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7.2离散型随机变量及其分布列
第二练 强化考点训练
【试题来源】来自名校、重点市区的月考、期中、期末的优质试题.
【试题难度】难度中等，配合第二课的题型训练，加强考点的理解和扩展.
【目标分析】
1.利用分布列（两个变量）的性质求概率，培养数学运算，如第2题.；
2.与分布列的性质有关的范围问题，锻炼运算求解能力，如第6题.
3.能够灵活分布列的性质求解实际问题，培养建模能力，运算求解能力，如第12，13题.
（2023高二·全国·课时练习）
1．一袋中装5个球，编号为1，2，3，4，5，从袋中同时取出3个，以ξ表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为（ ）
A． B．
C． D．
（203高二下·安徽合肥·期中）
2．若离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且，则（ ）
A． B． C． D．
（23-24高二上·山东德州·期末）
3．离散型随机变量X的分布列中部分数据丢失，丢失数据以x，y（x，）代替，分布列如下：
1 2 3 4 5 6
0.21 0.20 0.10 0.10
则（ ）
A．0.35 B．0.45 C．0.55 D．0.65
（22-23高二下·河南周口·期中）
4．设随机变量的概率分布列如下表，则（ ）
1 2 3 4
A． B． C． D．
（22-23高二下·黑龙江大庆·期中）
5．已知随机变量的分布列满足：，其中为常数，则（ ）
A． B． C． D．
（22-23高二下·辽宁葫芦岛·期末）
6．设随机变量的分布列如下表，则（ ）
1 2 3 4
P a
A． B． C． D．
（22-23高二上·全国·课时练习）
7．从装有除颜色外其余均相同的3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有个红球，随机变量的概率分布列如下:
0 1 2
则的值分别为 、 、 .
（22-23高三·全国·对口高考）
8．数字1，2，3，4任意排成一列，如果数字k恰好出现在第k个位置上，则称有一个“巧合”，求“巧合”个数的分布列 ．
（22-23高三·全国·对口高考）
9．假如一段楼梯有11个台阶，现规定每步只能跨1个或2个台阶，则某人走完这段楼梯的单阶步数的分布列是 ．
（22-23高二下·贵州遵义·期中）
10．已知离散型随机变量X的分布列如表所示，则m的值为 .
0 1 2 3
（2023高二下·北京·期中）
11．设随机变量X的概率分布为，则 ．
（22-23高二·全国·课时练习）
12．离散型随机变量的概率分布规律为，，其中是常数，则 ．
（23-24高二上·山东德州·阶段练习）
13．一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.2，各部件的状态相互独立．
(1)求设备在一天的运转中，部件1，2中至少有1个需要调整的概率；
(2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求随机变量X的分布列．
【易错题目】第13题
【复盘要点】根据实际问题求分布列
【典例】（22-23高三·全国·对口高考）一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的分布列是 ．
【答案】
0 1 2 4
P
【分析】根据题意得出随机变量可能取值，求得相应的概率，可得分布列.
【详解】将这个小正方体抛掷1次，则向上的数为0的概率为；向上的数为1的概率为；向上的数为2的概率为．
将这个小正方体抛掷2次，向上的数之积可能为，
，，
，，
则的分布列是
0 1 2 4
P
故答案为：
0 1 2 4
P
【易错警示】
【复盘训练】
（22-23高二下·河南新乡·期中）
14．投掷两枚质地均匀的骰子，记偶数点朝上的骰子的个数为，则的分布列为（ ）
A．
X 1 2
P
B．
X 0 1
P
C．
X 0 1 2
P

D．
X 0 1 2
P

15．2024年春晚为观众带来了一场精彩纷呈的视觉盛宴，同时，也是传统文化与现代科技完美融合的展现.魔术师刘谦为大家呈现了一个精妙绝伦的魔术《守岁共此时》，小明深受启发，在家尝试对这个魔术进行改良，小明准备了甲、乙两个一模一样的袋子，甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4．乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，小明用左右手分别从甲、乙两袋中取球．
(1)若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；
(2)若左手取完两球后，右手再取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球（左右手完成各取两球为两次取球）的成功取法次数的随机变量，求的分布列．
（23-24高二下·山东东营·开学考试）
16．学生甲想加入校篮球队，篮球教练对其进行投篮测试．测试规则如下：①投篮分为两轮，每轮均有两次机会，第一轮在罚球线处，第二轮在三分线处；②若他在罚球线处投进第一球，则直接进入下一轮，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则进入下一轮，否则不预录取；③若他在三分线处投进第一球，则直接录取，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则录取，否则不予录取．已知学生甲在罚球线处投篮命中率为，在三分线处投篮命中率为．假设学生甲每次投进与否互不影响．
(1)求学生甲被录取的概率；
(2)在这次测试中，记学生甲投篮的次数为，求的分布列．
（2024高三·全国·专题练习）
17．某县教育局从县直学校推荐的6名教师中任选3人去参加进修活动，这6名教师中，语文、数学、英语教师各2人．
(1)求选出的数学教师人数多于语文教师人数的概率；
(2)设X表示选出的3人中数学教师的人数，求X的分布列．
（2023高三上·全国·专题练习）
18．小张经常在某网上购物平台消费，该平台实行会员积分制度，每个月根据会员当月购买实物商品和虚拟商品(充话费等)的金额分别进行积分，详细积分规则以及小张每个月在该平台消费不同金额的概率如下面的表1和表2所示，并假设购买实物商品和购买虚拟商品相互独立．
表1
购买实物 商品(元) (0，100) [100，500) [500，1 000)
积分 2 4 6
概率
表2
购买虚拟 商品(元) (0，20) [20，50) [50，100) [100，200)
积分 1 2 3 4
概率
(1)求小张一个月购买实物商品和虚拟商品均不低于100元的概率；
(2)求小张一个月积分不低于8分的概率；
(3)若某个月小张购买了实物商品和虚拟商品，消费均低于100元，求他这个月的积分X的分布列．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】分别计算ξ为1，2，3时的概率即可得到答案.
【详解】随机变量ξ的可能值为1，2，3，
，，.
故选：C
2．D
【分析】根据两点分布的特点，得到，从而解方程可得答案.
【详解】因为X的分布列服从两点分布，所以，
由，
所以，所以，
故选：D
3．B
【分析】先根据概率之和为1求出，从而求解概率即可.
【详解】由题意得，化简得，
又且，所以，
所以.
故选：B
4．C
【分析】根据题意，利用随机变量的定义与对立事件的概率公式即可得解.
【详解】依题意，，即事件的对立事件是的事件，
所以.
故选：C.
5．C
【分析】根据分布列的性质求出，即可得到计算可得.
【详解】因为，
所以，，，，
则，解得，
所以，，
所以.
故选：C.
6．C
【分析】根据题意，解可得 ，结合分布列计算，即可得答案.
【详解】根据题意，，解得，则，
结合分布列：
.
故选：C
7． ## ## ##
【分析】利用古典概型的概率公式与组合的定义即可得解.
【详解】依题意，得
，，，
所以，，.
故答案为：；；.
8．
0 1 2 4
P
【分析】的可能取值是0、1、2、4，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列．
【详解】的可能取值是0、1、2、4，
，，
，.
的分布列为：
0 1 2 4
P
故答案为：
0 1 2 4
P
9．
1 3 5 7 9 11
P
【分析】据题意，的可能取值为1，3，5，7，9，11，求出对应的概率，可得分布列．
【详解】据题意，的可能取值为1，3，5，7，9，11，
＝1时，还需走5个两阶，共六步走完，所以共有种不同的走法；
同理，＝3时，有种；＝5时，有种；＝7时，有种；
＝9时，有种；＝11时，有1种，
所以，走完这段楼梯共有6＋35＋56＋36＋10＋1＝144种不同的走法．
，，，
，，，
的分布列如下：
1 3 5 7 9 11
P
故答案为：
1 3 5 7 9 11
P
10．##
【分析】利用分布列的性质，解关于m的方程，再验证作答．
【详解】依题意，，整理得，解得或，
当时，，，不符合题意，
当时，，，，，符合题意，
所以m的值为.
故答案为：.
11．##0.3
【分析】根据离散型随机变量的概率之和为1即可求得m值，即可求解．
【详解】∵随机变量X的概率分布为，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：．
12．##0.875
【分析】根据所给的概率分布规律，写出6个变量对应的概率，由分布列的性质和为1求出实数，在求出满足条件的概率即可.
【详解】因为，
，
所以，
所以，
所以
，
故答案为：.
13．(1)0.28
(2)分布列见解析
【分析】（1）根据概率的乘法公式，结合对立事件的概率公式进行求解即可；
（2）根据概率的乘法公式，通过计算列出分布列即可.
【详解】（1）部件1，2都不需要调整的概率为，
则部件1，2中至少有1个需要调整的概率为P＝1－0.72＝0.28；
（2）由题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，且
，
，
，
，
0 1 2 3
14．C
【分析】根据离散型随机变量的分布列，即可写出答案.
【详解】因为每枚骰子偶数点朝上的概率为，且相互独立，的取值可能为0，1，2.
，，，
所以的分布列为：
X
P
故选：C.
15．(1)
(2)分布列见解析
【分析】（1）根据给定条件，利用古典概型及对立事件的概率公式即可得解；
（2）求出的可能取值，再求出各个值对应的概率，求出分布列即可得解.
【详解】（1）记事件为“两手所取的球不同色”，事件是两手所取球颜色相同，
则，所以.
（2）依题意，的可能取值为，
左手所取的两球颜色相同的概率为，
右手所取的两球颜色相同的概率为，
，
，
，
所以的分布列为：
0 1 2
16．(1)
(2)分布列见解析
【详解】（1）记事件，表示“甲在罚球线处投篮，第次投进”，事件表示“甲在三分线处投篮，第次投进”．
则，，
设事件C表示“学生甲被录取”，则，
所以，
所以学生甲被录取的概率为.
（2）由题分析知，的可能取值为2，3，4.
所以的分布列为
2 3 4
17．(1)
(2)分布列见解析
【分析】（1）首先计算出所有基本事件数，再求出“选出的数学老师人数多于语文老师的人数”的基本事件数，利用古典概型计算公式可求得结果.
（2）根据题意，列出的所有可能的取值，求出对应的概率，即可列出分布列.
【详解】（1）从6名老师中选3人的方法种数有：.
数学老师多于语文老师的选法有：
①1名数学，2名英语的选法：种；
②2名数学的选法有：种.
所以数学老师多于语文老师的选法有：种.
故数学老师多于语文老师的概率为：.
（2）由题意，的可能取值为：0，1，2.
，，.
所以的分布列为：
0 1 2
0.2 0.6 0.2
18．(1)
(2)
(3)分布列见解析
【分析】（1）分别计算实物概率和虚拟商品概率，相乘得到答案.
（2）积分不低于8分考虑两种情况，分别计算概率相加得到答案.
（3）X的可能取值为3，4，5，分别计算概率得到分布列.
【详解】（1）小张一个月购买实物商品不低于100元的概率为，
购买虚拟商品不低于100元的概率为，因此所求概率为.
（2）根据条件，积分不低于8分有两种情况：
①购买实物商品积分为6分，购买虚拟商品的积分为2，3，4分；
②购买实物商品积分为4分，购买虚拟商品的积分为4分，
故小张一个月积分不低于8分的概率为.
（3）由条件可知X的可能取值为3，4，5.
， ，
即X的分布列如下：
X 3 4 5
P
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页7.2离散型随机变量及其分布列
第二课 归纳核心考点
题型一 判断随机试验中的随机变量
例1 判断正误：
（1）随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．（ ）
（2）在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量．（ ）
（3）随机变量是用来表示不同试验结果的量的取值．（ ）
（4）某人投篮10次，投中的次数是离散型随机变量．（ ）
【解析】（1）离散型随机变量的取值可以是有限个，连续型随机变量的取值是无限个．
（2）出现正面的次数是0或1，是随机变量．
（3）每个试验结果对应一个随机变量．
（4）投中的次数是随机的，且能一一列举出来．
【答案】（1）√ （2）√ （3）√ （4）√
【方法总结】判断一个变量是不是随机变量要看三个特征：①可用数来表示；②试验之前可以判断其可能出现的所有值；③在试验之前不能确定取值，若满足这三个特征，即为随机变量．进一步，若随机变量的取值能按照一定的顺序一一列举出来，则为离散型随机变量；若随机变量的取值为某一区间或某几个区间内的一切值，则为连续型随机变量．
变式练
【变式训练1-1】
[山东泰安一中等校2022高二质检]
1．下列X是离散型随机变量的是（ ）
①某座大桥一天经过的车辆数X；
②在一段时间间隔内某种放射性物质放出的α粒子数η；
③一天之内的温度X；
④一射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中得0分，用X表示该射手在一次射击中的得分.
A．①②③④ B．①②④
C．①③④ D．②③④
【变式训练1-2】
[山东菏泽2022高二月考]
2．(多选)下面是离散型随机变量的是（ ）
A．某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X
B．某人射击2次，击中目标的环数之和记为X
C．测量一批电阻，在950 Ω～1 200 Ω之间的阻值记为X
D．一个在数轴上随机运动的质点，它在数轴上的位置记为X
题型二 分布列及其性质的应用
例2 随机变量X的概率分布列的规律为（n＝1，2，3，4），其中a为常数，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】由，
可知，即，得．
∴．
【答案】D
【方法总结】利用离散型随机变量分布列的性质解题时要注意以下两点：
（1），i＝1，2，…，n的各个取值表示的事件是互斥的．
（2）不仅要注意，而且要注意，i＝1，2，…，n．
【变式训练2-1】
[广东梅州2022高二期中]
3．已知离散型随机变量X的分布列，则（ ）
A．1 B． C． D．
【变式训练2-2】
4．下列表格可以作为ξ的分布列的是（ ）
A．
0 1 3
P a 1－a
B．
1 2 3
P 1
C．
4 5
P 0 1
D．
－1 1 2
P 2a
题型三 求离散型随机变量的分布列
例3 某班为了活跃元旦晚会的气氛，主持人请12位同学做一个游戏，第一轮中，主持人将标有数字1到12的十二张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字7到12的卡片的同学留下，其余的淘汰；第二轮将标有数字1到6的六张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字4到6的卡片的同学留下，其余的淘汰；第三轮将标有数字1，2，3的三张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字2，3的卡片的同学留下，其余的淘汰；第四轮用同样的办法淘汰一位同学，最后留下的这位同学获得一个奖品．已知同学甲参加了该游戏．
（1）求甲获得奖品的概率；
（2）设X为甲参加游戏的轮数，求X的分布列．
【解】（1）设“甲获得奖品”为事件A，在每轮游戏中，甲留下的概率与其摸卡片的顺序无关，
则．
（2）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，则
，，
，．
所以随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P
【方法总结】离散型随机变量分布列的求解步骤：
（1）明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义．
（2）求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率．
（3）画表格：按规范要求形式写出分布列．
（4）做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确．
注意：求随机变量某一范围内取值的概率，要注意它在这个范围内的概率等于这个范围内各概率值的和．
【变式训练3-1】
[河北邢台2022高二月考]
5．某工厂生产一种航天仪器零件，每件零件生产成型后，得到合格零件的概率为0.6，得到的不合格零件可以进行一次技术处理，技术处理费用为100元/件，技术处理后得到合格零件的概率为0.5，得到的不合格零件成为废品．
(1)求得到一件合格零件的概率；
(2)合格零件以1500元/件的价格销售，废品以100元/件的价格被回收．零件的生产成本为800元/件，假如每件产品是否合格相互独立，记X为生产一件零件获得的利润，求X的分布列．
【变式训练3-2】
[江西抚州2021高二期末]
6．某单位为丰富员工的业余生活，利用周末开展趣味野外拉练，此次拉练共分A，B，C三大类，其中A类有3个项目，每项需花费2小时，B类有3个项目，每项需花费3小时，C类有2个项目，每项需花费1小时．要求每位员工从中随机选择3个项目，每个项目的选择机会均等．
(1)求小张在三类中各选1个项目的概率；
(2)设小张所选3个项目花费的总时间为X小时，求X的分布列．
题型四 两点分布
例4 .抛掷一颗骰子两次，定义随机变量
试写出随机变量的分布列（用表格格式）．
【解】当第一次向上一面的点数等于第二次向上一面的点数时，有6种情况，所以，由互斥事件概率公式得，，所以的分布列是
0 1
P
【方法总结】在两点分布中，只有两个对立的结果，所以知道一个结果的概率便可以求出另一个结果的概率．
【变式训练4-1】
[山东淄博2022高二期末]
7．下列选项中的随机变量服从两点分布的是（ ）
A．抛掷一枚骰子，所得点数
B．某射击手射击一次，击中目标的次数
C．从装有除颜色外其余均相同的5个红球 3个白球的袋中任取1个球，设
D．某医生做一次手术，手术成功的次数
【变式训练4-2】
8．已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-3】
9．随机变量ξ服从两点分布,且P(ξ=1)=0.8,η=3ξ-2,则P(η=-2)= .
易错点 离散型随机变量的可能取值搞错致误　　
典例 小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可一次性获得价值分别为1000元，3000元，6000元的奖品(不重复得奖)用X表示小王所获奖品的价值，写出X的所有可能取值．
[错解]　X的可能取值为0,1000,3000,6000．
X＝0表示一关没过；
X＝1000表示只过第一关；
X＝3000表示只过第二关；
X＝6000表示只过第三关．
[易错剖析]　①对题目背景理解不准确；比赛设三关，前一关不过是不允许进入下一关比赛的；
②忽略题目中的条件：忽略不重复得奖，最高奖不会超过6000元．
[正解]　X的可能取值为0,1000,3000,6000．
{X＝0}表示“第一关就没有通过”；
{X＝1000}表示“第一关通过，而第二关没有通过”；
{X＝3000}表示“第一关通过、第二关通过而第三关没有通过”；
{X＝6000}表示“三关都通过”．
针对训练
10．袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是（ ）
A．5 B．9 C．10 D．25
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】根据离散型随机变量的定义逐一判断即可.
【详解】①、②、④中的X取值均可一一列出，而③中的X是一个范围.不能一一列举出来，
故选：B.
2．AB
【分析】AB中的值是整数值，是可以列举的，是离散型随机变量，CD中的值是连续的实数值，是不能一一列举的，是连续型随机变量.
【详解】根据离散型随机变量的定义知，A，B是离散型随机变量．
故选：AB.
【点睛】本题考查离散型随机变量的概念：它全部可能取到的不相同的值是有限个或可列无限多个.
3．C
【分析】根据概率和为1，可求得，代入计算即可．
【详解】由题意得随机变量X的分布列如表所示.
X 1
P a
由分布列的性质得，，解得.
∵，∴或，
∴.
故选C.
4．C
【分析】根据分布列的性质以及各概率之和等于1即可求出正确结果．
【详解】对于A，各概率之和为，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，满足以及各概率之和等于1，故C正确；
对于D，，故D错误．
故选：C．
5．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）设事件A：“一次性成型即合格”，设事件B：“经过技术处理后合格”，求得的值，结合互斥事件的概率公式，即可求解；
（2）根据题意，得到随机变量可取，，，求得相应的概率，即可得出的分布列.
【详解】（1）解：设事件A：“一次性成型即合格”，设事件B：“经过技术处理后合格”，
则，．
所以得到一件合格零件的概率为．
（2）解：若一件零件一次成型即合格，则．
若一件零件经过技术处理后合格，则．
若一件零件成为废品，则．
所以可取，，，
则，，
，
所以随机变量的分布列为
0.6 0.2 0.2
6．(1)
(2)分布列见解析
【分析】（1）在三类项目中各选一个有种选法，总的选法数有种，由古典概型公式即可求得所求概率；
（2）先分析X的可能取值，对于每一个的取值求得对应概率，由此可得的分布列.
【详解】（1）记事件M为“在三类中各选1个项目”，则，
所以小张在三类中各选1个项目的概率为．
（2）由题知X的所有可能取值为4，5，6，7，8，9，
则，，
，，
，．
所以X的分布列为
X 4 5 6 7 8 9
P
7．BCD
【分析】由两点分布的定义依次判断，即得解
【详解】由题意可知B，C，D中的随机事件只有两种结果，随机变量均服从两点分布，
而抛掷一枚骰子，所得点数的取值为1，2，3，4，5，6，所以A中的随机变量不服从两点分布.
故选:BCD
8．C
【分析】根据两点分布得，与条件联立解得结果.
【详解】因为的分布列服从两点分布，所以，
因为，所以
故选：C
【点睛】本题考查两点分布，考查基本分析求解能力，属基础题.
9．0.2
【分析】根据变量间的关系知η=-2即ξ=0,根据两点分布的特征即可求解.
【详解】当η=-2时,ξ=0,
所以P(η=-2)=P(ξ=0)=1-P(ξ=1)=0.2.
【点睛】本题主要考查了二点分布，属于容易题.
10．B
【分析】根据每次抽取的球号均可能是1，2，3，4，5中某个可得答案.
【详解】由于抽球是在有放回条件下进行的，所以每次抽取的球号均可能是1，2，3，4，5中某个，故两次抽取球号码之和X的可能取值是2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9个.
故选：B.
答案第1页，共2页
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