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6.3二项式定理
第二练 强化考点训练
【试题来源】来自名校、重点市区的月考、期中、期末的优质试题.
【试题难度】难度中等，配合第二课的题型训练，加强考点的理解和扩展.
【目标分析】
1.会用二项式定理解决与二项展开式有关的项的系数问题.如第1题.
2.会用二项式定理解决三项展开式中的特定项问题.如第8题.
3.会用二项式定理解决几个二项式的和或积的展开式中的特定项问题.如第4题.
1．的展开式中含项的二项式系数为（ ）
A． B． C． D．
2．若（a，b为有理数），则（ ）
A．45 B．55 C．70 D．80
3．已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则的系数为（ ）
A．14 B． C．240 D．
[湖北武汉2023质量检测]
4．已知正整数，若的展开式中不含的项，则的值为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
（2023·凉山州模拟）
5．展开式中项的系数是（ ）
A． B． C． D．
（23-24高二下·江西·开学考试）
6．在的展开式中，项的系数为（ ）
A．252 B．210 C．126 D．120
（23-24高二下·辽宁·开学考试）
7．若的展开式中各项系数和为16，则其展开式中的常数项为（ ）
A．54 B． C．108 D．
（2024·云南昆明·模拟预测）
8．的展开式中，项的系数为（ ）
A． B． C． D．
（23-24高三下·重庆·开学考试）
9．设，则 ．
（2024·河南南阳·一模）
10．在的展开式中，的系数为 .
（2024·广东·一模）
11．展开式中的系数为，则的值为 ．
（23-24高二上·山东青岛·期末）
12．的展开式中的系数为 ．（用数字作答）．
（23-24高二下·甘肃武威·开学考试）
13．已知，展开式中二项式系数的最大值为.
(1)求的值；
(2)求的值（结果可以保留指数形式）.
【易错题目】第4，8题
【复盘要点】三项展开式中的特定项或特定系数问题和几个二项式的和或积的展开式中的特定项或特定系数问题
【典例】（23-24高三上·全国·开学考试）的展开式中，项系数为 ．
【答案】
【分析】求出二项式展开式的通项，令的指数为3，即可求出项系数．
由，
由展开式通项为，
令，解得，
则项为，则项系数为．
故答案为：.
【易错警示】解决此类问题可以用组合数的知识（参考要点），也可以把其中某两项看成一个整体，直接利用二项式定理展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形．
【复盘训练】
（2024·安徽蚌埠·模拟预测）
14．的展开式中，的系数为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
（2024·浙江·一模）
15．展开式中含项的系数为（ ）
A．30 B． C．10 D．
（22-23高三下·全国·阶段练习）
16．的展开式中的系数为
（23-24高三上·海南·阶段练习）
17．在的展开式中，的系数为 ．
（23-24高三下·江苏南京·开学考试）
18．已知的展开式中的系数为80，则m的值为 .
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】求出二项式展开式的通项，令的指数位置等于求得的值，即可求解.
【详解】的展开式的通项为：，
令可得，
所以含项的二项式系数为，
故选：D.
2．C
【分析】利用二项展开式化简，即可得到结果.
【详解】
∴.
故选：C．
3．C
【分析】由二项展开式的通项公式为及展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5可得：，令展开式通项中的指数为，即可求得，问题得解．
【详解】二项展开式的第项的通项公式为，
由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，
可得：，解得：.
所以，
令，解得：，
所以的系数为，
故选：C.
【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式，考查了方程思想及计算能力，还考查了分析能力，属于中档题．
4．B
【分析】利用二项式定理展开求系数即可.
【详解】
的展开式的通项为
中的系数为
中的系数为
故的展开式中的项系数为
故
故
故选：B
【点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．
(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．
5．A
【分析】
直接利用二项展开式计算即可.
【详解】
，
展开后平项的系数为，
故选：A.
6．B
【分析】
根据二项式定理可得的展开式中项的系数为，再结合组合数的性质即可得解.
【详解】
的展开式的通项为，
则的展开式中项的系数为，
所以的展开式中项的系数为
．
故选：B．
7．A
【分析】
令，结合已知求出，再求出展开式的通项，令的指数等于零，即可得解.
【详解】令，可得，所以，
则展开式的通项为，
令，得，
所以展开式中的常数项为.
故选：A.
8．C
【分析】
写出展开式通项，令的次数为，的次数为，求出参数的值，代入通项后即可得解.
【详解】
因为的展开式通项为，
的展开式通项为，
所以，的展开式通项为，
其中，，
由可得，
所以，展开式中项的系数为.
故选：C.
9．
【分析】
利用赋值法求得正确答案.
【详解】由，
令，得，
令，得，
所以.
故答案为：
10．
【分析】利用二项式定理分别得到与的展开通项公式即可得解.
【详解】因为的展开通项公式为，
的展开通项公式为，
所以取，得的系数为.
故答案为：.
11．1
【分析】根据题意结合二项展开式的通项公式分析求解.
【详解】因为的展开式的通项公式为，
可知展开式中含的项为，
则展开式中的系数为，解得.
故答案为：1.
12．
【分析】
由，写出展开式的通项，即可求出展开式中的系数.
【详解】因为，
其中展开式的通项为（且），
所以的展开式中含的项为，
所以展开式中的系数为.
故答案为：
13．(1)；
(2)或148160.
【分析】
（1）根据二项展开式的项数确定展开式中二项式系数最大值为和，列出方程求解即得；
（2）将代入二项式，分别对赋值和，再将两式左右分别相减化简即得.
【详解】（1）因展开式中共有8项，最中间两项的二项式系数最大，即和，
依题知，解得；
（2）由（1）可得，
当时，①，
当时，②，
由①-②：，
即得：.
14．B
【分析】
利用二项式定理，结合多项式的乘法法则，列式计算即得.
【详解】依题意，，，
所以的展开式中，的系数为.
故选：B
15．B
【分析】
根据排列组合与二项式定理知识直接计算即可.
【详解】由题意得，展开式中含的项为，
所以展开式中含项的系数为.
故选：B
16．
【分析】
写出的通项，然后由多项式乘法法则求得结论．
【详解】
因为的通项为，
所以的展开式含项的系数为．
故答案为：．
17．
【分析】
先将原式化为，再根据展开式的通项公式求得项的系数.
【详解】因为，
其展开式的通项公式为，
令，所以，
故答案为：.
18．
【分析】
根据已知条件及二项式展开式的通项公式即可求解.
【详解】由题意可知，，
在的展开式中，由，
令，得无解，即的展开式中没有的项；
在的展开式中，由，
令，解得，
即的展开式中的项的系数为，
所以的展开式中的系数为，
又因为的展开式中的系数为80，
所以，解得.
所以m的值为.
故答案为：.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页6.3二项式定理
第二课 归纳核心考点
题型一 求型的展开式
例1 求的展开式．
【解】原式
．
【关键点拨】展开式各项中按降幂排列，次数由4逐项减1递减到0，y按升幂排列，次数由0逐项加1递增到4．
【变式训练1-1】【广东广州2021月考】
1．若，则　　
A．60 B．70 C．80 D．90
题型二 二项展开式的逆用
例2 计算：．
【思路分析】所给式子中的组合数分别为，，，，…，，由，9，，…可以看出的次数按升幂排列．，令，，符合二项展开式的特点，所以可利用二项式定理解决此类问题．
【解】原式．
【关键点拨】在逆用二项式定理解决问题时，要注意1的任何次方都为1的应用，利用此结论，我们可以构造出符合二项式定理的项．
【变式训练2-1】 [山东菏泽2021高二月考]
2．设A＝37＋·35＋·33＋·3，B＝·36＋·34＋·32＋1，则A－B的值为(　　)
A．128 B．129 C．47 D．0
【变式训练2-2】 [黑龙江绥化2022高二期中]
3．的值是（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．
题型三 二项展开式中的特定项或特定系数问题
例3 在的展开式中，求：
（1）第4项的二项式系数；
（2）第4项的系数；
（3）常数项．
【解】展开式的通项为．
（1），第4项的二项式系数为．
（2）由（1）知第4项的系数为．
（3）令，得，故常数项为．
【方法总结】解决此类问题可以分成两个步骤来完成：
第一步，根据给出的条件（特定项）和的通项，建立方程来确定指数；
第二步，根据所求的指数求解所求的项．
遇到与系数有关的题目要注意区分两种系数：一种是某一项的系数，按通常的多项式系数去理解、认定；一种是某项的二项式系数，仅指这一项中所含的那个组合数．二者在某些特殊情况下可为同一数值，例如的展开式中所有项的二项式系数和项的系数一样．
【变式训练3-1】
4．的展开式中的第三项为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】 [北京海淀区2022高二期末]
5．在的展开式中，常数项为（ ）
A．20 B．-20 C．160 D．-160
【变式训练3-3】 [湖南师范大学附属中学2022高二月考]
6．若二项式的展开式中的系数是，则（ ）
A． B．所有项系数之和为
C．二项式系数之和为64 D．常数项为
【变式训练3-4】[江苏南通2021阶段测试]
7．二项式展开式中存在常数项的一个条件是（ ）
A．n=5 B．n=6 C．n=7 D．n=9
题型四 三项展开式中的特定项或特定系数问题
例4 的展开式中常数项是______．
【解析】方法一（利用组合数求解）：
可以看作4个相乘，
常数项可由下列几种情况得到：
4个因式中，1个取，2个取，1个取3，
得；
4个因式中，全部取3，得．
合并同类项可得．所以常数项为117．
方法二：．
通项，
其中，，，．
令，得，或，．
当，时，；
当，时，．
所以常数项为．
【答案】117
【方法总结】解决此类问题可以用组合数的知识（参考要点），也可以把其中某两项看成一个整体，直接利用二项式定理展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形．
【变式训练4-1】
[河北沧州2022高二月考]
8．的展开式中的常数项为（ ）
A． B． C．80 D．161
【变式训练4-2】[湖北襄阳2022高二期末]
9．的展开式中，的系数为（ ）
A．51 B．50 C．－51 D．－50
【变式训练4-3】 [山东济南2022高二期末]
10．的展开式中，的系数为（ ）．
A． B． C． D．
【变式训练4-4】[山西大学附中2022高二三诊]
11．若的展开式中的常数项为5，则a＝（　　）
A． B． C． D．
题型五 几个二项式的和或积的展开式中的特定项或特定系数问题
例5 的展开式中项的系数为（ ）
A．15 B．20 C．30 D．35
【思路分析】的展开式是用中的每一项与展开式的每一项相乘后合并得到的，要想得到项，只需用中的1与中的项相乘，或者用中的与中的项相乘，最后合并同类项．
【解析】展开式的通项，所以展开式中项为
，即项的系数为30．
【答案】C
【关键点拨】先分别化简或展开为多项式和的形式，再分类考虑待定项产生的每一种情形，求出相应的待定项，最后进行合并即可．
【变式训练5-1】 [重庆2022高二期末]
12．的展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-2】[湖南三湘名校教育联盟2022高二期末]
13．的展开式中的常数项为（ ）
A．40 B．60 C．80 D．120
【变式训练5-3】
14．在的展开式中，令的系数为800，则含项的系数为（ ）
A．30 B．960 C．300 D．360
例6 的展开式中项的系数为______．（不用算出具体结果，用组合数表示）
【思路分析】所给和式的项是每个加数所含项的和，每个加数中含有项的系数分别为0，0，0，，，…，，在计算时，利用组合数的性质计算．
【解析】观察式子的各部分，展开式中项的系数为
．
【答案】
【关键点拨】解决此类题会用到组合数的性质、数列求和的公式，如果项数少可直接利用组合数公式计算．
【变式训练61】
15．展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-2】 [山西朔州怀仁一中2022高二期]
16．若，则（ ）
A． B． C． D．
题型六 系数最大项问题
例7 （1）在的展开式中，系数最大的项是（ ）
A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项
（2）若的展开式中第6项和第7项的二项式系数最大，则展开式中项的系数是（ ）
A．792 B． C．330 D．
【解析】（1）的展开式中共有8项．由二项式系数特点可知第4项和第5项的二项式系数最大，但第4项的系数为负值，所以的展开式中系数最大的项为第5项．故选C．
（2）因为的展开式中第6项和第7项的二项式系数最大，所以．通项
，令，得．所以展开式中项的系数是．故选C．
【答案】（1）C（2）C
【方法总结】解决展开式系数最大的问题，首先要区分“展开式系数最大”“二项式系数最大”以及“最大项”等概念，其次要注意展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正的前提下，要求它们的最大值，只需比较相邻两项展开式系数的大小，即设第项的系数最大，根据通项正确地列出不等式（组），
则
需要注意的是，系数最大的项不一定是二项式系数最大的项，只有当二项式系数与该项系数相等时，二者才一致．
根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
【变式训练7-1】
17．已知(1＋2x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练7-2】 [江苏常州八校2022高二期中]
18．在的展开式中，系数绝对值最大项是（ ）
A．第10项 B．第9项 C．第11项 D．第8项
【变式训练7-3】[山西师范大学实验中学2022高二月考]
19．设为正整数，的展开式中二项式系数的最大值为，的展开式中的二项式系数的最大值为.若，则的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
题型七 赋值法解决系数和问题
例8 已知．求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）．
【思路分析】（1）令，即可求解．（2）方法一：根据通项判断的符号去绝对值求解；方法二：因为二项式的展开式的各项系数和与的展开式的各项系数的绝对值的和相等，进而可以求解．（3）令，结合（1），联立方程即可求解．
【解】（1）令，则．
（2）方法一：通项，所以，，，，，，，，
．
令，则，
即．
方法二：因为二项式的展开式的各项系数和与的展开式的各项系数的绝对值的和相等，所以．
（3）由（1）得，，由（2）中方法一得，
，
两式相减，并化简得．
【方法总结】（1）“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋予字母不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令可得常数项，令可得所有项的系数之和，令可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．若，则奇数项系数之和为；
偶数项系数之和为．
（2）能灵活运用“赋值法”，通过观察恒等式右边多项式的特征来准确赋值．如：
，求的值时应赋．
【变式训练8-1】[湖北孝感2022高二期末]
20．若，则的值是（ ）
A． B． C．2 D．1
【变式训练8-2】 [吉林延边二中2022高二期中]
21．若，则下列说法正确的是（ ）
A．为展开式的二项式系数 B．
C． D．
【变式训练8-3】 [河北保定2022高二期末]
22．若，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练8-4】[黑龙江双鸭山一中2022高二期中]
23．若，且，则实数的值为（ ）
A．1或 B．或3 C．1 D．
易错点1 将的展开式的通项看成第k项致错
例1 展开式的第三项是______．
【错解】展开式的第三项为．
【正解】展开式的第三项为．
【答案】
易错警示 展开式的通项表示的是展开式的第项，而不是第k项．
针对训练1-1 [浙江嘉兴六校2021期末联考]
24．二项式的展开式的第3，4，5项之和是（ ）．
A．460 B．140
C． D．
易错点2 的展开式中遗漏b的负号致错
例2 展开式的第四项是______．
【错解】展开式的第四项为．
【正解】展开式的第四项为．
【答案】
易错警示 在写的展开式时要先变形为再展开．
针对训练2-1 [海南海口中学2022高二期中]
25．的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式的第三项为（ ）
A．180 B．-180
C．180 D．-180
易错点3 二项展开式中的二项式系数与该项的系数混淆致错
例3 展开式的第3项的二项式系数为______．
【错解】展开式的通项．
当时，得第3项的二项式系数为．
【正解】展开式的通项．
当时，得第3项的二项式系数为．
【答案】28
易错警示 二项展开式中各项的二项式系数为（，1，2，…，n），项的系数是指非字母因数的所有部分，包含符号．
针对训练3-1 [四川达州2022高二期末]
26．的展开式中x的二项式系数为（ ）
A． B．10 C．20 D．250
针对训练3-2 [天津三中2022高二期末]
27．在的展开式中，含的项的系数是 ．（用数字填写）
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】利用二项展开式化简，即可得到结果.
【详解】
∴
故选：B．
2．A
【分析】先化简A－B，发现其结果为二项式展开式，然后计算即可
【详解】A－B＝37－·36＋·35－·34＋·33－·32＋·3－1＝
故选A.
【点睛】本题主要考查了二项式定理的运用，关键是通过化简能够发现其结果在形式上满足二项式展开式，然后计算出结果，属于基础题．
3．B
【分析】根据二项展开式的运算公式，分析出展开前的式子即可.
【详解】.
故选：B.
4．B
【解析】根据二项展开式的通项公式求解.
【详解】的展开式中的第三项．
故选：B
5．D
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令的指数为0，即可求出对应的常数项．
【详解】解：二项式展开式的通项公式为，
令，得，
所以常数项为．
故选：．
6．AC
【分析】由二项展开式通项公式求得的系数，从而求得值，再令各各项系数和，由二项式系数性质得二项式系数和，由二项式展开式通项公式求得常数项．
【详解】，
对选项A，的展开式中项为，
所以，解得，故A正确；
由A知：，令，所有项系数之和为，故B错误；
对选项C，二项式系数之和为，故C正确；
对选项D，的常数项为，故D错误.
故选：AC．
7．B
【分析】根据二项展开式的通项公式可知有解，排除，可得答案.
【详解】二项式展开式的通项为，
，
要使展开式中存在常数，只需有解，因为，所以为偶数，故不正确.当时，，二项式展开式中第项为常数项.
故选：B
【点睛】关键点点睛：根据二项展开式的通项公式得有解是解题关键.
8．A
【分析】利用二项式展开式的原理可算出答案.
【详解】，
所以展开式中的常数项为
故选：A
9．C
【分析】根据三项的二项式展开的通项，令，即可求出的值，进而可求解.
【详解】的展开式通项为：
，且，
令，则，或者，或者；
故的系数为：，
故选：C
10．B
【分析】根据二项式定理的展开式，表示出含项的系数，即可求得结果.
【详解】解：由可知，
展开式的通项为.
因为求的系数，所以，.
所以的系数为.
故选：B.
11．D
【分析】根据通项对进行赋值即得.
【详解】
且其通项为:
且 都为整数,
当 时, 即
当 时, 即
其他情况无解.
故
故选: D
12．B
【分析】写出展开式的通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项后即可得解.
【详解】因为的展开式通项为，
又因为，
在中，令，可得，
在中，令，可得，
因此，展开式中的系数为.
故选：B.
13．A
【分析】先确定的展开式的通项公式，再由求解.
【详解】解：的展开式的通项公式为，
而，
令，得，令，得，
所以的展开式中的常数项为．
故选：A．
14．B
【解析】根据二项式的展开式，得到和的系数，从而得到关于的方程，解出的值，再得到和的系数，从而得到答案.
【详解】展开式中的系数为，
展开式中的系数为
所以的系数为
所以，即，
解得，
所以展开式中的系数为，
展开式中的系数为，
所以含项的系数为，
故选：B.
【点睛】本题考查二项式定理展开式中指定项的系数，根据指定项的系数求参数，属于简单题..
15．D
【分析】根据二项定理得出展开式中的系数，再结合组合数的性质即可求解；
【详解】由题意可知，展开式中的系数为.
所以原式的展开式的系数为：
故选：D.
16．A
【分析】由，再利用二项展开式的通项公式，求得的值．
【详解】由
，
则.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：对式子进行变形，结合展开式的通项公式，系数性质是解题的关键．
17．A
【分析】根据二项式系数的性质求得，系数的最大值为求得，从而求得的值．
【详解】由题意可得，又展开式的通项公式为，
设第项的系数最大，则，即，
求得或6，此时，，，
故选：A．
【点睛】方法点睛：求最大二项式系数时：如果n是奇数，最大的就是最中间一个，如果n是偶数,最大的就是最中间两个；
求系数的最大项时：设第r+1项为系数最大项，需列出不等式组，解之求得.
18．B
【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.
【详解】二项式的通项公式为：，
设第项的系数绝对值最大，
所以有，
因为，所以，所以系数绝对值最大项是第9项，
故选：B
19．C
【分析】根据二项式系数的性质得到a，b的值，列出方程求出m.
【详解】的展开式中二项式系数的最大值为，故，的展开式中的二项式系数的最大值为或，两者相等，不妨令，则有，解得：.
故选：C
20．B
【分析】令得，令得①，令得②，联立即可求解.
【详解】∵，令得，令得①，令得②，（①+②）÷2得，则，
故选：B.
21．C
【分析】利用二项式系数的定义判断选项A；利用赋值法计算判断选项B，C，D即可作答.
【详解】展开式的通项公式为： ，
所以的通项公式为：
又因第项的二项式系数是组合数，
所以不是展开式的二项式系数，故选项A不正确；
令，则，
令得，，所以，故选项C正确；
，则，故选项B不正确；
由，则为奇数时，，为偶数时，
所以，即
所以，故选项D不正确，
故选：C
22．ACD
【分析】利用赋值法可判断AC，利用展开式的通项公式可判断BD.
【详解】令，得，则A正确；
，因为展开式的通项，令，得，则，所以，故B错误；
令，得，则，从而，故D正确；
令，得，因为，
所以，则C正确.
故选：ACD.
23．A
【分析】利用赋值法，令，可得，令，可得，再利用平方差公式即可求解.
【详解】令，得到，
令，得到，
∴，即，，
解得或.
故选：A
24．D
【分析】根据二项式通项公式即可得到结果.
【详解】二项式的展开式的通项为
∴
∴第3，4，5项之和是，
故选：D
25．A
【分析】根据给定条件，结合二项式系数的性质求出幂指数n，再直接求出展开式的第三项作答.
【详解】因的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则，
所以展开式的第三项为.
故选：A
26．B
【分析】求出通项公式，利用的次数求得的值，然后代入进行求解即可．
【详解】解：展开式的通项公式为，
由得，
则x的二项式系数为，
故选：B．
27．10
【分析】利用二项展开式的通项公式直接求解.
【详解】的展开式的通项公式为.
所以含的项为，系数为10.
故答案为：10.
答案第1页，共2页
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