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6.2.1排列+6.2.2排列数
第一练 练好课本试题
【试题来源】来自人教A，人教B，苏教版，北师大版的课本试题，进行整理和组合；
【试题难度】本次训练试题基础，适合学完新知识后的训练，起到巩固和理解新知识的目的.
【目标分析】
1.全排列问题，锻炼数学建模能力，计算能力，如第1题；
2.数字排列问题，锻炼数学建模能力，如第2题.
3.用排列数的计算，证明，计算能力，如第5，8，9题.
4.用排列解决实际问题，锻炼数学建模能力，计算能力，如第4，7题；
一、解答题
1．一位老师要给4个班轮流做讲座，每个班讲1场，有多少种轮流次序？
2．写出：（1）用0~4这5个自然数组成的没有重复数字的全部两位数；
（2）从a，b，c，d中取出2个字母的所有排列.
3．一个火车站有8股岔道，如果每股道只能停放1列火车，现要停放4列不同的火车，共有多少种不同的停放方法？
4．（1）5名运动员中有3名参加乒乓球团体比赛，如果前三场单打比赛每名运动员各出场1次，那么前三场单打比赛的顺序有几种？
（2）乒乓球比赛规定，团体比赛采取5场单打3胜制，每支球队由3名运动员参赛，前三场各出场1次，其中第1，2个出场的运动员分别还将参加第4，5场比赛.写出甲、乙、丙三人参加比赛可能的全部顺序.
5．先计算，然后用计算工具检验
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
6．用到这个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
7．一名同学有4本不同的数学书，5本不同的物理书，3本不同的化学书，现要将这些书放在一个单层的书架上.
（1）如果要选其中的6本书放在书架上，那么有多少种不同的放法？
（2）如果要将全部的书放在书架上，且不使同类的书分开，那么有多少种不同的放法？
8．求证：（1）；
（2）.
9．求证：（1）；
（2）.
【易错题目】第5，8，9题
【复盘要点】排列数的计算
【复盘训练】
（22-23高二下·北京顺义·期中）
10．计算（ ）
A． B． C． D．
（22-23高二上·全国·课时练习）
11．等于（　　）
A．107 B．323
C．320 D．348
（22-23高二上·全国·课时练习）
12．已知，则（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
（22-23高二上·全国·课时练习）
13．下列各式中与排列数相等的是（ ）
A．
B．
C．
D．
（23-24高二上·河南·阶段练习）（多选）
14．下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（23-24高二上·陕西渭南·阶段练习）（多选）
15．排列数恒等于（　　）
A． B． C． D．
（23-24高二上·全国·课时练习）(多选)
16．(多选)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的不同的所有四位数．下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．－
（2022·甘肃兰州·一模）
17．，则等于 ．
（22-23高二·全国·课堂例题）
18．求证：.
（23-24高二上·上海·课时练习）
19．解关于正整数n的方程：．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．有24种轮流次序.
【分析】根据全排列直接进行计算即可求得结果.
【详解】将4个班进行全排列，即.
答：有24种轮流次序.
2．（1）10,12,13,14,20,21,23,24,30,31,32,34,40,41,42,43；（2）ab,ac,ad,ba,bc,bd,ca,cb,cd,da,db,dc.
【分析】（1）根据题目要求直接写出即可，注意不要漏解；
（2）按照字母顺序，逐一写出符合题意的排列即可.
【详解】（1）10,12,13,14,20,21,23,24,30,31,32,34,40,41,42,43.
（2）ab,ac,ad,ba,bc,bd,ca,cb,cd,da,db,dc.
3．1680
【分析】根据题意，分析得到共有种不同的停放方法，接着计算组合数即可.
【详解】因为一个火车站有8股岔道，每股道只能停放1列火车，
现要停放4列不同的火车，则有种不同的停放方法.
4．（1）60；（2）一共18种，具体见解析.
【分析】（1）可看作是从5名运动员中选3名进行排列；
（2）分三种情况，进行3场比赛，进行4场比赛，进行5场比赛.
【详解】（1）可看作是从5名运动员中选3名进行排列，则前三场单打比赛的顺序有种；
（2）若进行3场比赛，出场顺序有“甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲”共6种；
若进行4场比赛，出场顺序有“甲乙丙甲，甲丙乙甲，乙甲丙乙，乙丙甲乙，丙甲乙丙，丙乙甲丙” 共6种；
若进行5场比赛，出场顺序有“甲乙丙甲乙，甲丙乙甲丙，乙甲丙乙甲，乙丙甲乙丙，丙甲乙丙甲，丙乙甲丙乙” 共6种；
则甲、乙、丙三人参加比赛可能的全部顺序有18种.
5．（1）；（2）；（3）；（4）.
【分析】根据排列数的计算公式直接计算即可.
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
6．648
【解析】根据三位数的首位数字不为0，首先取一个数字为首位，然后剩下的9个取2个排在后两位即可得．
【详解】第一步从9个非零数字选一个放在首位，第二步从剩下的9个个数字中选2个排在后二位．
根据分步乘法计数原理，所求的三位数有个.
【点睛】方法点睛：本题考查数字计数问题，采取的方法是特殊位置优先安排思想．对一个多位数来讲是，首位是一个特殊位置，0是一个特殊元素．本题首先安排首位的数字，然后再安排剩下的各位数字，由此可得结论．
7．（1）（2）
【分析】（1）根据题意，由排列数公式计算可得答案；
（2）根据题意，先分别计算化学、数学、物理书的排法，再由捆绑法分析三种书的排法，由分步乘法计数原理计算可得答案．
【详解】（1）根据题意，共有本书，所以从中选出6本放在书架上，
共有种选法；
（2）根据题意，将全部的书放在书架上，且不使同类的书分开，
则数学书有种放法，物理书有种放法，化学书有种放法，
3种书共有种排法，
共有种放法．
8．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）根据排列数的计算公式先化简右式，然后即可证明等式成立；
（2）将左式每一项都变形为阶乘的形式，然后进行化简计算并与右式比较，由此证明等式成立.
【详解】（1）右式左式，
故等式成立；
（2）左式右式，
故等式成立.
9．见详解.
【分析】（1）根据排列数的计算公式展开，通过计算即可证明式子成立；
（2）利用阶乘的计算公式进行展开，通分，通过计算即可证明式子成立.
【详解】（1）左边
右边，
∴结论成立，即；
（2）当时，
左边
右边，
∴结论成立，即.
10．C
【分析】
根据阶乘的定义，利用公式计算即可.
【详解】
由阶乘公式计算，.
故选：C.
11．D
【分析】
根据排列数计算即可；
【详解】.
故选：D.
12．C
【分析】
直接根据排列数的性质化简求解即可.
【详解】因为，
则，
整理可得，
解得，经检验，满足题意．
故选：C.
13．D
【分析】
根据排列数公式计算可得.
【详解】因为，故A，B错误；
而，则，故D正确；
又，故C错误；
故选：D．
14．AC
【分析】根据排列数的计算公式即可结合选项逐一求解.
【详解】，故A正确；
由上述可知，因此，故B错误；
，故C正确；
由上述可知，故D错误.
故选:AC.
15．BD
【分析】根据题意，由排列数的计算，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】，
，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
，故D正确；
故选：BD
16．CD
【分析】
可用直接法先排第一位数字，再排后三位；也可用间接法先进行全排列，再排除首位是的情况.
【详解】(直接法)先排第一位，有种方法，再排后三位有种方法，所以共有种排法；
(间接法)先进行全排列共有种排法，首位是的排法为,所以共有－排法，
故选：
17．10
【分析】
根据排列数公式运算求解即可.
【详解】因为，解得或，
且，所以.
故答案为：10.
18．证明见解析
【分析】根据排列数公式证明即可.
【详解】由排列数公式可知，
.
19．
【分析】根据排列数的计算公式即可求解.
【详解】由排列数的定义，有由此解得．
此外，原方程可化为，
再化简，可得，
即，即．舍去非整数的根，
故．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页6.2.1排列+6.2.2排列数
第一课 解透课本内容
[课标要求]1．理解排列的概念；
2．能利用计数原理推导排列数公式．
3．能解决简单的实际问题．
[明确任务]
1．理解排列的概念；【数学抽象】
2．能利用计数原理推导排列数公式． 【逻辑推理，数学运算】
3．能解决简单的实际问题．【数学建模，数学运算】
1．分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．
2．分类加法计数原理的推广
完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有 m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．
3．分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．
4．分步乘法计数原理的推广
完成一件事需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．
核心知识点1：排列
1．定义
一般地，从个不同元素中取出（）个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．
2．相同排列
两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同．
方法 判断是不是排列问题的流程
解读：①排列的定义包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“按照一定的顺序排成一列”，“按照一定的顺序排成一列”表示与元素的顺序有关．
②一个排列就是完成一件事的一种方法，不同的排列就是完成一件事的不同方法．
③判断某一问题是不是排列问题的关键是看选出的元素与顺序有关还是无关，依据为交换某两个元素的位置看对结果是否有影响，若有影响，则为排列问题，若无影响，则为非排列问题．
例如，从1，2，3，4这4个数中任取2个数相加（相乘），可得到多少个不同的和（积）．从这4个数中任取出2个数做加法（乘法），因为加法（乘法）满足交换律，它们的和（积）与顺序无关，因此就不是排列问题；如果从上面这4个数中任取2个数相减（相除），一共有多少个不同的差（商）．因为，也就是减法（除法）不满足交换律，存在被减（除）数和减（除）数的区别，取出的2个数就与顺序有关了，这就属于排列问题．
例1．判断下列问题是不是排列问题．
（1）会场有50个座位，要求选出3个座位，有多少种方法？
（2）会场有50个座位，要求选出3个座位安排3位客人入座，有多少种方法？
【解】（1）选出3个座位与顺序无关，不是排列问题．
（2）选出3个座位安排3位客人入座，“入座”与顺序有关，故是排列问题．
归纳总结 确定一个具体问题是否为排列问题的方法：
（1）首先要保证元素的无重复性，即是从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，否则不是排列问题．
（2）其次要保证元素的有序性，即安排这m个元素时是有顺序的，有序的就是排列，无序的不是排列．而检验它是否有顺序的依据是变换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序．
【举一反三】
1．下列问题是排列问题吗
(1)从个人中选取两个人去完成某项工作.
(2)从个人中选取两个人担任正、副组长.
核心知识点2：排列数与排列公式
1．排列数的定义
从个不同元素中取出（）个元素的所有不同排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示．
2．排列数公式（连乘形式）
．这里，，，并且．这个公式叫做排列数公式．
公式特征：第一个因数是，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是，共有个因数．
3．全排列和阶乘
（1）全排列：个不同元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列．这时，排列数公式中，即有，即个不同元素全部取出的排列数，等于正整数1到的连乘积．
（2）阶乘：正整数1到的连乘积，叫做的阶乘，用表示．
个不同元素的全排列数公式可以写成，可以表示为（阶乘形式）．
规定：．
解读：
排列与排列数的区别
排列与排列数是不同的概念，如从，，三个不同的元素中取出两个元素的所有不同的排列有，，，，，，其中每一种是一个排列，即排列不是数，是完成一件事的一种方法，而排列数是数．，是不同的排列，，是不同的排列，该问题的排列数是6．
排列数公式的推导
的意义：假定有排好顺序的2个空位，从个元素，，…，中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列；反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到．因此，所有不同的填法的种数就是排列数．由分步乘法计数原理完成上述填空共有种填法，所以．
由此，求可以按依次填3个空位来考虑，所以．
求可以按依次填个空位来考虑，如图，所以，
即得排列数公式（，，）．
方法 应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题的基本步骤
方法 排列数公式的形式及选择方法
（1）若要计算含有数字的排列数的值，常用连乘形式进行计算．
（2）排列数公式的阶乘的形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意提取公因式，可以简化计算
例2．（1）[河北承德2022高二联考]若，则（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
（2）[陕西榆林2022高二期中]不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】（1）由，得，得，所以或（舍去）．
（2）因为，所以，所以，所以，解得．又，，所以，所以不等式的解集为．
【答案】（1）C （2）D
归纳总结 应用排列数公式时应注意的三个方面
（1）准确展开．应用排列数公式展开时要注意展开式的项数要准确．
（2）合理约分．若运算式是分式形式，则要先约分后计算．
（3）合理组合．运算时要结合数据特点，应用乘法的交换律、结合律，进行数据的组合，可以提高运算的速度和准确性．
【举一反三】
2．计算： ．
【举一反三】
3．化简＝ ．
4．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有（ ）
A．10种 B．20种 C．25种 D．32种
5．不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
6．从甲、乙、丙三人中选出两人并站成一排的所有站法为（ ）
A．甲乙，乙甲，甲丙，丙甲
B．甲乙丙，乙丙甲
C．甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙
D．甲乙，甲丙，乙丙
7．某段铁路所有车站共发行种普通车票，那么这段铁路共有车站数是 .
8．从1、2、3、4中任取两个不同数字组成平面直角坐标系中一个点的坐标，则组成不同点的个数为 ．
（23-24高二上·广西桂林·期末）
9．用、、、、这个数字，组成没有重复数字的三位数的个数为 （用数字作答）.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)不是
(2)是
【分析】
（1）（2）根据是否与顺序有关判断即可.
【详解】（1）因为甲和乙去与乙和甲去完成这项工作是同一种选法,与顺序无关,所以不是排列问题;
（2）因为甲担任组长乙担任副组长与甲担任副组长乙担任组长是不同选法,与顺序有关,所以是排列问题.
2．30
【分析】利用排列数公式先将分子分母写成连乘形式，然后可计算出原式结果.
【详解】方法一：．
方法二：．
故答案为：.
3．
【分析】
利用排列数的计算公式求解即可.
【详解】
因为
所以
故答案为：
4．D
【分析】由分步乘法原理计算．
【详解】由题意，每个同学有2种选择，故不同报名方式为.
故选：D
5．C
【分析】由题可知，求的解集，先根据排列数的公式对不等式进行变形，进而求出的取值范围.
【详解】解：由，得：，
整理得，解得：，
由题可知，且，
则或，
即原不等式的解集为：.
故选：C.
【点睛】本题考查一元二次不等式的解集，运用到排列数的公式进行化简，属于基础题.
6．C
【解析】根据题意依次列出即可.
【详解】解：若选出的是甲、乙，
则站法有甲乙、乙甲；
若选出的是甲、丙，则站法有甲丙、丙甲；
若选出的是乙、丙，则站法有乙丙、丙乙.
故选：C.
7．
【分析】根据排列公式解方程即可.
【详解】设这段铁路共有车站个（），
所以需要普通车票种，
则，即，
解得，这段铁路共有车站数是个，
故答案为：.
8．12
【分析】
利用排列知识进行求解.
【详解】
本题相当于从4个元素中取2个元素的排列，即．
故答案为：12
9．
【分析】先排首位，然后再排十位和个位，结合分步乘法计数原理可得结果.
【详解】先排首位，可在、、、中选择一个数排，然后在剩余四个数中选择两个数排十位和个位，
由分步乘法计数原理可知，没有重复数字的三位数的个数为.
故答案为：.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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