；
（2）①变形后构造，，只需证明，求导得到其单调性，由得到证明；
②由和得到，再分组求和得到答案.
【详解】（1）恒成立，理由如下：
令，
则，令，
则在上恒成立，故在上单调递增，
其中，故在上恒成立，故在上单调递增，
故，即恒成立；
（2）①时，单调递增，故，
又，故要证，
只需证，
令，，
则只需证明，
，
令，则函数在上单调递增，
所以当时，，
所以，所以在上单调递减，
所以，故，
所以当时，；
②由（1）知，，，
由于，
所以，
所以
【点睛】
方法点睛：导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据特征式的特征而得
数列和导函数相结合
（23-24高三下·河北·开学考试）在数列中，若存在常数，使得恒成立，则称数列为“数列”．
(1)若，试判断数列是否为“数列”，请说明理由；
(2)若数列为“数列”，且，数列为等比数列，且，求数列的通项公式；
(3)若正项数列为“数列”，且，，证明：．
【答案】(1)数列不是“数列”
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据已知条件求出即可判断；
（2）根据数列为“数列”，化为，进而求得，作差有，根据已知条件化为，解出，由此求出，即可求出数列的通项公式.
（3）构造函数 ，通过导数判断函数的单调性，有在上单调递减，且，再推导出且，符合上述区间，即可证明不等式.
【详解】（1）数列不是“数列”，理由如下：
，则 ，
又 ，
所以 ，
因为不是常数，所以数列不是“数列”.
（2）因为数列为“数列”，由 ，
有 ①，
所以 ②，
两式作差得 ，
又因为数列为“数列”，所以 ，
设数列的公比为，所以 ，
即对成立，
则，得；
又，，
得，所以.
（3）设函数 ，则，
当时，，则在上单调递减，且，
因为数列为“数列”，则，
因为，，
则，故，
由此类推，可得对，，
所以，即，所以得证.
【点睛】关键点点睛：①理解“数列”的定义并运用；
②通过构造函数利用函数单调性证明不等式.
（2024·山东济宁·一模）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，证明：对任意，存在唯一的实数，使得成立；
(3)设，，数列的前项和为．证明：．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】
（1）先求函数的导函数，然后根据导函数对进行分类讨论即可；
（2）先构造函数，可判断在区间上单调递减，构造函数，根据其单调性，可判断，，进而可判断，，进而结合根的存在性定理可证；
（3）先令，时，，即，可得，放缩后裂项相消可证.
【详解】（1）
函数的定义域为，，
①若，恒成立，在上单调递增．
②若，时，，单调递增；
时，，单调递减．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）
证明：令，
则
因为，
所以，在区间上单调递减．
令，，则，
所以，时，，单调递减，时，，单调递增，
所以，，
又，所以，，所以恒成立，
又因为，，所以，．
同理可得，，
由（时等号成立）得，，即（时等号成立），
又，所以，所以恒成立，
又因为，，，所以，，
所以，区间上存在唯一实数，使得，
所以对任意，存在唯一的实数，使得成立；
（3）
证明：当时，由（1）可得，在上单调递减．
所以，时，，即．
令，，则，
即，即
令，，则，
所以，，
所以，.
【点睛】关键点点睛：第二问证明方程在区间上具有唯一解，可根据函数的单调性，和根的存在性定理综合判断；
第三问，先利用函数对进行放缩，后利用裂项相消法证明.
（2024·广东佛山·二模）已知数列满足，，且．
(1)证明为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，且数列的前项和为，证明：当时，．
【答案】(1)证明见解析，
(2)证明见解析
【分析】
（1）利用等比数列的定义证明数列是等比数列.
（2）先把数列进行适当的放缩，再用分组求和的方法求满足的关系，并证明.
【详解】（1）
因为，，
所以，，.
所以，所以，
因为．
所以是等比数列，首项，公比，所以．
（2）
由（1）可得，
先证明左边：即证明，
当时，，
所以，
所以，
再证明右边：，
因为，
所以，
即，下面证明，
即证，即证
设，，则，设，，
因为，所以函数在上单调递增，
则，即，，
所以，所以．
综上，．
【点睛】方法点睛：数列不等式的证明方法主要有：
（1）作差比较法：不等式两边作差与0比较大小.
（2）放缩比较法：对表达式适当放缩，证出不等式.
（23-24高二上·浙江绍兴·期末）物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用非常广泛．其定义是：对于函数，若满足，则称数列为牛顿数列．已知，如图，在横坐标为的点处作的切线，切线与x轴交点的横坐标为，用代替重复上述过程得到，一直下去，得到数列．

(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前n项和为，且对任意的，满足，求整数的最小值．（参考数据：，，，）
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）首先根据导数的几何意义求切线方程，并令，得到数列的递推公式，即可求解；
（2）法一，由（1）可知，，利用错位相减法求数列的前项和，代入不等式，参变分离为，转化为作差判断数列的单调性，再求数列的最大值，即可求解；
法二，利用裂项相消法求数列的前项和，代入不等式，参变分离为，转化为作商判断数列的单调性，再求数列的最大值，即可求解.
【详解】（1）
，
在点处的切线方程为：
令，得，
所以是首项为1，公比为的等比数列，
故
（2）
令
法一：错位相减法
，
，
两式相减得：
化简得：
故，
化简得
令，
则，
当时，，即，
当时，，即，
所以
从而整数；
法二：裂项相消法
由，
设且，
则，
于是，得，
即
所以

故，化简得
令，
则时，，
当当时，，即，
当时，，即，
所以
从而整数
【点睛】关键点点睛：本题的关键是第一问理解题意，理解与的关系，从而求出数列的通项公式，后面的问题迎刃而解.
（2024·广东·一模）数值线性代数又称矩阵计算，是计算数学的一个重要分支，其主要研究对象包括向量和矩阵.对于平面向量，其模定义为.类似地，对于行列的矩阵，其模可由向量模拓展为（其中为矩阵中第行第列的数，为求和符号），记作，我们称这样的矩阵模为弗罗贝尼乌斯范数，例如对于矩阵，其矩阵模.弗罗贝尼乌斯范数在机器学习等前沿领域有重要的应用.
(1)，，矩阵，求使的的最小值.
(2)，，，矩阵 求.
(3)矩阵，证明：，，.
【答案】(1)10
(2)
(3)证明见解析
【分析】
（1）根据等差数列求和公式和一元二次不等式的求解即可；
（2）总结得第对角线上的平方和为，再代入化简即可；
（3）等价转化结合放缩法得证明成立，再利用换元法和导数证明即可.
【详解】（1）由题意得.
若，则，即.
因式分解得.因为，所以.
所以使的的最小值是10.
（2）由题得第1对角线上的平方和为，
第2对角线上的平方和为
，
第对角线上的平方和为
，
第对角线上的平方和为，
所以
所以.
（3）由题意知，证明
等价于证明，
注意到左侧求和式，
将右侧含有的表达式表示为求和式有
故只需证成立，
即证成立，令，
则需证成立，
记，则在上恒成立，所以在上单调递增，
所以，
所以在上恒成立，即成立，
所以原不等式成立.
【点睛】关键点点睛：本题第三小问的关键是转化为证明，再结合放缩法转化为证明，最后利用导数证明即可.
（2024·广东广州·二模）已知数列中，.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，记为的前项和，证明：时，.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用递推关系，把换成，得到两式相减，得到，再累乘后可得到通项；
（2）用错位相减法求出，再将证明不等式作差，之后利用导数的单调性证明即可.
【详解】（1）因为，
所以，
作差可得，变形为，即，即，化简为，
因为，所以，
因为，
所以数列的通项公式为.
（2）因为，
所以，，
作差可得，
所以，
，
设，则在给定区间上递减，又
故在是减函数，，
所以当时，.
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数列最新核心题型专项突破之新考法
目录
数列最新核心题型专项突破之新考法 1
(一) 新高考数列题的新玩法：与三角函数、导数和概率的完美结合 1
(二) 数列与概率相结合 2
(三) 数列与三角函数相结合 29
(四) 数列和导函数相结合 37
新高考数列题的新玩法：与三角函数、导数和概率的完美结合
一、数列与三角函数的华丽邂逅
当数列与三角函数相遇，仿佛是一场绚烂的烟花盛宴。三角函数，那个充满神秘与魅力的数学领域，它的周期性、和差化积等特性，使得数列问题焕发出新的生机。在这种结合中，我们需要将三角函数的这些特性巧妙地运用到数列问题中，从而解决一些看似棘手的问题。这种结合不仅考验了我们对数列知识的掌握程度，更展现了我们对三角函数应用能力的独特魅力。
二、数列与导数的梦幻联动
数列与导数的结合，仿佛是一场梦幻般的联动。导数，作为微积分的灵魂，它能帮助我们深入剖析数列的增减性和凹凸性。在备考过程中，我们需要灵活运用导数的基本运算方法，将其巧妙地融入数列问题中。通过导数的指引，我们可以轻松地找到数列的极值点和拐点，为解题开辟出一条新的道路。这种结合不仅提升了数列问题的难度，更激发了我们探索数学奥秘的热情。
三、数列与概率的奇妙融合
数列与概率的结合，为我们呈现了一种全新的解题思路。在这种融合中，我们需要深入了解随机数列的概念，并熟练掌握概率的基础知识。通过将概率的知识与数列问题相结合，我们可以更加深入地理解数列的性质，并解决一些看似复杂的问题。这种结合不仅拓宽了我们的解题思路，更让我们领略到数学世界的奇妙与魅力。
四、备考策略：稳扎稳打，全面提升
面对这种新型的结合题型，备考策略显得尤为重要。首先，我们要确保对数列、三角函数、导数和概率等基础知识有深入的理解和掌握。只有打下坚实的基础，我们才能更好地应对各种题型。其次，我们要多做练习，通过大量的实践来加深对知识点的理解和记忆。同时，我们还要不断总结归纳各种题型和解题思路，形成自己的解题方法和技巧。最后，我们要保持积极的心态和良好的学习习惯，相信自己能够战胜困难，取得优异的成绩。
五、呈现得分率低的趋势分析：寻找短板，突破自我
在考试中，得分率较低的原因可能有很多。首先，我们要反思自己的基础知识是否扎实。如果我们对数列、三角函数、导数和概率等基础知识掌握不够牢固，就很难在解题时灵活运用。其次，我们要审视自己的解题思路是否清晰。对于复杂的结合题型，如果我们没有清晰的解题思路和方法，就容易陷入混乱和迷茫。最后，我们要检查自己的练习是否足够。缺乏足够的练习，我们就难以熟悉各种题型和解题思路，也难以提高自己的解题速度和正确率。
通过深入分析得分率低的原因，我们可以找到自己的短板，并有针对性地进行改进。只有不断突破自我，才能在高考中取得优异的成绩。让我们携手努力，共同迎接这场数学盛宴的挑战吧！
数列与概率相结合
高考数学新风尚：数列与概率的混搭舞！
（2024·内蒙古呼和浩特·一模）甲 乙 丙三名高中生进行传球训练.第一次由甲将球传出，传给乙的概率是，传给丙的概率是；乙传给甲和丙的概率都是；丙传给甲和乙的概率地都是.如此不停地传下去且假定每次传球都能被接到，记开始传球的人为第一次触球者，第次触球者是甲的概率记为.
(1)求；
(2)证明：为等比数列.
（2024·重庆·模拟预测）设动点每次沿数轴的正方向移动，且第次移动1个单位的概率为，移动2个单位的概率为已知表示动点在数轴上第次移动后表示的数，在第一次移动前动点在数轴的原点处．
(1)若，，求的概率；
(2)若每次移动2个单位的概率都是移动1个单位的概率的2倍．
①求的概率；
②求动点能移动到自然数处的概率
（23-24高三上·河北沧州·期末）一只LED灯能闪烁红、黄、蓝三种颜色的光，受智能程序控制每隔1秒闪一次光，相邻两次闪光的颜色不相同.若某次闪红光，则下次有的概率闪黄光；若某次闪黄光，则下次有的概率闪蓝光；若某次闪蓝光，则下次有的概率闪红光.已知第1次闪光为红光.
(1)求第4次闪光为红光的概率；
(2)求第次闪光为红光的概率.
（2023·浙江·二模）如图，已知的面积为1，点D，E，F分别为线段，，的中点，记的面积为；点G，H，I分别为线段，，的中点，记的面积为；…；以此类推，第n次取中点后，得到的三角形面积记为．
(1)求，，并求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
（22-23高三上·江苏·期末）第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军．
(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左 中 右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左 中 右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X的分布列和期望；
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲 乙 丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn，易知．
①试证明：为等比数列；
②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为qn，比较p10与q10的大小．
（2024·辽宁·一模）近年来，某大学为响应国家号召，大力推行全民健身运动，向全校学生开放了两个健身中心，要求全校学生每周都必须利用课外时间去健身中心进行适当的体育锻炼.
(1)该校学生甲 乙 丙三人某周均从两个健身中心中选择其中一个进行健身，若甲 乙 丙该周选择健身中心健身的概率分别为，求这三人中这一周恰好有一人选择健身中心健身的概率；
(2)该校学生丁每周六 日均去健身中心进行体育锻炼，且这两天中每天只选择两个健身中心的其中一个，其中周六选择健身中心的概率为.若丁周六选择健身中心，则周日仍选择健身中心的概率为；若周六选择健身中心，则周日选择健身中心的概率为.求丁周日选择健身中心健身的概率；
(3)现用健身指数来衡量各学生在一个月的健身运动后的健身效果，并规定值低于1分的学生为健身效果不佳的学生，经统计发现从全校学生中随机抽取一人，其值低于1分的概率为0.12.现从全校学生中随机抽取一人，如果抽取到的学生不是健身效果不佳的学生，则继续抽取下一个，直至抽取到一位健身效果不佳的学生为止，但抽取的总次数不超过.若抽取次数的期望值不超过3且，求的最大值.
参考数据：.
（2024·河南·模拟预测）甲 乙 丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式：当球在甲手中时，若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留；当球在乙手中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙；当球在丙手中时，若骰子点数大于3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传给乙．初始时，球在甲手中．
(1)设前三次投掷骰子后，球在甲手中的次数为，求随机变量的分布列和数学期望；
(2)投掷次骰子后，记球在乙手中的概率为，求数列的通项公式；
(3)设，求证：．
（2024·江苏常州·模拟预测）某游戏设置了两套规则，规则A：抛掷一颗骰子n次，若n次结果向上的点数之和大于时，继续下一次抛掷，否则停止抛掷；规则B：抛掷一颗骰子一次，结果向上的点数大于2时，继续下一次抛掷，否则停止抛掷.
(1)若执行规则A，求抛掷次数恰为1次的概率；
(2)若执行规则B，证明：抛掷次数的数学期望不大于3.
（23-24高三上·河南驻马店·期末）一枚质地均匀的小正四面体，其中两个面标有数字1，两个面标有数字2.现将此正四面体任意抛掷次，落于水平的桌面，记次底面的数字之和为.
(1)当时，记为被3整除的余数，求的分布列与期望；
(2)求能被3整除的概率.
（23-24高三上·河南焦作·期末）为了验证某种新能源汽车电池的安全性，小王在实验室中进行了次试验，假设小王每次试验成功的概率为，且每次试验相互独立．
(1)若小王某天进行了4次试验，且，求小王这一天试验成功次数的分布列以及期望；
(2)若恰好成功2次后停止试验，，以表示停止试验时试验的总次数，求．（结果用含有的式子表示）
（2024·湖北武汉·二模）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有1个黑球和2个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，称为1次球交换的操作，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为．
(1)求的概率分布列并求；
(2)求证：（且）为等比数列，并求出（且）．
（23-24高三上·湖北·期中）小明进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为0.5.
(1)若小明共投篮4次，求在投中2次的条件下，第二次没有投中的概率；
(2)若小明进行两组训练，第一组投篮3次，投中次，第二组投篮2次，投中次，求；
(3)记表示小明投篮次，恰有2次投中的概率，记表示小明在投篮不超过n次的情况下，当他投中2次后停止投篮，此时一共投篮的次数（当投篮n次后，若投中的次数不足2次也不再继续投），证明：.
（2024·河南·模拟预测）桌面上放有一个四个面分别标有字母A，B，C，D的正四面体.若将该正四面体轻轻推倒，其与桌面接触的面会随之更换，且其他各面与桌面接触的可能性均相等.现将该正四面体标有字母的面与桌面接触，每次将其轻轻推倒后，标有字母B，C，D的面等可能地与桌面接触.将该正四面体推倒次后，记事件“标有字母B，C，D的三个面均与桌面有过接触”发生的概率为.
(1)当时，记标有字母B，C，D的三个面与桌面有过接触的面的个数为随机变量；当时，记标有字母B，C，D的三个面与桌面有过接触的面的个数为随机变量，求随机变量X，Y的数学期望；
(2)记，若存在实数，使得数列为等比数列，求实数的值，并求.
（2024·安徽蚌埠·模拟预测）寒假期间小明每天坚持在“跑步3000米”和“跳绳2000个”中选择一项进行锻炼，在不下雪的时候，他跑步的概率为，跳绳的概率为，在下雪天，他跑步的概率为，跳绳的概率为．若前一天不下雪，则第二天下雪的概率为，若前一天下雪，则第二天仍下雪的概率为．已知寒假第一天不下雪，跑步3000米大约消耗能量330卡路里，跳绳2000个大约消耗能量220卡路里．记寒假第天不下雪的概率为．
(1)求，，的值，并证明是等比数列；
(2)求小明寒假第天通过运动锻炼消耗能量的期望．
（2024·海南·模拟预测）某学校有甲 乙 丙三名保安，每天由其中一人管理停车场，相邻两天管理停车场的人不相同.若某天是甲管理停车场，则下一天有的概率是乙管理停车场；若某天是乙管理停车场，则下一天有的概率是丙管理停车场；若某天是丙管理停车场，则下一天有的概率是甲管理停车场.已知今年第1天管理停车场的是甲.
(1)求第4天是甲管理停车场的概率；
(2)求第天是甲管理停车场的概率；
(3)设今年甲 乙 丙管理停车场的天数分别为，判断的大小关系.（给出结论即可，不需要说明理由）
（23-24高三下·湖南·阶段练习）2023年10月11日，中国科学技术大学潘建伟团队成功构建255个光子的量子计算机原型机“九章三号”，求解高斯玻色取样数学问题比目前全球是快的超级计算机快一亿亿倍.相较传统计算机的经典比特只能处于0态或1态，量子计算机的量子比特（qubit）可同时处于0与1的叠加态，故每个量子比特处于0态或1态是基于概率进行计算的.现假设某台量子计算机以每个粒子的自旋状态作为是子比特，且自旋状态只有上旋与下旋两种状态，其中下旋表示“0”，上旋表示“1”，粒子间的自旋状态相互独立.现将两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑门后，粒子自旋状态等可能的变为上旋或下旋，再输入第二道逻辑门后，粒子的自旋状态有的概率发生改变，记通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为.
(1)若通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为2，且，求两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为2的概率；
(2)若一条信息有种可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率分别为，，…，，则称（其中）为这条信息的信息熵.试求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为的信息熵；
(3)将一个下旋粒子输入第二道逻辑门，当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入，否则重复输入第二道逻辑门直至其变为上旋粒子，设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为（，2，3， ，， ）.证明：当无限增大时，的数学期望趋近于一个常数.
参考公式：时，，.
数列与三角函数相结合
数列与三角函数是高中数学中的两个重要模块，它们各自具有独特的性质和解题技巧，但在某些情况下，它们也会结合在一起，形成更为复杂的问题。在新高考中，数列与三角函数结合的题目往往具有较高的难度和综合性，因此备考策略和解题策略的制定显得尤为重要。
备考策略：
1. 扎实基础：数列和三角函数的基础知识是解题的关键。学生需要熟练掌握等差数列、等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等，以及三角函数的定义、性质、诱导公式、变换公式等。只有对基础知识有深入的理解，才能在解题时灵活运用。
2. 理解联系：数列与三角函数虽然看似是两个独立的部分，但它们之间其实存在着一定的联系。例如，等差数列的通项公式可以转化为三角函数的形式，通过三角函数的周期性、对称性等特点，可以更好地理解数列的性质。因此，在备考过程中，学生需要积极寻找数列与三角函数之间的联系，加深对两者关系的理解。
3. 大量练习：数列与三角函数的结合题目通常具有较强的综合性，需要学生在解题时灵活运用各种知识和技巧。因此，学生需要通过大量的练习来熟悉这种题型，提高解题的熟练度和准确性。在练习过程中，要注意总结归纳各种题型和解题方法，形成自己的解题思路和体系。
总之，备考新高考中的数列与三角函数结合的题目需要学生在基础知识的掌握、联系的理解、大量练习等方面下功夫。在解题时，需要仔细审题、转化问题、综合运用各种知识和技巧来找到解题的突破口。通过不断的练习和总结归纳，学生可以逐渐提高自己的解题能力和水平。
（2024·上海·二模）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．类比三角函数的三种性质：①平方关系：；②两角和公式：，③导数：定义双曲正弦函数．
(1)直接写出，具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）；
(2)当时，双曲正弦函数的图像总在直线的上方，求直线斜率的取值范围；
(3)无穷数列满足，，是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
（2024·湖北·一模）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时， ．注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式．
(1)根据该公式估算的值，精确到小数点后两位；
(2)由该公式可得：．当时，试比较与的大小，并给出证明；
(3)设，证明：．
（23-24高三下·江西·开学考试）同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设且．若，则称a与b关于模m同余，记作（“|”为整除符号）．
(1)解同余方程：；
(2)设（1）中方程的所有正根构成数列，其中．
①若，数列的前n项和为，求；
②若，求数列的前n项和．
（2024·广东·一模）已知函数．
(1)判断是否成立，并给出理由；
(2)①证明：当时，；
②证明：当时，．
数列和导函数相结合
（23-24高三下·河北·开学考试）在数列中，若存在常数，使得恒成立，则称数列为“数列”．
(1)若，试判断数列是否为“数列”，请说明理由；
(2)若数列为“数列”，且，数列为等比数列，且，求数列的通项公式；
(3)若正项数列为“数列”，且，，证明：．
（2024·山东济宁·一模）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，证明：对任意，存在唯一的实数，使得成立；
(3)设，，数列的前项和为．证明：．
（2024·广东佛山·二模）已知数列满足，，且．
(1)证明为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，且数列的前项和为，证明：当时，．
（23-24高二上·浙江绍兴·期末）物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用非常广泛．其定义是：对于函数，若满足，则称数列为牛顿数列．已知，如图，在横坐标为的点处作的切线，切线与x轴交点的横坐标为，用代替重复上述过程得到，一直下去，得到数列．

(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前n项和为，且对任意的，满足，求整数的最小值．（参考数据：，，，）
（2024·广东·一模）数值线性代数又称矩阵计算，是计算数学的一个重要分支，其主要研究对象包括向量和矩阵.对于平面向量，其模定义为.类似地，对于行列的矩阵，其模可由向量模拓展为（其中为矩阵中第行第列的数，为求和符号），记作，我们称这样的矩阵模为弗罗贝尼乌斯范数，例如对于矩阵，其矩阵模.弗罗贝尼乌斯范数在机器学习等前沿领域有重要的应用.
(1)，，矩阵，求使的的最小值.
(2)，，，矩阵 求.
(3)矩阵，证明：，，.
（2024·广东广州·二模）已知数列中，.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，记为的前项和，证明：时，.
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