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6.3二项式定理
第一课 解透课本内容
[课标要求]
1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，
2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
[明确任务]
1.会用二项式定理解决与二项展开式有关的项的系数问题.【数学运算】
2.会用二项式定理解决整除性问题.【数学运算】
3.会用二项式定理解决展开式系数和问题.【数学运算】
1.C＝＝＝ （n，m∈N*，且m≤n）.
2.C＝1.
3.C＝C；
4.C＝C＋C
5．；
6．．
核心知识1：二项式定理及相关概念
1．二项式定理
一般地，对于每个k（，l，2，…，n），的展开式中，共有个，将它们合并同类项，就可以得到二项展开式：（）．这个公式叫做二项式定理．
2．二项展开式
上述公式中，等号右边的多项式叫做的二项展开式．
3．二项式系数与项的系数
二项展开式中各项的二项式系数为（，1，2，…，n），项的系数是指该项中除变量外的常数部分，包含符号等．
4．二项式定理的三种常见变形：
（1）；
（2）；
（3）．
理解 用组合的知识理解二项式定理
（1）由于中共有n个相乘，将看作是含有红球（a）、白球（b）的盒子，则的展开式的每一项都可以理解为从n个盒子中的每个盒子里取出一个球的可能结果，而其前面的系数则是这种结果的方法数，如是从这n个盒子中取出k（）个白球（b）和个红球（a）的情况，其方法数为，因此有，其中．
（2）对于每个k（），对应的项是由个中选a，另外k个中选b得到的，且b选定后，a的选法也随之确定，因此，出现的次数相当于从n个中取k个b的组合数，所以的展开式中，共有个，合并同类项可得
（）．
解读：划重点 对于：
（1）二项展开式共有项．
（2）二项式系数依次为，，，…，，…，．
（3）字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n．
（4）各项的次数都等于二项式的幂指数n．
（5）二项式定理，一方面可将二项式展开，得到一个多项式；另一方面，也可以将二项展开式合并成二项式的形式．
（6）二项式定理是一个恒等式．a与b可以是任意的数字、字母、式子等，例如当时，
得到等式．
例1. 求的展开式．
【解】．
归纳总结
【举一反三】（22-23高二·全国·课堂例题）
1．写出的展开式．
【举一反三】（23-24高二上·上海·课后作业）
2．求的二项展开式．
【举一反三】（23-24高二上·全国·课后作业）
3．求的展开式．
核心知识点2：二项展开式的通项
二项展开式中的（）叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：．通项体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项）及其系数等方面有着广泛的应用．
划重点 （l）（），它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是，而不是，它与的通项（）不同．要注意，二者不能混淆．因而在应用二项式定理时，其中的a和b是不能随便交换位置的．
（2）字母b的次数和组合数的上标相同．
（3）a与b的次数之和为n．
（4）在通项中共含有a，b，n，k，这5个元素，只要知道其中的4个元素，便可求第5个元素的值．
（5）通项是针对这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项是（把看成b代入二项式定理中），这与是不同的，在中对应项的二项式系数是，但项的系数是，由此可以看出，二项式系数和项的系数是不同的概念．
强调 与的二项展开式不同．二者整体上是相同的，但具体到它们展开式的某一项是不相同的，所以公式中的第一个量a与第二个量b的位置不能随意颠倒．
例如：展开式的第三项为；
展开式的第三项为．
解读：二项展开式中的四个易混淆的概念——项、项数、二项式系数、项的系数
（1）二项展开式中的二项式系数是指，，…，这些组合数，即二项展开式的通项中的（，）．求二项展开式中某一项的二项式系数，关键是要确定k的值．
（2）项的系数即该项中非字母因数部分，包括符号，求二项展开式的指定项的系数，可直接运用展开式的通项，并令该项中a，b的次数与指定项中a，b的次数相等，求出k的值，则指定项的系数就是把k代入组合数式和常数式的乘积中计算所得的值．
（3）项是指系数和含字母的式子的乘积，项数是指该项在展开式中的位置（没有进行合并同类项）．
例 2 的展开式中，第四项是______；第四项的系数是______；第四项的二项式系数是______．
【解析】．
【答案】 56
归纳总结 如的二项展开式的通项是
【举一反三】（2023·济南模拟）
4．的展开式中，含项的系数为（ ）
A． B． C． D．
【举一反三】
5．已知的展开式中的常数项为，则实数（ ）
A．2 B．-2 C．8 D．-8
核心知识点3：二项式系数的性质
1．“杨辉三角”的特点
当n依次取1，2，3，…时，展开式的二项式系数可以表示成如下形式：
……………………1 1
…………………1 2 1
………………1 3 3 1
……………1 4 6 4 1
…………1 5 10 10 5 1
………1 6 15 20 15 6 1

上图称为“杨辉三角”．
（1）在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的二项式系数相等；
（2）在相邻的两行中，三角形的两个腰都是由数字1组成的，其余的数都等于它肩上的两个数相加，
即．
2．二项式系数的性质
（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即，，，…，．
（2）增减性与最大值：当时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值．当n是偶数时，中间项的二项式系数取得最大值；当n是奇数时，中间两项和的二项式系数，相等，且同时取得最大值．
（3）各二项式系数的和：
①；
②．
．
证明：令，则，即展开式的各个二项式系数的和等于．
令，则，即在二项展开式中，奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和相等且都等于．
解读： （1）从集合的角度解释．设集合A中有n个元素，求A的子集的个数时，可以按子集中元素的个数分类：没有元素的有个，一个元素的有个，…，n个元素的有个，
故．
（2）在的展开式中，利用赋值法可解决与二项式系数有关的问题，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况．
（3）对形如，的式子：①求其展开式的各项系数之和，只需令即可；
②求展开式中的常数项，只需令即可．
对求其展开式的各项系数之和，只需令即可．
例3.（23-24高二上·山东德州·期末）将杨辉三角中的每一个数都换成，得到如图所示的莱布尼茨三角形．莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果（n为正整数），则下列结论中正确的是（ ）
第0行
第1行
第2行
第3行
…… ……
A．当时，中间的两项相等，且同时取得最大值
B．当时，中间一项为
C．第6行第5个数是
D．
【答案】C
【分析】根据莱布尼茨三角形的数的排列规律，明确每行的数的个数，以及数的分布规律，即可判断A，B，C；结合从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，即可判断D.
【详解】对于A，由莱布尼茨三角形知，当n为奇数时，中间两项相等，且同时取到最小值，
为奇数，故A错误；
对于B，当时，这一行有2025个数，最中间为第1013个数，
即，B错误；
对于C，第6行有7个数，第5个数是，C正确；
对于D，由于从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，
故，D错误，
故选：C
方法总结
【举一反三】（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期末）
6．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律.请结合“杨辉三角”判断下列叙述，正确的是（ ）
A．
B．第20行中，第11个数最大
C．记第行的第个数为，则
D．第34行中，第15个数与第16个数的比为
[湖南部分校2022高二基础学科知识竞赛]
7．在的展开式中，含项的系数为（ ）
A． B．2048 C． D．
8．在（其中）的展开式中，的系数与的系数相同，则的值为
A． B． C．1 D．2
（2023·大连测试）
9．已知在的展开式中，第3项和第10项的二项式系数相等，则展开式的系数和为 .
（2023·德州模拟）
10．若，且，则的展开式中的常数项为 ．
（23-24高一上·湖南岳阳·开学考试）
11．阅读材料，完成相应任务：“贾宪三角”又称“杨辉三角”，在欧洲则称为“帕斯卡三角”如图所示，它揭示了为非负数展开式的各项系数的规律．

根据上述规律，完成下列问题：
(1)直接写出_____．
(2)的展开式中项的系数是_____．
(3)利用上述规律求的值，写出过程．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．
【分析】
根据二项式定理，展开求解.
【详解】
在二项式定理中令，可得
．
2．
【分析】
根据二项式定理直接展开作答.
【详解】由二项式定理，得
，
所以的二项展开式是．
3．
【分析】
根据二项式的展开式即可得到答案.
【详解】
.
4．B
【分析】写出二项展开式的通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解.
【详解】的展开式通项为，
令，解得，
因此，展开式中含项的系数为.
故选：B.
5．B
【分析】直接利用二项式定理计算得到答案.
【详解】展开式的通项为：，
取得到常数项为，解得.
故选：B
6．BCD
【分析】根据二项式定理和二项式系数的性质判断各选项的对错.
【详解】由图知，第行的第个数为，则，
对于A，由可得，
，故A错误；
对于B，第20行有21项，中间一项最大为，是第11个数，故B正确；
对于C，第行的第个数为，，
，故C正确；
对于D，第34行中，第15个数与第16个数的比为
，故D正确.
故选：BCD.
7．A
【分析】根据二项式定理展开通项赋值求解即可.
【详解】二项式的展开式的通项，
令，得，故含项的系数为.
故选：A.
8．C
【分析】利用的展开式的通项公式，求出的系数和的系数，根据题意，列出方程，解方程结合，求出的值.
【详解】的展开式的通项公式为：，令，所以的系数为，再令，的系数为，由题意可知：，而，所以，故本题选C.
【点睛】本题考查了二项式展开式的通项公式的应用，考查了数学运算能力.
9．
【分析】根据二项式系数的性质得出，再由赋值法得出展开式的系数和.
【详解】因为第3项和第10项的二项式系数相等，所以，即
令，则展开式的系数和为.
故答案为：
10．4
【分析】先求得的通项公式，令x的次数为0求解.
【详解】的通项公式为，
因为，
令，
解得，
所以的展开式中的常数项为4
故答案为：4
11．(1)
(2)8
(3)答案见解析
【分析】
（1）由杨辉三角规律求解，
（2）由二项式定理求解，
（3）转化为展开后求解．
【详解】（1）由杨辉三角图可得
（2）由杨辉三角的性质可得的展开式二项式系数可知展开式中项的系数为；
（3）
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页6.3二项式定理
第一练 练好课本试题
【试题来源】来自人教A，人教B，苏教版，北师大版的课本试题，进行整理和组合；
【试题难度】本次训练试题基础，适合学完新知识后的训练，起到巩固和理解新知识的目的.
【目标分析】
1.会用二项式定理解决与二项展开式有关的项的系数问题.如第1题.
2.会用二项式定理解决整除性问题.如第13题.
3.会用杨辉三角形解决问题，如第8题.
一．选择题
1．的展开式的第6项的系数是（ ）
A． B． C． D．
2．在的展开式中，含的项的系数是（ ）
A．74 B．121 C． D．
3．的展开式中的系数为15，则（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
二、填空题
4．在的展开式中，含的项的系数是 .
5．在的展开式中，的系数是 .
三．解答题
6．求的展开式．
7．（1）求的展开式的第4项的系数；
（2）求的展开式中的系数．
8．写出n从1到10的二项式系数表.
9．写出的展开式.
10．写出的展开式的第项.
11．求证：在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．
12．化简：
(1)；
(2).
13．用二项式定理证明：
（1）能被整除；
（2）能被1000整除.
【易错题目】第13题
【复盘要点】混淆二项式系数与展开式系数
【复盘训练】
（23-24高二上·黑龙江·期末）
14．在的二项展开式中，各二项式系数之和为，各项系数之和为，若，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
（22-23高二下·河南周口·阶段练习）
15．的展开式中二项式系数最大的为，则不可能为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
（2024·江西·二模）
16．在的展开式中（ ）
A．二项式系数之和为 B．第项的系数最大
C．所有项系数之和为 D．不含常数项
（23-24高三下·陕西安康·开学考试）
17．展开式的二项式系数之和是256，则 .
（2024高二·江苏·专题练习）
18．若的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项系数之和为 ．
（2023高二下·北京朝阳·期中）
19．在的展开式中，各项系数之和与二项式系数之和的比为64，则的系数为 .
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参考答案：
1．C
【分析】先写出二项式展开式的通项，通过通项即可求解.
【详解】由题得，
令，所以，
所以的展开式的第6项的系数是.
故选：C.
2．D
【分析】根据，利用通项公式得到含的项为：，进而得到其系数，
【详解】因为在，
所以含的项为：，
所以含的项的系数是的系数是，
，
故选：D
【点睛】本题主要考查二项展开式及通项公式和项的系数，还考查了运算求解的能力，属于基础题，
3．B
【分析】
写出二项式定理展开式的通项，根据的系数即可求得.
【详解】根据二项式定理的展开式通项得，，
所以当时，因为的展开式中的系数为15，
所以，解得.
故选：B
4．-15.
【分析】在的展开式中含的项即从5个因式中取4个，1个常数即可写出含的项，则可得到答案.
【详解】在的展开式中含的项即从5个因式中取4个，1个常数,
所以含的项为.
所以展开式中，含的项的系数是-15.
5．0
【分析】由，利用二项式定理求出和的展开式中的系数，相加即可得出结果.
【详解】，
的展开式通项为，
的展开式通项为，
令，得，，
因此，的系数为.
故答案为：0.
【点睛】本题考查利用二项式定理求指定项的系数，考查计算能力，属于中等题.
6．
【分析】根据二项式定理即得.
【详解】根据二项式定理，
．
7．（1）280；（2）-192.
【分析】（1）直接利用二项式定理求解第4项的系数；
（2）写出展开式的通项，令的次数为即可求出项数，进而可计算出系数.
【详解】解：（1）的展开式的第4项是
．
因此，展开式第4项的系数是280．
（2）的展开式的通项是．
根据题意，令，．
因此，的系数是．
8．见解析
【分析】利用二项式定理求解即可
【详解】解：n从1到10的二项式系数表：
9．
【分析】直接根据二项式定理展开即可；
【详解】解：
10．
【分析】直接根据二项展开式的通项公式求解.
【详解】根据二项式展开式的通项公式可知，
，
即展开式的第项为
11．证明见解析
【分析】在展开式中令，即可证明.
【详解】证明：在展开式中，
令，，则得．
即．
因此，，
即在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．
12．(1)
(2)
【分析】（1）分别求得二项式和展开式的通项，两式相加，即可求解；
（2）分别求得和展开式的通项，两式相加，即可求解.
【详解】（1）由，
，
所以.
（2）由二项式的展开式的通项为，
二项式的展开式的通项为，
所以
.
13．（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】（1）通过二项式展开可证明；
（2）由通过二项式展开可证明.
【详解】（1），
上式中的每一项都可以被整除，故能被整除；
（2）
，
上式中的每一项都可以被整除，故能被1000整除.
14．B
【分析】
根据二项式系数和以及各项系数和的表达式，结合题意，解方程，即可求得答案.
【详解】由，令可得各项系数之和为，
又各二项式系数之和为，因为，则，
解得或（舍去），所以，
故选：B
15．A
【分析】根据二项式系数的概念和组合数的运算公式求解.
【详解】根据二项式系数的对称关系，
当时，所有二项式系数中，最大；
当时，所有二项式系数中，，且均为最大；
当时，所有二项式系数中，最大；
当时，所有二项式系数中，，且均为最大；
故选:A.
16．ABD
【分析】由题意，利用二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，通过给变量赋值，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【详解】由于二项式系数之和为，故A正确．
设展开式第项为，
易知的系数均小于0，且，故第项的系数最大，为80，故B正确,
令得所有项系数之和为，故C错误，
当，则，但，故展开式不含常数项，D正确．
故选：ABD．
17．8
【分析】根据二项式展开式的二项式系数之和等于列方程求解即得.
【详解】因展开式的二项式系数之和为，解得：.
故答案为：8.
18．
【分析】
利用第3项的二项式系数是求，然后将代入可求展开式中所有项系数之和.
【详解】
的展开式中第3项的二项式系数为，，
解得，所以.
令，得到展开式中所有项系数之和为.
故答案为：.
19．135
【分析】
根据各项系数和和二项式系数和的关系建立方程求出的值，然后求出展开式的通项公式令的次数等于3进行求解即可．
【详解】
令，得各项系数和为，二项式系数和为，
则，得，
展开式的通项公式为，
由，得，
则，
则的系数为135，
故答案为：135．
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