资源简介

6.2.3组合+6.2.4组合数
第二练 强化考点训练
【试题来源】来自名校、重点市区的月考、期中、期末的优质试题.
【试题难度】难度中等，配合第二课的题型训练，加强考点的理解和扩展.
【目标分析】
1.熟记组合数公式，会应用，培养数学运算，如第1，13题.
2.会求解与组合有关的实际问题，锻炼数学建模能力，如第2题.
3.会应用排列与组合知识求解实际问题，培养数学抽象，如第5题.
（23-24高二上·江苏常州·期末）
1．（ ）
A．63 B．10 C．21 D．0
2．将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有
A．12种 B．18种 C．36种 D．54种
（2024高三·全国·专题练习）
3．A，B，C，D，E共5人排成一列，要求A与B不相邻，且C排在A后面，则共有（　　）种排法．
A．36 B．54 C．72 D．96
4．某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为（ ）
A．120种 B．84种
C．52种 D．48种
（23-24高三上·山西·期末）
5．某小组两名男生和两名女生邀请一名老师排成一排合影留念，要求两名男生不相邻，两名女生也不相邻，老师不站在两端，则不同的排法共有（ ）
A．48种 B．32种 C．24种 D．16种
（2024·贵州贵阳·一模）
6．2023年8月至10月贵州榕江举办了“超级星期六”全国美食足球友谊赛.已知第一赛季的第一个周六（8月26日）共报名了贵州贵阳烤肉队等3支省内和辽宁东港草莓队等3支省外美食足球代表队.根据赛程安排，在8月26日举行三场比赛，每支球队都要参赛，且省内代表队不能安排在同一场，则比赛的安排方式有（ ）
A．6种 B．9种 C．18种 D．36种
（23-24高三下·重庆·阶段练习）
7．将分别标有数字，，，，的五个小球放入，，三个盒子，每个小球只能放入一个盒子，每个盒子至少放一个小球.若标有数字1和2的小球放入同一个盒子，且盒子中只放一个小球，则不同的放法数为（ ）
A．28 B．24 C．18 D．12
（22-23高三上·河南·期末）
8．某班拟选派包括甲、乙在内的六名同学参加四场同一时间举行的比赛，每场比赛至少一名同学参加，且甲、乙两名同学必须参加同一场比赛，则不同的参赛方案种数为（ ）
A．180 B．240 C．360 D．480
（23-24高二上·河南焦作·期末）
9．已知为正整数，且，则 .
10．一条街道上共有12盏路灯，为节约用电又不影响照明，决定每天晚上十点熄灭其中的4盏，并且不能熄灭相邻两盏也不能熄灭两头两盏，则不同熄灯方法有 种．
（23-24高二下·辽宁·开学考试）
11．从名男生和名女生中任选三人排成一排照相，其中男生、女生各至少选一人的方法共有 种．
12．从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成_____个没有重复数字的四位数．
A．720 B．560
C．540 D．1260
（22-23高二·全国·课时练习）
13．求证：
(1)，
(2)．
【易错题目】第11题
【复盘要点】排列组合的综合应用
【典例】（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）
14．第33届奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，某高校需要选派4名大学生去当志愿者，已知该校现有9名候选人，其中4名男生，5名女生，则志愿者中至少有2名女生的选法有 种（用数字作答）.
【复盘训练】
（23-24高三上·河北沧州·期末）
15．某次乒乓球团体赛为五场三胜制，第一、二、四、五场为单打，第三场为双打，每支队伍有3名队员，每名队员出场2次，则每支队伍不同的出场安排种数为（ ）
A．18 B．27 C．36 D．45
16．某班组织文艺晚会，准备从等7个节目中选出3个节目演出，要求两个节目中至少有一个被选中，且同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的种数为（ ）
A．84 B．72 C．76 D．130
（23-24高二上·河南·期末）
17．2023年10月23日，杭州亚运会历时16天圆满结束.亚运会结束后，甲 乙 丙 丁 戊五名同学排成一排合影留念，其中甲 乙均不能站左端，且甲 丙必须相邻，则不同的站法共有（ ）
A．18种 B．24种 C．30种 D．36种
18．如将4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，则恰好有1个空盒子的放法有 种（用数字作答）．
（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）
19．雅礼中学将5名学生志愿者分配到街舞社 戏剧社 魔术社及动漫社4个社团参加志愿活动，每名志愿者只分配到1个社团 每个社团至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有 种
（23-24高三下·广东·开学考试）
20．某班元旦晚会准备了8个节目，其中歌曲节目有3个，舞蹈节目有2个，小品、相声、廆术节目各1个，要求小品、相声、魔术这3个节目不安排在第一个表演，这3个节目中最多有2个节目连续表演，且魔术在小品后面表演，则该班元旦晚会的节目表演不同的安排方式有种 ．（用数字作答）
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】根据排列数公式及组合数公式计算可得.
【详解】由题意得，故C正确.
故选：C.
2．B
【详解】试题分析：由题意知，完成这一件事可分为两步：先将标号1,2的卡片放入同一封信有种方法；再将其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有种，故选B.
考点：排列与组合
3．A
【分析】利用间接法，结合定序插空法与捆绑法，可得答案.
【详解】
利用间接法，仅考虑C排在A后面的情况，采用先排AC，然后BDE插空，共有种，
其中AB相邻的有 种（将AB捆绑，有种，然后ABC排好后DE插空），
故C排在A后面且AB不相邻的有种．
故选：A．
4．C
【分析】利用间接法，先求出8人中任选3人的方案，再求出没有女生的方案，即可求解.
【详解】8人中任选3人的组队方案有种，
没有女生的方案有种，
所以符合要求的组队方案有种.
故选：C.
5．B
【分析】
由排列组合以及分类分步计数原理即可得解.
【详解】当老师从左到右排在第二或第四位时，共有种排法，
当老师从左到右排在第三位时，共有种排法，于是共有种排法.
故选：B.
6．D
【分析】
首先理解题意，再结合组合数公式，即可求解.
【详解】由题意可知，每支省内的足球队都要和省外一支球队比赛一场，则有种方法.
故选：D
7．C
【分析】先将五个小球分为，，或，，三组，再分配到三个盒子中.
【详解】第一种情况，将五个小球按，，分为三组，则安排的方法有种；
第二种情况，将五个小球按，，分为三组，则安排的方法有种.
不同的放法数为18.
故选：.
8．B
【分析】
首先将人数分为1，1，1，3或1，1，2，2的两种情况，按照分组分配的方法，列式求解.
【详解】
6名同学分配到四场比赛，1场比赛至少分配1名同学，则分配到四场比赛的人数为1，1，1，3或1，1，2，2，
因为甲、乙两名同学必须参加同一场比赛，若甲、乙一组3个人，则从剩余的4人中，选1人和甲乙一组，共有参赛种数，
若人数为1，1，2，2，则甲乙一组，剩余的4人分为3组，则共有参赛种数，、
所以共有参赛种数.
故选：B
9．5
【分析】
根据题意，结合排列数和组合数的公式，准确计算，即可求解.
【详解】
由，根据排列数和组合数的公式，可得，解得.
故答案为：.
10．35
【分析】
记熄灭的灯为0，亮灯为1，则可将问题转化为4个0和8个1的一个排列，并且要求0不相邻，且不排在两端，结合组合的性质计算即可得.
【详解】
记熄灭的灯为0，亮灯为1，则问题是4个0和8个1的一个排列，
并且要求0不相邻，且不排在两端，
故先将1排好，在8个1形成的7个空中，选取4个插入0，
共有方法数种．
故答案为：.
11．
【分析】
对男生所选人数进行分类讨论，求出两种情况下的选法种数，结合分类加法计数原理可得结果.
【详解】
男生选人，女生选人，共有种；
男生选人，女生选人，共有种．
所以共有种方法．
故答案为：．
12．D
【分析】
分不含有和含有两种情况讨论解答.
【详解】
不含有0的四位数有(个)．
含有0的四位数有(个)．
综上，四位数的个数为720＋540＝1260．
故选：D.
13．(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】
（1）利用组合数计算公式变形，计算推理作答；
（2）利用组合数计算公式变形，计算推理作答.
【详解】（1）
因为，
所以成立；
（2）
因为，
，
所以成立.
14．105
【分析】
分别求出恰有两名女生人选、恰有3名女生人选、恰有4名女生人选的选法种数，根据分类加法计数原理，即可求得答案.
【详解】
由题意可得恰有两名女生人选的选法有种，
恰有3名女生人选的选法有种，
恰有4名女生人选的选法有种，
所以至少有两名女生人选的选法有（种），
故答案为：105
15．C
【分析】
先从3人中选出2人参加第三场双打；这2人参与除双打外的另外四场中各选一场单打，剩余一人参加剩余的两场单打即可求解．
【详解】
先从3人中选出2人参加第三场双打，有种选法；
这2人参与除双打外的另外四场中各选一场单打，剩余一人参加剩余的两场单打，有种出场安排方法，
所以由分步计数原理知：共有种不同的出场安排．
故选：B.
16．D
【分析】
求出每种情况的数量，再利用分类加法计数原理相加即可.
【详解】
依据题意分两类：第一类为：只有一个选中，
则不同演出顺序有种情况；
第二类为：同时选中，则不同演出顺序有种情况，
故不同演出顺序的种数为，
故选：D．
17．C
【分析】
分类当丙站在左端时及丙不站在左端时的情况计算即可得.
【详解】由题意可知，当丙站在左端时，有种站法；
当丙不站在左端时，有种站法.
由分类加法计数原理可得，一共有种不同的站法.
故选：C.
18．144
【分析】当恰好有1个空盒子时，必有1个盒子内放入2个小球，把其中2个小球看成1个元素，与另外2个小球共3个元素，分别放入4个盒子中，排列组合公式即可计算.
【详解】当恰好有1个空盒子时，必有1个盒子内放入2个小球，
从4个小球中取出2个小球，有种取法，
此时把这2个小球看成1个元素，与另2个小球共3个元素，分别放入4个盒子中，有种放法，
所以满足题意的方法有种．
故答案为：144
19．240
【分析】根据题意，先将5名学生志愿者分为4组，再将分好的4组安排参加4个社团参加志愿活动，结合分步计数原理，即可求解.
【详解】根据题意，分2步进行分析：
①将5名学生志愿者分为4组，有种分组方法，
②将分好的4组安排参加4个社团参加志愿活动，有种情况，
则有种分配方案.
故答案为：.
20．10800
【分析】
首先排歌曲和舞蹈，再排小品、相声、魔术，最后根据分步乘法即可得到答案.
【详解】
先将歌曲和舞蹈节目排好，有种，
再将小品、相声、魔术这3个节目排好，有种，
则该班元旦晚会的节目表演不同的安排方式有种.
故答案为：10800.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页6.2.3组合+6.2.4组合数
第二课 归纳核心考点
题型一 组合的概念
例1 判断下列问题是排列问题，还是组合问题.
（1）从1，2，3，…，9这9个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？
（2）从1，2，3，…，9这9个数字中任取3个，然后把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有多少个？
（3）5个人规定相互通话一次，共通了多少次电话？
（4）5个人相互写一封信，共写了多少封信？
【解析】（1）取出3个数字后，如果改变3个数字的顺序，会得到不同的三位数，此问题不但与取出的元素有关，而且与元素的安排顺序有关，是排列问题.
（2）取出3个数字之后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其和均不变，此问题只与取出的元素有关，而与元素的安排顺序无关，是组合问题.
（3）甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，无顺序区别，是组合问题.
（4）发信人与收信人是有区别的，是排列问题.
【方法总结】排列、组合问题区分的标志是有无顺序，区分有无顺序的方法是把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化.若有新变化，则说明有顺序，是排列问题；若无新变化，则说明无顺序，是组合问题.
【变式训练1-1】
1．判断下列问题是排列问题还是组合问题.
(1)把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分1张，而且票必须分完，有多少种分配方法？
(2)从2，3，5，7，11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成1个分数，共能构成多少个不同的分数？
(3)若已知集合，则集合的子集中有3个元素的有多少？
(4)在北京、上海、广州、成都4个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？
题型二组合数的计算、化简与证明
例2 （1）计算：；
（2）求值：；
（3）证明：.
（1）【解】.
（2）【解】由组合数的定义知则.
又，故或.
当时，；
当时，.
（3）【证明】.
【方法总结】（1）组合数公式形式的选择规律：
①公式，一般用于求值、计算；
②公式（n，，且），一般用于化简、证明.
（2）根据题目特点合理选用组合数的两个性质：，能起到简化运算的作用，需熟练掌握.
（3）与排列组合有关的方程、不等式，化简、证明问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质.求解时，要注意由中的n，，且确定n，m的范围，因此求解后要验证所得结果是否符合题意.
（4）要注意公式的逆向应用.
【变式训练2-1】
[安徽宣城六校2022高二期中]
2．关于排列组合数，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-2】
[湖北黄石2021高二期末]
3．若，则 .
4．计算： （用数值作答）
[天津新华中学2022高二期中]
5．若，则x的值为
6．已知，则的值为 （用数字作答）.
题型三 有限制条件的组合问题
例3 现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名.按下列要求各有多少种不同的选法？
（1）选出2名教师去参加会议；
（2）选出2名男教师或2名女教师去参加会议；
（3）选出男、女教师各2名去参加会议；
（4）选出2名教师去参加会议，恰有1名男教师；
（5）选出2名教师去参加会议，至少有1名男教师；
（6）选出2名教师去参加会议，至多有1名男教师.
【解】（1）从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，则共有（种）不同选法.
（2）可把问题分两类：
第一类，选出的2名是男教师有种选法；
第二类，选出的2名是女教师有种选法.
根据分类加法计数原理，共有（种）不同选法.
（3）可把问题分两步：
第一步，从6名男教师中选2名有种选法；
第二步，从4名女教师中选2名有种选法.
根据分步乘法计数原理，共有（种）不同选法.
（4）2名教师中恰有1名男教师，则选出1男1女，有（种）不同选法.
（5）（直接法）至少有1名男教师可分两类：1男1女有种选法，2男0女有种选法.根据分类加法计数原理，共有（种）不同选法.
（间接法）选出2名教师去参加会议，至少有1名男教师，也就是从10名教师中选出2名教师去参加会议的选法种数减去2名都是女教师的选法种数，即（种）不同选法.
（6）（直接法）至多有1名男教师包括两类：1男1女有种选法，0男2女有种选法.
由分类加法计数原理，有（种）不同选法.
（间接法）选出2名教师去参加会议，至多有1名男教师，也就是从10名教师中选出2名教师去参加会议的选法种数减去2名都是男教师的选法种数，即（种）不同选法.
【方法总结】有限制条件的组合问题主要有两类：
（1）“含”与“不含”问题，常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数.
（2）“至多”“至少”问题，常有两种解决思路.一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏.
特别地，直接法求解时，应坚持“特殊元素优先选取”的原则，即优先安排特殊元素，再安排其他元素.而选择间接法的原则是“正难则反”，也就是若正面问题分类较多，较复杂或计算量较大，不妨从反面问题入手，看是否简捷些，特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此.此时正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键.
【变式训练3-1】
7．从名教师和名学生中，选出人参加“我和我的祖国”快闪活动．要求至少有一名教师入选，且入选教师人数不多于入选学生人数，则不同的选派方案的种数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】
[江苏盐城2021高二月考]
8．在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6门．学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（ ）
A．若任意选科，选法总数为
B．若化学必选，选法总数为
C．若政治和地理至少选一门，选法总数为
D．若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为
【变式训练3-3】
[河北衡水2022高二月考]
9．将编号为1、2、3、4、5、6的六个小球放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是（ ）
A．20 B．40 C．68 D．96
【变式训练3-4】
[山西大学附中2022高二月考]
10．现有个不同小球，其中红色、黄色、蓝色、绿色小球各个，从中任取个，要求这个小球不能是同一颜色，且红色小球至多个，不同的取法为 ．
易错点1：曲解题意、重复计数致错
例1 有编号分别为1，2，3，4的4个盒子和4个不同的小球，把小球全部放入盒内.
（1）共有多少种放法？
（2）恰有1个盒子不放球，有多少种放法？
【错解】（1）由已知，相当于对4个盒子全排列，故有（种）放法.
（2）从4个小球中任取3个，有种取法，从4个盒子中任取3个，有种取法，将3个小球放到取出的3个盒子中，有种放法，再将余下的1个小球放到3个盒子中的1个，有3种放法，所以放法有（种）.
【错因分析】（1）没有理解题意，这里的任务是把小球全部放入盒内即可，并没有要求每盒中放1个小球.
（2）属于重复计数问题.若取出的3个小球为1号、2号、3号，则4号小球放入盒中时，其中一种方式为2，3，（1，4）；若取出的3个小球为2号、3号、4号，则1号小球放入盒中时，其中也有一种方式为2，3，（1，4），故出现重复计算.
【正解】（1）一个球一个球地放到盒子里去，每个球都有4种独立的放法，由分步乘法计数原理知，放法共有（种）.
（2）由题设，必有1个盒子中放入2个小球，从4个小球中取2个，有种取法，此时把它看作1个小球，与另2个小球共3个小球放入4个盒子中的3个盒子内，有种放法，所以有（种）放法.
易错警示 解决排列与组合问题时要注意理解题意，明确排列或组合问题的限制条件.解决排列、组合综合问题时一般先选后排.
针对训练1-1
[湖南张家界2022高二期末]
11．北京冬奥会期间，将5名志愿者全部分配到花样滑冰 短道速滑 高山滑雪3个项目进行服务，每名志愿者只分配到一个项目，每个项目至少分配一名志愿者，并且甲 乙两名志愿者必须分配在一起，则不同的分配方式有（ ）
A．24 B．36 C．54 D．72
针对训练1-2
12．袋中装有编号分别为1，2，3，4的4个白球和编号分别为1，2，3，4的4个黑球，从中选取4个球．则既有白球又有黑球，且编号和为偶数的共有 种．
易错点2：要正确区分分堆与分配问题　　
例2　有12本不同的书，分成4堆.
（1）若每堆3本，有几种方法？
（2）若4堆依次为1本，3本，4本，4本，有几种分法？
（3）若4堆依次为1本，2本，3本，6本，有几种分法？(只要求列出算式)
[错解]（1）有CCCC种分法；
（2）有CCCC种分法；
（3）有CCCC种分法.
[辨析]　A、B、C、D四本书平均为分两堆，只有AB，CD；AC，BD；AD，BC三种分法，而CC＝6，显然计数错误，原因是先从4本书中选取AB，再取CD和先取CD，再取AB是同一种分法，上述错解犯了相同的错误.
[正解]　（1）有分法种.
（2）有分法种.
（3）有分法种.
【方法总结】将一组n个不同元素平均分给A、B、C等不同的单位，每个单位m个，可先从n个中选取m个给A，再从剩下的n－m个中选取m个给B，…，依次类推，不同方法种数为CC…C个；将一组n个不同元素平均分成k堆，每堆m个，由于某m个元素先选和后选分堆结果是一样的，故不同分堆方法数为.
针对训练2-1
（23-24高三下·山西·阶段练习）
13．基础学科对于一个国家科技发展至关重要，是提高核心竞争力，保持战略领先的关键．其中数学学科尤为重要．某双一流大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“九章算术”，“古今数学思想”，“数学原理”，“世界数学通史”，“算术研究”五门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选三门，且已选过的课程不能再选，大一到大三三学年必须将五门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式种数为（ ）．
A．种 B．种 C．种 D．种
针对训练2-2
（2024高三·全国·专题练习）
14．如图中有一个信号源和五个接收器.接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号.若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是（ ）
A． B． C． D．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)组合问题
(2)排列问题
(3)组合问题
(4)排列问题；组合问题
【分析】由排列和组合的定义，对题目中的情况进行判断.
【详解】（1）4张票是相同的（都是当日动物园的门票），不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人，这和顺序无关，是组合问题.
（2）选出的2个数分别作为分子和分母，结果是不同的，是排列问题.
（3）已知集合中的元素具有无序性，因此含3个元素的子集个数与元素的顺序无关，是组合问题.
（4）飞机票与起点站、终点站有关，故求飞机票的种数是排列问题；票价只与两站的距离有关，故求票价的种数是组合问题.
2．C
【分析】根据排列数和组合数的公式和性质可判断.
【详解】根据组合数的性质或组合数的计算公式，可知A，B选项正确；
，而，故C选项错误；
，故D选项正确．
综上，错误的选项为C.
故选：C.
3．28
【解析】由组合数的性质可得答案.
【详解】由，
得或，
解得，或舍去，.
故答案为：28.
4．46
【解析】由已知，，解不等式组可得，再代入原式计算即可.
【详解】由已知，，解得，又，所以，
所以.
故答案为：46
【点睛】本题考查组合数公式的计算，要注意题目中隐含的条件，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.
5．4
【分析】利用排列组合公式，将方程化为关于x的一元二次方程求解，注意x的范围.
【详解】由题设，，
整理得：，可得或，
又，故.
故答案为：4
6．462
【分析】已知等式利用组合数公式化简，解出的值，代入所求算式，利用组合数的性质化简求值.
【详解】由可得，
即，
化简得，整理得，
解得或，
因为，所以，
所以
.
故答案为：462.
7．C
【解析】由题意可分成两类：一名教师和三名学生，两名教师和两名学生，分别利用组合公式计算即可.
【详解】由题意可分成两类：
（1）一名教师和三名学生，共；
（2）两名教师和两名学生，共；
故不同的选派方案的种数是.
故选：C
【点睛】本题考查组合的应用，是简单题，注意分类讨论、正确计算即可．
8．BD
【分析】对于A，先从两科中选一科，再从4科中选2科即可，对于B，先从两科中选一科，然后从3科中选1科即可，对于C，先从两科中选一科，然后分政治和地理都选或从政治和地理中选一科即可，对于D，化学、生物都选或从化学、生物中选一科即可
【详解】若任意选科，选法总数为，A错误；
若化学必选，选法总数为，B正确；
若政治和地理至少选一门，选法总数为，C错误；
若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为，D正确．
故选：BD.
9．B
【分析】先从六个小球中选出三个小球放入与自己相同序号的盒子中，剩下的三个小球再错位排在与自己编号不同的盒子里即可.
【详解】六个小球中选出三个小球放入与自己相同序号的盒子中，先选后排：先选：组合有种方法，后排：排列只有种方法，
则利用分步乘法计数原理得有种方法，剩下三个小球放入与自己不相同序号的盒子中，先选后排：
先选：组合有种方法，排列：错位排有种方法，则利用分步乘法计数原理得有种方法，
最后利用分步乘法计数原理得共有种方法．
故选：B.
10．472
【分析】利用间接法，先求出不考虑特殊情况共有多少种取法，再减去每一种小球各取三个和两个红色小球的情况，即为所求.
【详解】由题意，不考虑特殊情况，共有C163＝560种取法，
其中每一种小球各取三个，有4C43＝16种取法，
两个红色小球，共有C42C121＝72种取法，
故所求的取法共有560﹣16﹣72＝472种．
故答案为：472．
11．B
【分析】将分组方式分、两类，结合排列组合数计算不同的分配方式．
【详解】由题设，5名北京冬奥会志愿者分配到3个项目进行培训的有两类分组：
1、各组人数以分组，共有种；
2、各组人数以分组，共有种；
所以共有36种分配方式．
故选：B
12．36
【分析】白球取1个，2个，3个三种情况，分别求出对应的概率，即可得解.
【详解】逐个分析：
白球取1个，红球取3个，
白球编号为奇数，红球编号要2个偶数一个奇数，共有，
编号为奇数和偶数个数相同，故白球编号为偶数时，也有4种可能；
白球取2个，红球取两个，
若白球编号都为奇或偶，则红球都为偶或都为奇，共有种可能，
若白球编号1奇1偶，则红球也要1奇1偶，共有种可能，
由于对称性，白球取3个，红球取1个等同白球取1个，红球取3个情况，
故共有种可能，
故答案为：36
13．B
【分析】
将所有选修方式分为两年修完和三年修完两类，结合分组分配的方式可求得结果.
【详解】若两年修完全部五门选修课程，先将五门课程分成两组，再从三个学年中选取两年来安排课程，
则共有种选修方式；
若三年修完全部五门选修课程，则先将五门课程分成三组，再安排到三个学年中，
则共有种选修方式；
综上所述：每位同学不同的选修方式种数为种.
故选：B.
14．D
【分析】
先将左端的六个接线点随机地平均分成三组可能出现的所有结果找出来，再根据五个接收器能同时接受到信号必须全部在同一个串联线路中，求出此种情况可能出现的结果，再运用古典概型概率公式即可得出所求事件的概率.
【详解】
由题意，设右端连线方式如图，对于左端的六个连线点，将其随机地平均分成三组，共有种结果，五个接收器能同时接收到信号必须全部在同一个串联线路中，则1必须与3,4,5,6中的其中一个相接，接好后，2只有2种情况可选，剩下的接线点只有1种接法，所以共有种结果.同理，右端连线方式变化时，左端的接线方法也有15种，其中有8种可以接收到信号.故这五个接受器能同时接收到信号的概率是.
故选：D.
答案第1页，共2页
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