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7.1.1条件概率7.1.2全概率公式
第三课 知识扩展延伸
扩展1：三个及以上事件的全概率公式的应用
例1 （23-24高二下·湖南长沙·开学考试）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐中取出的球是红球的事件.下列结论正确的个数是（ ）
①事件与相互独立 ②
③ ④
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】
根据独立事件的概念判断①，计算条件概率判断②，根据全概率公式求解判断②④，即可回答.
【详解】显然，，，是两两互斥的事件，且，，
而，①错误；
，，所以，②正确；
，③正确；
，④错误，综上：结论正确的个数为2.
故选：C.
方法总结 利用全概率公式的思路
（1）按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件Ai（i＝1，2，…，n）；
（2）求P（Ai）和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P（Ai）P（B|Ai）；
（3）代入全概率公式计算.
【举一反三1-1】
（2024·河南信阳·二模）
1．随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是（ ）
A． B． C． D．
【举一反三1-2】
（2024·黑龙江哈尔滨·一模）
2．有3台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率分别为，加工出来的零件混放在一起．己知第台车床加工的零件数的比为，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工” ，事件“零件为次品”，则（ ）
A．0.2 B．0.05 C． D．
扩展2：全概率公式与贝叶斯公式的综合应用
从公式结构上看，全概率公式与贝叶斯公式关系密切，如何正确使用这两个公式是本节的一个重要的内容．
如果所求事件的概率与前后两个试验有关，且这两个试验彼此关联，第一个试验的各种结果直接对第二个试验产生影响，而问第二个试验出现某结果的概率，这类问题属于全概率公式的应用问题．至于在什么情况下使用贝叶斯公式，这就要看问题的提法．如果已知某事件已发生，要求样本空间中导致该事件发生的某一事件的概率，应采用贝叶斯公式求之．
如果事件B能且只能在原因下发生，且两两互斥，，这些原因发生的概率（i＝1，2，…，n）以及在原因发生的条件下事件B发生的概率都是已知的，或都可求出，则
（1）可使用全概率公式计算事件B发生的概率．
（2）如果已知事件B发生，要计算导致结果B发生的原因的可能性大小，即事件的条件概率的大小，可采用贝叶斯公式求之．
显然，如果把看成是导致事件B发生的原因，那么全概率公式与贝叶斯公式可分别说成“由因求果”与“执果求因”的概率计算公式．
例1 设甲箱中有3个白球和2个黑球，乙箱中有1个白球和2个黑球，先从甲箱中任意取两球放入乙箱，然后再从乙箱中任意取出两球．试求：
（1）从乙箱中取出的两球是白球的概率；
（2）在乙箱中取出的两球是白球的条件下，从甲箱中取出的两球是白球的概率．
【思路分析】（1）从乙箱中取球（第二个试验）之前，要先从甲箱中任意取两球放入乙箱（第一个试验），而从甲箱中取球的结果影响到从乙箱中取球的结果，故本题可用全概率公式求解．
（2）本题是在事件B发生的条件下，求导致这一试验结果发生的原因属于事件的概率有多大，可用贝叶斯公式求解．
【解】因为从甲箱中任意取两球放入乙箱仅有3种可能：取得两白球，取得一黑球和一白球，取得两黑球．分别用，，表示，则，，为样本空间的一个完备事件组．
设“从乙箱中取出的两球是白球”为事件B，
则有，，，
，，．
（1）由全概率公式得．
（2）由贝叶斯公式得．
例3 一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为p．若第一次及格则第二次及格的概率也为p；若第一次不及格则第二次及格的概率为．若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率．
【解】记“该学生第i次考试及格”为事件，i＝1，2．
已知，，，．
则由全概率公式得．
由贝叶斯公式得．
【方法总结】全概率公式和贝叶斯公式的选择
若随机试验可以看成分两个阶段进行，且第一阶段的各试验具体结果怎样未知，则（1）若要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式；（2）若第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率．熟记这个特征，在遇到相关的题目时，可以准确地选择公式进行计算，保证解题的正确高效．
变式练
3-1
[山东淄博2021高二期末]
3．8支步枪中有5支已经校准过，3支未校准，一名射手用校准过的枪射击时，中靶的概率为0.8，用未校准的步枪射击时，中靶的概率为0.3，现从8支中任取一支射击，结果中靶，则所选用的枪是校准过的概率为（ ）
A． B． C． D．
3-2
4．两台车床加工同样的零件，第一台车床出现不合格品的概率是0.03，第二台车床出现不合格品的概率是0.06，加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件数量比第二台加工的零件数量多一倍．
(1)求任取一个零件是合格品的概率；
(2)如果取出的零件是不合格品，求它是由第二台车床加工的概率．
（23-24高二上·山东德州·期末）
5．在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1、2、3、4外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择.现在已知甲选择了1号箱，若用表示i号箱有奖品，用表示主持人打开i号箱子，则 ； .
（2023·全国·高考真题）
6．某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ）
A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4
（2024·宁夏吴忠·模拟预测）
7．已知甲同学从学校的2个科技类社团，4个艺术类社团，3个体育类社团中选择报名参加，若甲报名了两个社团，则在仅有一个是艺术类社团的条件下，另一个是体育类社团的概率（ ）
A． B． C． D．
（2024·山东临沂·一模）
8．长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是（ ）
A． B． C． D．
（2024·福建福州·模拟预测）
9．甲、乙、丙三个地区分别有、、的人患了流感，且、、构成以为公差的等差数列．已知这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一人，在此人患了流感的条件下，此人来自甲地区的概率最大，则的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
（2024·陕西宝鸡·二模）
10．某位同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒3盒、莲花清瘟胶囊2盒、清开灵颗粒5盒．若这三类药物能治愈感冒的概率分别为，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用，则感冒被治愈的概率为（ ）
A． B． C． D．
（2024·江苏宿迁·一模）
11．人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为（ ）
A． B． C． D．
（2022·天津·高考真题）
12．52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为 ；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为
（23-24高三上·江苏扬州·期末）
13．有一个邮件过滤系统，它可以根据邮件的内容和发件人等信息，判断邮件是不是垃圾邮件，并将其标记为垃圾邮件或正常邮件.对这个系统的测试具有以下结果：每封邮件被标记为垃圾邮件的概率为，被标记为垃圾邮件的有的概率是正常邮件，被标记为正常邮件的有的概率是垃圾邮件，则垃圾邮件被该系统成功过滤（即垃圾邮件被标记为垃圾邮件）的概率为 .
（2022·全国·高考真题）
14．在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：

(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率；
(3)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.
（2022·新高考Ⅰ卷改编）
15．一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
不够良好 良好
病例组 40 60
对照组 10 90
从该地的人群中任选一人，表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”， 表示事件“选到的人患有该疾病”， 与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为.
(1)证明；
(2)利用该调查数据，给出，的估计值，并利用（1）的结果给出的估计值.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】设事件A表示“自驾”，事件B表示“坐公交车”，事件C表示“骑共享单车”，事件D“表示迟到”，利用全概率公式以及条件概率公式即可得到答案.
【详解】设事件A表示“自驾”，事件B表示“坐公交车”，事件C表示“骑共享单车”，事件D“表示迟到”，
由题意可知：，
则，
，
若小明迟到了，则他自驾去上班的概率是.
故选：B.
2．D
【分析】
根据题意，由全概率公式、条件概率公式和贝叶斯公式，结合已知条件，求解即可.
【详解】根据题意可得：；
；
由全概率公式可得：
；
故.
故选：D.
3．B
【分析】利用全概率公式及条件概率公式可求解.
【详解】设事件A表示“射击时中靶”，事件表示“使用的枪校准过”，事件表示“使用的枪未校准”，则，是的一个划分．
，，，，
根据全概率公式得

，
所以．
故选:B．
4．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，利用全概率公式即可得解；
（2）利用（1）中结论，结合对立事件的概率公式与条件概率公式即可得解.
【详解】（1）设表示“第台机床加工的零件” ；B表示“出现不合格品”；C表示“出现合格品”，
则，，，
，，
所以
．
（2）由（1）得，，
.
5． ##
【分析】
分析出：若奖品在3号箱里，主持人只能打开2、4号箱，可求得的值；求得，对奖品所在的箱子进行分类讨论，求出的值，再利用全概率公式可求得的值.
【详解】若奖品在3号箱里，主持人只能打开2、4号箱，故；
奖品随机等可能分配到四个箱子中，因此、、、的概率均为，
奖品在号箱里，主持人可打开、、号箱，故，
奖品在号箱里，主持人打开号箱的概率为，故，
奖品在号箱里，主持人只能打开、号箱，故，
奖品在号箱里，主持人只能打开、号箱，故，
由全概率公式可得：.
故答案为：；
6．A
【分析】
先算出同时爱好两项的概率,利用条件概率的知识求解.
【详解】同时爱好两项的概率为，
记“该同学爱好滑雪”为事件,记“该同学爱好滑冰”为事件，
则，
所以.
故选:.
7．A
【分析】设事件为“仅有一个是艺术类社团”，事件为“另一个是体育类社团的概率”，利用条件概率公式可得结论.
【详解】设事件为“仅有一个是艺术类社团”，事件为“另一个是体育类社团的概率”，
则，，
.
故选：A.
8．C
【分析】
根据全概率公式计算可得.
【详解】设事件为“任意调查一名学生，每天玩手机超过”，事件为“任意调查一名学生，该学生近视”，
则，，
所以，
则．
故选：C
9．D
【分析】设事件、、分别为“此人来自甲、乙、丙三个地区”，事件为“此人患了流感”．利用条件概率公式计算出，根据题中条件可得出关于的不等式组，即可解得的取值范围，即可得解.
【详解】设事件、、分别为“此人来自甲、乙、丙三个地区”，
事件、、分别为“此人患了流感，且分别来自甲、乙、丙地区”，
事件为“此人患了流感”．
由题可知，，，，
，
由条件概率公式可得，
，，
由题意可得，即，解得，
故选：D.
10．C
【分析】
根据全概率公式计算可得；
【详解】记服用金花清感颗粒为事件，服用莲花清瘟胶囊为事件，服用清开灵颗粒为事件，感冒被治愈为事件，
依题意可得，，，，，，
所以
.
故选：C
11．C
【分析】根据题意，由贝叶斯公式代入计算，即可得到结果.
【详解】记“视频是AI合成”为事件，记“鉴定结果为AI”为事件B，
则，
由贝叶斯公式得：，
故选：C．
12．
【分析】由题意结合概率的乘法公式可得两次都抽到A的概率，再由条件概率的公式即可求得在第一次抽到A的条件下，第二次抽到A的概率.
【详解】由题意，设第一次抽到A的事件为B,第二次抽到A的事件为C,
则.
故答案为：；.
13．
【分析】记“正常邮件”，“标记为正常邮件”，根据题设有，，，再应用对立事件、条件概率、全概率及贝叶斯公式求垃圾邮件被该系统成功过滤的概率.
【详解】记“正常邮件”，“标记为正常邮件”，则，，，
所以，，
故，
所以.
故答案为：
14．(1)岁；
(2)；
(3)．
【分析】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；
（2）设{一人患这种疾病的年龄在区间}，根据对立事件的概率公式即可解出；
（3）根据条件概率公式即可求出．
【详解】（1）平均年龄
（岁）．
（2）设{一人患这种疾病的年龄在区间}，所以
．
（3）设“任选一人年龄位于区间[40,50)”，“从该地区中任选一人患这种疾病”，
则由已知得：
,
则由条件概率公式可得
从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，此人患这种疾病的概率为．
15．(1)证明见解析
(2)，，
【分析】（1）利用条件概率公式证明即可；
（2）由条件概率公式和对立事件概率公式结合（1）中结论求解即可.
【详解】（1）由题意可得，
所以只需证明即可，
上式左边，
右边，
左边右边，故.
（2）由调查数据可知，，，，
所以，，
所以，，
所以.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页7．1．1条件概率7．1．2全概率公式
第三练 能力提升拔高
【试题来源】来自各地期中期末的联考试题，进行整理和改编；
【试题难度】本次训练试题难度较大，适合学完第三课后，起到提升解题能力和素养的目的．
【目标分析】
1．利用条件的概率公式求解问题，培养数学运算，如第13题．
2．利用全概率公式求解问题，锻炼数学建模能力，如第2题．
3．能够灵活应用全概率公式、贝叶斯公式求解问题，锻炼数学建模能力，计算能力，如第12题．
一、单选题
（2024·湖南长沙·一模）
1．已知甲盒中有3个红球和2个黄球，乙盒中有2个红球和1个黄球.现从甲盒中随机抽取1个球放入乙盒中，搅拌均匀后，再从乙盒中抽取1个球，此球恰为红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
（23-24高二上·江西鹰潭·期末）
2．若甲盒中有2个白球 2个红球 1个黑球，乙盒中有x个白球（） 3个红球 2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率大于等于，则的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
（23-24高三上·江西·期末）
3．甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是（ ）
A．，互斥 B． C． D．
（2024·黑龙江哈尔滨·一模）
4．有3台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率分别为，加工出来的零件混放在一起．己知第台车床加工的零件数的比为，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工” ，事件“零件为次品”，则（ ）
A．0.2 B．0.05 C． D．
（23-24高三下·山东德州·开学考试）
5．某中学开展高二年级“拔尖创新人才”学科素养评估活动，其中物化生 政史地 物化政三种组合人数之比为，这三个组合中分别有的学生参与此次活动，现从这三个组合中任选一名学生，这名学生参与此次活动的概率为（ ）
A．0.044 B．0.18 C．0.034 D．0.08
（2024·河南·一模）
6．甲 乙两人进行一场友谊比赛，赛前每人记入3分．一局比赛后，若决出胜负，则胜的一方得1分，负的一方得分；若平局，则双方各得0分．若干局比赛后，当一方累计得分为6时比赛结束且该方最终获胜．令表示在甲的累计得分为i时，最终甲获胜的概率，若在一局中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
（2024·江苏南通·二模）
7．已知，.若随机事件A，B相互独立，则（　　）
A． B． C． D．
（2024·甘肃兰州·一模）
8．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，经他研究，随机事件，存在如下关系:．对于一个电商平台，用户可以选择使用信用卡、支付宝或微信进行支付．已知使用信用卡支付的用户占总用户的，使用支付宝支付的用户占总用户的，其余的用户使用微信支付．平台试运营过程中发现三种支付方式都会遇到支付问题，为了优化服务，进行数据统计发现：出现支付问题的概率是，若一个遇到支付问题的用户，使用三种支付方式支付的概率均为，则以下说法正确的是（ ）
A．使用信用卡支付的用户中有的人遇到支付问题
B．使用支付宝支付遇到支付问题与使用微信支付遇到支付问题的概率不同
C．要将出现支付问题的概率降到，可以将信用卡支付通道关闭
D．减少微信支付的人数有可能降低出现支付问题的概率
（23-24高三上·辽宁大连·期末）
9．已知，，三个盒子，其中盒子内装有2个红球，1个黄球和1个白球；盒子内装有2个红球，1个白球；盒子内装有3个红球，2个黄球.若第一次先从盒子内随机抽取1个球，若取出的球是红球放入盒子中；若取出的球是黄球放入盒子中；若取出的球是白球放入盒子中，第二次从第一次放入盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（ ）
A．在第一次抽到黄球的条件下，第二次抽到红球的概率为
B．第二次抽到红球的概率为
C．如果第二次抽到的是红球，则它来自号盒子的概率最大
D．如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有150种
三、填空题
（2024·贵州贵阳·一模）
10．核桃（又称胡桃、羌桃）、扁桃、腰果、榛子并称为世界著名的“四大干果”．它的种植面积很广，但因地域不一样，种植出来的核桃品质也有所不同：现已知甲、乙两地盛产核桃，甲地种植的核桃空壳率为（空壳率指坚果，谷物等的结实性指标，因花未受精，壳中完全无内容，称为空壳），乙地种植的核桃空壳率为，将两地种植出来的核桃混放在一起，已知甲地和乙地核桃数分别占总数的，，从中任取一个核桃，则该核桃是空壳的概率是 ．
（2024·天津·模拟预测）
11．第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元．ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中，某学习小组设计了如下问题进行研究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球，从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，则2个球都是红球的概率为 ；掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子中随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球，若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率是 ．
四、解答题
（22-23高二下·河北保定·期中）
12．某地举办了一次地区性的中国象棋比赛，小明作为选手参加.除小明外的其他参赛选手中，一、二、三类棋手的人数之比为5：7：8，小明与一、二、三类棋手比赛获胜的概率分别是0.6、0.5、0.4.
(1)从参赛选手中随机抽取一位棋手与小明比赛，求小明获胜的概率；
(2)如果小明获胜，求与小明比赛的棋手分别为一、二、三类棋手的概率.
（22-23高二下·甘肃白银·期末）
13．某同学正在研究投掷骰子的概率问题，在连续3次得到6点朝上的结果时，他产生了一个疑问：在连续多少次6点朝上时，是否该合理怀疑骰子不是均匀的 带着这个疑问，他研究了以下问题：有两个骰子，一个是正常的、均匀的1号骰子，另一个是不均匀的2号骰子.经测1试，投掷2号骰子得到6点朝上的概率为.
(1)若等可能地选择其中一个骰子，连续投掷3次，在得到都是6点朝上的结果的前提下，求这个骰子是2号骰子的概率.
(2)若每次都等可能地选择其中一个骰子，投掷了10次，在得到都是6点朝上的结果的前提下，设这10次中有次用了2号骰子的概率为，试问当取何值时最大 并求的最大值.
【易错题目】第11，13题
【复盘要点】全概率公式与贝叶斯公式的综合应用
【典例】
（2023·河南·三模）
14．某学校安排甲、乙、丙三个班级同时到学校礼堂参加联欢晚会，已知甲班艺术生占比8%，乙班艺术生占比6%，丙班艺术生占比5%．学生自由选择座位，先到者先选．甲、乙、丙三个班人数分别占总人数的，，．若主持人随机从场下学生中选一人参与互动．
(1)求选到的学生是艺术生的概率；
(2)如果选到的学生是艺术生，判断其来自哪个班的可能性最大．
【易错警示】正确理解条件概率、全概率公式的意义及性质，熟记贝叶斯公式的作用．
【复盘训练】
（2023·云南大理·模拟预测）
15．“狼来了”的故事大家小时候应该都听说过：小孩第一次喊“狼来了”，大家信了，但去了之后发现没有狼；第二次喊“狼来了”，大家又信了，但去了之后又发现没有狼；第三次狼真的来了，但是这个小孩再喊狼来了就没人信了．从数学的角度解释这一变化，假设小孩是诚实的，则他出于某种特殊的原因说谎的概率为；小孩是不诚实的，则他说谎的概率是．最初人们不知道这个小孩诚实与否，所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是．已知第一次他说谎了，那么他是诚实的小孩的概率是（ ）
A． B． C． D．
（22-23高二下·山东聊城·期末）
16．托马斯·贝叶斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为的全概率．假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球．已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
（22-23高二下·广东广州·期末）
17．在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误的接收为1或0.已知发送信号0时，接收到0和1的概率分别为0.9和0.1；发送给信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的，则接收的信号为1的概率是 ；若已知接收的信号为1，则发送的信号是1的概率是 .
（2023高二·全国·课后作业）
18．设某厂有甲，乙，丙三个车间生产同一产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的，，，并且各车间的次品率依次为，，.现从该厂这批产品中任取一件.
(1)求取到次品的概率；
(2)若取到的是次品，则此次品由三个车间生产的概率分别是多少？
（22-23高二下·湖北武汉·期末）
19．某中学篮球队根据以往比赛统计：甲球员能够胜任前锋，中锋，后卫三个位置，且出场概率分别为0.1，0.5，0.4.在甲球员出任前锋，中锋，后卫的条件下，篮球队输球的概率依次为0.2，0.2，0.7.
(1)当甲球员参加比赛时，求该篮球队某场比赛输球的概率；
(2)当甲球员参加比赛时，在该篮球队输了某场比赛的条件下，求甲球员在这一场出任中锋的概率；
(3)如果你是教练员，应用概率统计的有关知识该如何使用甲球员？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】
根据全概率公式即可求解.
【详解】
若从甲盒中抽到黄球放入乙盒，则从乙盒中抽到红球的概率为；
若从甲盒中抽到红球放入乙盒，则从乙盒中抽到红球的概率为.
因此，从乙盒中抽到的红球的概率为.
故选；D
2．C
【分析】
由全概率公式即可得解.
【详解】
设第一次从甲盒取出白球，红球，黑球的事件分别为，，，
从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的事件为，
则
，
解得，则的最大值为6．
故选：C.
3．C
【分析】根据条件概率、全概率公式、互斥事件的概念等知识，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】因为每次只取一球，故，是互斥的事件，故A正确；
由题意得，，，，
，故B，D均正确；
因为，故C错误.
故选：C.
4．D
【分析】
根据题意，由全概率公式、条件概率公式和贝叶斯公式，结合已知条件，求解即可.
【详解】根据题意可得：；
；
由全概率公式可得：
；
故.
故选：D.
5．D
【分析】
根据全概率公式求解.
【详解】设事件为“这名学生参与此次活动”，
事件为“这名学生选择物化生组合”，
事件为“这名学生选择政史地组合”，
事件为“这名学生选择物化政组合”，
则，
，
由全概率公式可知
.
故选：D.
6．C
【分析】根据题意结合全概率公式分析可得，进而可知是公比为的等比数列，利用累加法结合等比数列求和公式分析求解.
【详解】由题意可知：i的取值集合为，且，
在甲累计得分为1时，下局甲胜且最终甲获胜的概率为，
在甲累计得分为1时，下局平局且最终甲获胜的概率为，
在甲累计得分为1时，下局甲败且最终甲获胜的概率为，
根据全概率公式可得，
整理得，变形得，
因为，则，
同理可得，
所以是公比为的等比数列，
所以，
各项求和得，
则，即，解得．
故选：C.
【点睛】关键点点睛：根据题意利用全概率公式结合等比数列的定义可得是公比为的等比数列.
7．BCD
【分析】
根据条件概率公式和独立事件乘法公式即可判断ABC，再根据即可判断D.
【详解】对B，，B正确；
对A，，，A错误；
对C，，，C正确；
对D，
，D正确.
故选：BCD.
8．AC
【分析】根据贝叶斯公式分别求出使用信用卡，支付宝、微信支付出现支付问题的概率即可判断.
【详解】设、、分别表示事件使用信用卡支付、使用支付宝支付、使用微信支付，
表示事件出现支付问题，
则，，，
所以，
即使用信用卡支付的用户中有的人遇到支付问题，故A正确；
因为，，
即使用支付宝支付遇到支付问题与使用微信支付遇到支付问题的概率相同，故B错误；
因为使用信用卡支付的用户中有的人遇到支付问题，
而使用微信支付的用户中只有的人遇到支付问题，
故减少信用卡支付的人数有可能降低出现支付问题的概率，故D错误；
要将出现支付问题的概率降到，可以将信用卡支付通道关闭，故C正确；
故选：AC
9．AD
【分析】
由条件概率判断选项；利用全概率公式计算选项；利用贝叶斯公式计算选项；求不同元素的分组分配种数判断选项.
【详解】记第一次抽到红 黄 白球的事件分别为，，，则有， ，对于，在第一次抽到黄球的条件下，则黄球放入盒子内，
因此第二次抽到红球的概率为，正确；
记第二次在第，，号盒内抽到红球的事件分别为，而，，两两互斥，和为，，，，
记第二次抽到红球的事件为，
，不正确；
若取出的球是红球放入盒子中，若取出的球是黄球放入盒子中，若取出的球是白球放入盒子中，第二次从第一次放入盒子中任取一个球，
，，
，
即第二次抽到的是红球，则它来自盒子的概率最大，不正确；
把5个不同的小球分成3组的不同分组方法数是种，
将每一种分组方法分成的小球放在3个盒子中有种不同放法，
由分步乘法计数原理得不同的方法种数是种，正确.
故选：AD.
10．
【分析】
根据全概率概率公式计算可得.
【详解】设事件所取核桃产地为甲地为事件，事件所取核桃产地为乙地为事件，
事件所取核桃为空壳为事件，
则，，，，
所以.
故答案为：
11． ##0.4
【分析】
利用条件概率公式求摸出的2个球是红球的概率；利用全概率公式和贝叶斯公式求红球来自乙箱的概率.
【详解】记事件表示“抽出的2个球中有红球”，事件表示“两个球都是红球”，
则，，
故，
即从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，则2个球都是红球的概率为；
设事件表示“从乙箱中抽球”，则事件表示“从甲箱中抽球”，事件表示“抽到红球”，
则，，
，，
所以
，
所以，
即若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率是.
故答案为：；
12．(1)0.485
(2)、、.
【分析】
（1）根据已知条件，利用条件概率和全概率公式计算；
（2）利用贝叶斯公式分别求解即可.
【详解】（1）
记事件B：“小明获胜”，
记事件：“小明与第类棋手相遇”，
由题可得，，，，
，，
（1）由全概率公式可知
.
（2）
由条件概率公式可得
，
，
.
即小明获胜，对手分别为一、二、三类棋手的概率为、、.
13．(1)
(2)当时最大，且最大值为
【分析】
（1）利用条件概型概率计算公式求得所求的概率.
（2）利用条件概型概率计算公式求得，利用商比较法求得的最大值.
【详解】（1）
设事件{3次6点朝上}，事件{选择了2号骰子}，
则，
，
所以所求概率为.
（2）
设事件{10次有次用了2号骰子}，则.
设事件{10次6点朝上}，则.
，
.
令，，
则.
当时，，即；
当时，，即.
因为，所以的最大值是，
因为，所以的最大值是，
所以当时最大，
且最大值为.
14．(1)
(2)来自丙班的可能性最大
【分析】（1）依据题意根据全概率公式计算即可；
（2）根据条件概率公式分别计算，即可判断.
【详解】（1）设“任选一名学生恰好是艺术生”，
“所选学生来自甲班”，“所选学生来自乙班”,
“所选学生来自丙班”．由题可知：
，，，
，，
.
（2）；


所以其来自丙班的可能性最高．
15．D
【分析】
设出事件，利用全概率公式和贝叶斯公式进行求解.
【详解】设事件表示“小孩诚实”，事件表示“小孩说谎”，
则，，，，
则，
，
故，
故.
故选：D
16．C
【分析】根据题意，先分析求解设从甲中取出个球，其中白球的个数为个的事件为，事件的概率为，从乙中取出个球，其中白球的个数为2个的事件为，事件的概率为，再分别分析三种情况求解即可
【详解】设从甲中取出个球，其中白球的个数为个的事件为，事件的概率为，从乙中取出个球，其中白球的个数为2个的事件为，事件的概率为，由题意：
①，；
②，；
③，；
根据贝叶斯公式可得，从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率为
故选：C
17． ##
【分析】
空1：由全概率公式概率公式计算；空2：由贝叶斯概率公式计算．
【详解】
设 “发送的信号为0”， “接收到的信号为0”，
则 “发送的信号为1”， “接收到的信号为1”．
由题意可知：，
空1：可得；
空2：可得.
故答案为：；.
18．(1)
(2)甲车间生产的概率为：，由乙车间生产的概率为：，由丙车间生产的概率为：
【分析】（1）根据全概率计算公式，计算出所求概率.
（2）根据贝叶斯公式，计算出所求概率.
【详解】（1）记事件表示车间生产的产品，
记事件表示车间生产的产品，
记事件表示车间生产的产品，
记事件表示抽取到次品，
则,
，
取到次品的概率为
（2）若取到的是次品，
此次品由甲车间生产的概率为：
此次品由乙车间生产的概率为：
此次品由丙车间生产的概率为：
19．(1)0.4
(2)0.25
(3)应该多让甲球员出任前锋来增加赢球场次
【分析】（1）由已知设出事件，根据已知得出各个事件的概率，然后根据全概率公式，即可得出答案；
（2）结合（1）的答案，用贝叶斯公式计算条件概率，即可得出答案；
（3）分别用贝叶斯公式计算出球队输了某场比赛的条件下，甲担任各个位置的概率，根据概率值的大小关系，即可得出答案.
【详解】（1）设表示“甲球员出任前锋”，表示“甲球员出任中锋”，表示“甲球员出任后卫”，则，设B表示“球队输掉某场比赛”，
则，，，
，，
所以
.
所以当甲球员参加比赛时，该球队某场比赛输球的概率是0.4.
（2）由（1）知，球队输了某场比赛的条件下，甲球员在这一场出任中锋的概率
.
（3）由（1）知，已知球队输了某场比赛的条件下，
甲球员在这场出任前锋的概率；
甲球员在这场出任后卫的概率；
由（2）知，甲球员在这一场出任中锋的概率.
所以有，，
所以应该多让甲球员出任前锋来增加赢球场次.
答案第1页，共2页
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