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7.3离散型随机变量的数字特征
第二练 强化考点训练
【试题来源】来自名校、重点市区的月考、期中、期末的优质试题.
【试题难度】难度中等，配合第二课的题型训练，加强考点的理解和扩展.
【目标分析】
1.会求随机变量的期望，培养数学运算，如第3题.
2.会求随机变量的方差，锻炼数学运算能力，如第7题.
3.会用期望、方差的性质求解问题，锻炼数学运算能力，如第2题.
4.能够灵活应用随机变量的期望、方差公式求解实际问题，培养数学数据分析，数学建模，数学运算，如第8，10，13题.
（2024高三·全国·专题练习）
1．已知随机变量X的分布列如下：
X －1 0 1
P
设Y＝2X＋1，则Y的数学期望E(Y)的值是（ ）
A．－ B． C． D．－
（2024高二下·江苏·专题练习）
2．若随机变量Z的分布列为
Z 1 2 3
P 0.5 x y
且，则等于（　　）
A． B． C． D．
（22-23高二下·湖南衡阳·期中）
3．一袋中装有编号分别为1，2，3，4的4个球，现从中随机取出2个球，用表示取出球的最大编号，则（ ）
A．2 B．3 C． D．
（23-24高三上·河南·期末）
4．已知离散型随机变量X的分布列如下，则的最大值为（ ）
X 0 1 2
P a
A． B． C． D．1
（23-24高二下·江西吉安·阶段练习）
5．将字母放入的表格中，每个格子各放一个字母，若共有行字母相同，则得分，则所得分数的均值为（ ）
A． B． C． D．
（2022·山东省枣庄市模拟）
6．已知随机变量X的分布列：
0 2
若，，则（ ）
A． B． C． D．
（23-24高三上·江苏镇江·开学考试）
7．已知随机变量X的分布列如下表所示，若，则（ ）
X 0 1
P a b
A． B． C． D．
（22-23高二下·广东深圳·阶段练习）
8．甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜制，规定每一局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，则（ ）
A． B．
C． D．
9．已知离散型随机变量X的分布列为
-1 0 1
a
设，则Y的数学期望 ．
（2023·河北省衡水市期中）
10．一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等品可获利50元，生产出一件乙等品可获利30元，生产出一件次品，要赔20元，已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6，0.3，和0.1，则这台机器每生产一件产品平均预期可获利 元．
（2022·江苏省七校联考）
11．已知离散型随机变量X的分布列为：
X 0 1 2
P a b c
若E(X)= ，则当取最小值时，方差V(X)= .
（2023·安徽省滁州市期末）
12．已知的分布列如下：
0 1
(1)求的分布列；
(2)计算的方差；
(3)若，求的均值和方差．
（2023·辽宁省沈阳市市级重点高中联合体期末）
13．为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为；两人滑雪时间都不会超过3小时．
(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与均值E(ξ)，方差D(ξ)．
【易错题目】第12题
【复盘要点】混淆期望方差的性质\\
（23-24高三上·江苏镇江·阶段练习）
【典例】若随机变量服从两点分布，其中，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据随机变量服从两点分布推出，根据公式先计算出、，由此分别计算四个选项得出结果.
【详解】随机变量服从两点分布，其中，，
，
，
在A中，，故A正确；
在B中，，故B正确；
在C中，，故C错误；
在D中，，故D正确.
故选：C.
【易错警示】混淆期望方差的性质.
均值与方差的性质
（1）E（aX＋b）＝aE（X）＋b.
（2）D（aX＋b）＝a2D（X）（a，b为常数）.
[常用结论]
（1）若X是随机变量，Y＝aX＋b，a，b是常数，则Y也是随机变量.
（2）E（X1＋X2）＝E（X1）＋E（X2）；
D（X）＝E（X2）－（E（X））2.
【复盘训练】
（23-24高二上·河南南阳·期末）
14．已知随机变量，满足，且，则（ ）
A．16 B．8 C．4 D．
（22-23高二下·陕西渭南·期末）
15．已知随机变量的分布列如下，则（ ）
A．3 B．9 C．27 D．11
（23-24高三上·浙江·阶段练习）
16．设离散型随机变量的期望和方差分别为和，且，则（ ）
A．
B．
C．
D．和大小不确定
（22-23高二下·河北石家庄·阶段练习）
17．若随机变量X服从两点分布，其中，，分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（2024高三·全国·专题练习）
18．已知随机变量的分布列为P(X＝k)＝，k＝1，2，3，4，则D(2X－1)＝ ．
（22-23高二下·四川雅安·阶段练习）
19．设抛掷一枚骰子的点数为随机变量X，则 ．
（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）
20．离散型随机变量的分布列为，，2，3，…，6，其期望为，若，则 .
（22-23高二下·江苏·课后作业）
21．已知随机变量X的概率分布为
X －2 －1 0 1 2
P m
若，且，则 ．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【详解】随机变量X的数学期望为E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－.又Y＝2X＋1，所以随机变量Y的数学期望为E(Y)＝2E(X)＋1＝2×(－)＋1＝.
2．C
【分析】根据题意，结合分布列的性质和期望的公式，列出方程组，即可求解.
【详解】根据题意，可得，解得，所以.
故选：C.
3．C
【分析】由题意随机变量X所有可能取值为2，3，4，然后求出各自对应的概率，即可求出X的分布列，再计算期望即可.
【详解】由题意随机变量X所有可能取值为2，3，4.
且，，.
因此X的分布列为：
X 2 3 4
P
则，
故选：C.
4．C
【分析】根据分布列中概率和为可得的值和的范围，再求出，的表达式，转化成求二次函数在闭区间的最值问题，计算即可得出结果.
【详解】，故，
易得，，则，
故，
，
又因为，所以．
故选：C．
5．B
【分析】求出随机变量的可能取值，再结合排列、组合及古典摡型的概率求得各个值对应的概率，利用期望的公式，即可求解.
【详解】字母放入的表格中的不同结果有种，
随机变量的可能的取值为，
可得，
则，
所以随机变量的期望为.
故选：B.
6．B
【分析】由，可得，由随机变量分布列的期望、方差公式，联立即得解.
【详解】由题意，，
且，又，
，
联立可得：
故选：B
【点睛】本题考查了随机变量分布列的期望和方差，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.
7．B
【分析】利用期望公式与分布列的性质得到的方程组，从而求得，再利用方差公式即可得解.
【详解】因为，且各概率之和为，
所以，解得，
所以.
故选：B.
8．D
【分析】求出随机变量的所有取值，求出对应概率，再根据期望与方差公式计算即可.
【详解】由题意，可取，
，
，
则，
.
故选：D.
9．0
【分析】根据题意先求出，再求出，再结合期望的性质从而可求解.
【详解】由已知得，解得，
则，
.
故答案为：.
10．
【分析】根据数学期望的知识求得正确答案.
【详解】依题意可知，平均预期可获利元.
故答案为：
11．
【分析】由均值和分布列的性质得出的关系，然后由取最小值求得，再由方差公式计算方差．
【详解】由题意，所以，
则，
易知时，取得最小值．此时，，
所以．
故答案为：．
12．(1)分布列见解析
(2)
(3)，
【分析】（1）根据分布列先求出，即可得出的分布列；
（2）先根据分布列求出均值，根据方差公式求出即可；
（3）根据均值和方差的性质可求.
【详解】（1）由分布列的性质，知，故，
从而的分布列为
0 1
（2）由（1）知，
所以的均值．
故的方差；
（3）因为，
所以，．
13．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由题意两人所付费用相同，相同的费用可能为0，40，80元，然后求出相应的概率即可；
（2）确定ξ的所有可能取值，计算相应的概率，得出分布列，进一步求解均值和方差即可．
【详解】（1）两人所付费用相同，相同的费用可能为0，40，80元，
甲、乙两人2小时以上且不超过3小时离开的概率分别为1－－＝，1－－＝．
两人都付0元的概率为P1＝×＝，
两人都付40元的概率为P2＝×＝，
两人都付80元的概率为P3＝×＝，
则两人所付费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝．
（2）ξ的所有可能取值为0，40，80，120，160，
则P(ξ＝0)＝×＝，
P(ξ＝40)＝×＋×＝，
P(ξ＝80)＝×＋×＋×＝，
P(ξ＝120)＝×＋×＝，
P(ξ＝160)＝×＝．
所以ξ的分布列为
ξ 0 40 80 120 160
P
E(ξ)＝0×＋40×＋80×＋120×＋160×＝80，
D(ξ)＝(0－80)2×＋(40－80)2×＋(80－80)2×＋(120－80)2×＋(160－80)2×＝．
14．B
【分析】由方差的性质求解即可.
【详解】由题可知.
故选：B.
15．B
【分析】根据均值和方差公式求出与，再利用方差的性质进行求解即可．
【详解】由题意可得，
此时，
所以．
故选：B．
16．C
【分析】根据期望和方差公式计算并作差可得．
【详解】设，则，
，
，
.，
所以，
所以，
故选：C．
17．AB
【分析】根据两点分布可得期望与方差，再结合期望、方差的性质运维求解.
【详解】由题意可知：，
随机变量X的分布列为
X 0 1
P
由两点分布可知：，故A正确，D错误；
所以，，故B正确，C错误；
故选：AB.
18．5
【详解】∵P(X＝k)＝，k＝1，2，3，4，∴E(X)＝×(1＋2＋3＋4)＝，D(X)＝×[(1－)2＋(2－)2＋(3－)2＋(4－)2]＝，∴D(2X－1)＝22D(X)＝4×＝5.
19．
【分析】写出X的分布，求出其期望和方差即可.
【详解】易知X的所有可能取值为1、2、3、4、5、6，且每种取值的概率都为，
所以，
，
所以，
故答案为：.
20．
【分析】根据方差的定义求得，然后利用方差性质求解即可.
【详解】由题意及方差定义知，所以.
故答案为：
21．15
【分析】利用分布列的性质可求得，继而可求，再利用期望的性质可求.
【详解】由分布列的概率之和为1可得：，解得，
．
故答案为：15.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页7.3离散型随机变量的数字特征
第二课 归纳核心考点
题型一：利用定义求离散型随机变量的均值与方差
例1 在一个不透明的纸袋里装有5个大小相同的小球，其中有1个红球和4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数X的均值和方差．
【解】由题意得，X可能的取值为1，2，3，4，5，则，，，，，
故X的分布列为
X 0 1 2 3 4 5
P
由离散型随机变量的均值与方差的定义知，
．
【方法总结】利用定义法求随机变量X的均值与方差的步骤：
（1）理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值；
（2）求出随机变量X取每个值的概率；
（3）写出随机变量X的分布列；
（4）利用均值与方差的定义求，．
【变式训练1-1】
[河北邢台2021高二期中]
1．设随机变量的分布列如下：
若，则的最大值是 ，的最大值是 .
【变式训练1-2】
[上海建平中学2022高二期末]
2．某市为了解2022届高三学生数学学习情况，该市教育局组织高三学生进行了摸底考试，现从参加考试的学生中随机抽取了100名，将他们的数学成绩（满分为100分）分为[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]共6组，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求a的值；
(2)记A表示事件“从参加考试的所有学生中随机抽取一名学生，该学生的数学成绩不低于60分”，试估计事件A发生的概率；
(3)在抽取的100名学生中，采用分层抽样的方法从成绩在[60，90）内的学生中抽取15名，再从这15名学生中随机抽取4名，记这4名学生成绩在[60，70）内的人数为X，求X的分布 期望及方差.
题型二：利用性质求随机变量的均值与方差
例2 已知随机变量X的分布列如下：
X -1 0 1
P a
（1）求随机变量的分布列；
（2）计算X的方差；
（3）若随机变量，求Y的均值和方差．
【解】（1）由分布列的性质知，故，从而的分布列为
0 1
P
（2）方法一：由（1）知，
所以X的均值．
故X的方差．
方法二：由（1）知，
所以X的均值为，的均值为，
所以X的方差．
（3）因为随机变量，
所以，．
【方法总结】（1）方差的计算需要一定的运算能力，在随机变量的均值比较容易计算的情况下，运用关系式不失为一种比较实用的方法．
（2）若变量间存在的关系，应注意均值与方差性质的应用，即利用，求解．
【变式训练2-1】
[江苏苏州2022高二期中]
3．设离散型随机变量X的分布列为（ ）
X 0 1 2 3 4
P 0.1 0.4 0.1 q 0.2
若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（ ）
A． B．，
C．， D．，
【变式训练2-2】
[江西上饶2022高二期末]
4．设，随机变量的分布列如表所示，随机变量，则当在上增大时，下列关于、的表述正确的是（ ）
A．增大
B．先减小后增大
C．先增大后减小
D．增大
【变式训练2-3】
5．已知η的分布列为
η 0 10 20 50 60
P
（1）求η的方差及标准差；
（2）设，求D(Y).
题型三：两点分布的均值与方差
例3 若某事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事件在一次试验中发生的概率为__________．
【解析】设该事件在一次试验中发生的概率为p，在一次试验中发生次数记为X，则X服从两点分布，则，即，解得
【答案】0.5
【关键点拨】求服从两点分布的随机变量的均值与方差的关键是判断问题中的变量是否服从两点分布．
【变式训练3-1】
6．若某事件A发生的概率为，则事件A在一次试验中发生的次数X的方差的最大值为 ．
易错点：审题不清致错
（2024·广东·一模）
7．已知随机变量的分布列如下：
1 2
则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
易错警示 审题不清，混淆期望与方差的计算公式.
针对训练1-1
（2024·广东·模拟预测）
8．设，随机变量的分布列如下图所示，则下列说法正确的有（ ）
X 0 1 2
P
A．恒为1 B．随增大而增大
C．恒为 D．最小值为0
针对训练1-2
（23-24高二上·辽宁辽阳·期末）
9．小明参加某射击比赛，射中得1分，未射中扣1分，已知他每次能射中的概率为，记小明射击2次的得分为X，则（ ）
A． B． C． D．
针对训练1-3
（23-24高三上·天津武清·阶段练习）
10．有两个随机变量和，它们的分布列分别如下表：
1 2 3 4 5
0.03 0.3 0.5 0.16 0.01
1 2 3 4 5
0.1 0.2 0.3 0.2 0.2
则关于它们的期望，和它们的方差和，下列关系正确的是（ ）
A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．
【解析】①根据概率性质求得，计算出的范围；
②计算出结合二次函数性质求解取值范围.
【详解】①由题意可得
解得.
因为，
所以的最大值是，
②因为
，
因为，所以，
所以的最大值是
【点睛】此题考查求解分布列的期望和方差，根据函数性质求解取值范围，易错点在于漏掉考虑概率的取值范围.
2．(1)
(2)0.85
(3)分布列见解析，，
【分析】（1）根据所有的小矩形的面积之和为得到方程，解得.
（2）根据频率分布直方图，计算概率.
（3）按分层抽样的规则分别计算出成绩在，，内的人数，在列出分布列，计算出数学期望和方差.
【详解】（1），
，
（2）成绩不低于60分的频率为，
事件A发生的概率约为0.85.
（3）抽取的100名理科生中，
成绩在内的有人，
成绩在内的有人，
成绩在内的有人，故采用分层抽样抽取的15名理科生中，
成绩在内的有4人，在内的有6人，在内的有5人，
由题可知，X的可能取值为0，1，2，3，4，
，
，
的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
.
随机变量X服从二项分布，所以
3．ACD
【分析】利用分布列的性质计算q判断A；利用期望、方差定义计算判断B，C；利用期望、方差的性质计算判断D作答.
【详解】由分布列的性质得：，解得，A正确；
，
，B不正确，C正确；
因，则，，D正确.
故选：ACD
4．AD
【分析】根据分布列的性质求，再由期望和方差公式求，再由期望和方差的性质求，再根据函数的性质确定，的单调性.
【详解】∵，∴，
∴，
故，
所以
又∵，
∴，
所以当在上增大时，增大，
，
函数在上单调递增，
∴当在上增大时， 增大，
故选：AD．
5．（1）方差，标准差；（2）.
【分析】（1）直接利用方差及标准差公式求解即可；
（2）由于，所以由方差的性质可得
【详解】解：（1）∵E(η)=0×+10×+20×+50×+60×=16，
D(η)=(016)2×+(1016)2×+(2016)2×+(5016)2×+(6016)2×=384，
∴=8.
（2）∵，
∴=4×384=1536.
6．##0.25
【分析】由两点分布的方程公式得方程关于是二次函数，由此即可得解.
【详解】事件A在一次试验中发生的次数X服从两点分布，
故，，
所以当时，方差取得最大值．
故答案为：.
7．A
【分析】利用离散型随机变量的分布列的性质、期望和方差公式，结合充分条件必要条件的定义即可求解.
【详解】由题意可知，
若，则，得，
故充分性满足；
若，则，解得或.
当时，，此时，
当时，，此时，
则或，故必要性不满足.
故选：A.
8．AC
【分析】由概率之和为求出，再由数学期望和方差的公式求解即可.
【详解】因为，解得：，
所以随机变量的分布列如下图，
X 0 1 2
P
因为，
恒为1，故A正确；B错误；
，
故C正确，D错误.
故选：AC.
9．B
【分析】先找出X的取值可能，计算每种可能的概率后结合方差定义计算即可得.
【详解】由题意可知，X的取值可能为，，，
因为，
，
，
所以，
故．
故选：B.
10．A
【分析】根据方差和期望的公式即可求解.
【详解】,
,
所以且，
故选：A
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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