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7.3离散型随机变量的数字特征
第一练 练好课本试题
【试题来源】来自人教A，人教B，苏教版，北师大版的课本试题，进行整理和组合；
【试题难度】本次训练试题基础，适合学完新知识后的训练，起到巩固和理解新知识的目的.
【目标分析】
1.会求随机变量的期望，培养数学运算，如第2题.
2.会求随机变量的方差，锻炼数学运算能力，如第5题.
3.会用期望、方差的性质求解问题，锻炼数学运算能力，如第3题.
4.能够灵活应用随机变量的期望、方差公式求解实际问题，培养数学数据分析，数学建模，数学运算，如第1题.
5.能够灵活应用随机变量的期望、方差公式对实际问题进行决策，培养数学数据分析，数学建模，数学运算，如第9题.
一、解答题
1．在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.8．那么他罚球1次的得分X的均值是多少？
2．抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为X，求X的均值．
3．已知随机变量X的分布列为：
X 1 2 3 4 5
P 0.1 0.3 0.4 0.1 0.1
（1）求；
（2）求．
4．猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名．某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表所示．
歌曲 A B： C
猜对的概率 0.8 0.6 0.4
获得的公益基金额/元 1000 2000 3000
规则如下：按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首．求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值．
5．抛掷一枚质地均匀的骰子，设X表示掷出的点数，求X的方差．
6．甲、乙两台机床生产同一种零件，它们生产的产量相同，在1h内生产出的次品数分别为，其分布列分别为：
甲机床次品数的分布列
0 1 2 3
P 0.4 0.3 0.2 0.1
乙机床次品数的分布列
0 1 2
P 0.3 0.5 0.2
哪台机床更好？请解释你所得出结论的实际含义？
7．根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60600元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3种方案：
方案1 运走设备，搬运费为3800元；
方案2 建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水；
方案3 不采取措施．
工地的领导该如何决策呢？
8．现要发行10000张彩票，其中中奖金额为2元的彩票1000张，10元的彩票300张，50元的彩票100张，100元的彩票50张，1000元的彩票5张．1张彩票可能中奖金额的均值是多少元？
9．甲、乙两个班级同学分别目测数学教科书的长度，其误差（精确到1cm）X和Y的分布列如下：
甲班的目测误差分布列
X 0 1 2
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
乙班的目测误差分布列
Y 0 1 2
P 0.05 0.15 0.6 0.15 0.05
先直观判断X和Y的分布哪一个离散程度大，再分别计算X和Y的方差，验证你的判断．
10．投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如表所示．
股票A收益的分布列
收益X/元 0 2
概率 0.1 0.3 0.6
股票B收益的分布列
收益Y/元 0 1 2
概率 0.3 0.4 0.3
(1)投资哪种股票的期望收益大？
(2)投资哪种股票的风险较高？
【易错题目】第6，7，8，9，10题
【复盘要点】用随机变量的均值、方差公式对实际问题进行决策.随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量取值偏离于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．
【复盘训练】
（2023·福州模拟）
11．某企业计划加大技改力度，需更换一台设备，现有两种品牌的设备可供选择，品牌设备需投入60万元，品牌设备需投入90万元，企业对两种品牌设备的使用年限情况进行了抽样调查：
品牌的使用年限 2 3 4 5
概率 0.4 0.3 0.2 0.1
品牌的使用年限 2 3 4 5
概率 0.1 0.3 0.4 0.2
更换设备技改后，每年估计可增加效益100万元，从年均收益的角度分析：（ ）
A．不更换设备 B．更换为设备 C．更换为设备 D．更换为或设备均可
12．甲、乙两种品牌的手表，它们的日走时误差分别为X和Y（单位：s），其分布列为：
甲品牌的走时误差分布列
X 0 1
P 0.1 0.8 0.1
乙品牌的走时误差分布列
Y 0 1 2
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
试比较甲、乙两种品牌手表的性能．
13．据统计，一年中一个家庭万元以上的财产被盗的概率为0.01.保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，参加者需交保险费100元，若在一年以内，万元以上的财产被盗，保险公司赔偿a元（）．问a如何确定，可使保险公司期望获利？
14．某投资公司在年年初准备将万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：
项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，也可能亏损，且这两种情况发生的概率分别为和；
项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，可能损失，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为、和.
针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．0.8
【分析】先求得X=1和X=0时的概率，求得期望，即可得答案.
【详解】因为，，
所以．
即该运动员罚球1次的得分X的均值是0.8．
2．3.5
【分析】先求随机变量X的分布列，再求随机变量X的均值.
【详解】由已知随机变量X的取值有，2，3，4，5，6．
，，，
，，，
∴ 随机变量X的分布列为：
X 1 2 3 4 5 6
P
∴ 随机变量X的期望
3．（1）；（2）
【分析】（1）根据期望的公式求出即可．
（2）根据期望的性质计算可得；
【详解】解：（1）依题意可得
（2）
4．X的分布列为
X 0 1000 3000 6000
P 0.2 0.32 0.288 0.192
X的均值为
【分析】写出X的可能取值，再求出每个值所对的概率即可求解
【详解】分别用A，B，C表示猜对歌曲A，B，C歌名的事件，则A，B，C相互独立．
，
，
，
．
X的分布列如表所示．
X 0 1000 3000 6000
P 0.2 0.32 0.288 0.192
X的均值为．
5．
【分析】先求随机变量X的分布列，再求随机变量X的均值，再由方差公式求X方差.
【详解】由已知随机变量X的取值有1,2,3,4,5,6，
，，，
，，，
∴ 随机变量X的分布列为：
X 1 2 3 4 5 6
P
∴ 随机变量X的期望
∴ 随机变量X的方差
∴ X的方差为.
6．乙机床更好
【分析】分别求两组数据的期望和方差，比较大小即可得到结论.
【详解】易知，
，乙机床数据的期望较小，即乙级床次品的平均数少；
，
，乙机床数据的方差较小，即乙级床产品更稳定，
所以乙级床更好.
7．应采取方案2
【分析】决策目标为总损失（即投入费用与设备损失之和）越小越好．根据题意，求出各种方案在不同状态下的总损失的期望即可得解.
【详解】根据题意，各种方案在不同状态下的总损失如表所示．
天气状况
大洪水 小洪水 没有洪水
概率 0.01 0.25 0.74
总损失/元 方案1 3800 3800 3800
方案2 62000 2000 2000
方案3 60000 10000 0
方案2和方案3的总损失都是随机变量，可以采用期望总损失最小的方案．
设方案1、方案2、方案3的总损失分别为，，．
采用方案1，无论有无洪水，都损失3800元．因此，
．
采用方案2，遇到大洪水时，总损失为元；没有大洪水时，总损失为2000元．因此，
，．
采用方案3，
，，．
于是，，
，
．
因此，从期望损失最小的角度，应采取方案2．
8．2元
【分析】求出1张彩票可能中奖金额的分布列，再求均值．
【详解】由题意，设表示1张彩票中奖的金额，
则，
，
，
，
，
所以的分布列为：
0 2 10 50 100 1000
0.8545 0.1 0.03 0.01 0.005 0.0005
，即1张彩票可能中奖金额的均值是2元．
9．的分布离散程度大，.
【分析】先根据表格数据直观判断的分布哪一个离散程度更大，然后求解出，再根据方差的计算公式分别求解出并验验证判断即可.
【详解】因为，
，
所以，
，
因为，所以的分布离散程度大，所以判断合理.
10．(1)股票A的期望收益大
(2)投资股票A的风险较高
【分析】(1)通过计算投资A，B两种股票收益的期望，确定哪种股票的期望收益大，(2)计算计算投资A，B两种股票收益的方差，确定哪种股票的风险高.
【详解】（1）股票A和股票B投资收益的期望分别为
，
．
因为，所以投资股票A的期望收益较大．
（2）股票A和股票B投资收益的方差分别为
，
．
因为和相差不大，且，所以投资股票A比投资股票B的风险高．
11．B
【分析】根据随机变量分布列分别计算出、品牌设备使用年限的平均值，从而可计算出各自的年均收益增加值，进而可进行判断
【详解】设更换为品牌设备使用年限为，则年，
更换为品牌设备年均收益可增加万元；
设更换为品牌设备使用年限为，则年，
更换为品牌设备年均收益可增加万元．
所以更换为品牌设备，
故选：B．
12．甲的质量更稳定
【分析】由分布列可得，进而可得和，比较其大小可得答案．
【详解】由题意可得，
同理可得，
故可得
由于，故甲的质量更稳定些，
13．当a在100和10000之间取值时保险公司可望获利．
【分析】设X表示“保险公司在参加保险人身上的收益”，求出X的可能值及对应概率，再求出期望求解即可.
【详解】设X表示“保险公司在参加保险人身上的收益”，
则X的取值为和，，，
所以，解得，
又，因此，
即当a在100和10000之间取值时保险公司可望获利．
14．选择项目一，理由见解析.
【解析】首先根据题意写出两个项目获利的分布列，根据分布列求出数学期望以及方差值，结合数学期望和方差值选择合适的项目.
【详解】对于项目一，该项目年底可能获利，也可能亏损，且这两种情况发生的概率分别为和，设按该项目投资，获利为万元，
则随机变量的分布列为
所以，（万元），
.
对于项目二，该项目年底可能获利，可能损失，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为、和，设按该项目投资，获利为万元，
则随机变量的分布列为
（万元），
.
，，
这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥.
综上所述，建议该公司选择项目一投资.
【点睛】本题考查离散型随机变量分布列、数学期望与方差的计算，同时也考查了利用数学期望和方差解决实际问题，考查数据处理能力与计算能力，属于中等题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页7.3离散型随机变量的数字特征
第一课 解透课本内容
[课标要求]
1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.
2.理解并会求离散型随机变量的数字特征.
[明确任务]
会求离散型随机变量的期望与方差.【数学运算，数据分析，数学建模】
1.离散型随机变量
一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X（ω）与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P（X＝xi）＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列.
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
3.离散型随机变量的分布列的性质
（1）pi≥0（i＝1，2，…，n）；
（2）p1＋p2＋…＋pn＝1.
核心知识点1：离散型随机变量的均值的概念
一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示，
X …
P …
则称为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．
均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平．
2．离散型随机变量的均值的深层理解
（1）离散型随机变量X的均值（数学期望）是个数值，是随机变量的一个重要特征数，反映的是离散型随机变量取值的平均水平．即若随机试验进行了n次，根据X的分布列，在n次试验中，有次出现了，有次出现了，……，有次出现了，则n次试验中，X出现的平均值为，即．
3．两点分布的均值公式
若离散型随机变量X服从参数为p的两点分布，则．
4．均值的性质
若X与Y都是随机变量，且，则由X与Y之间分布列的关系可知．
证明：因为，其中a，b为常数，，且X，Y是随机变量，所以，，于是，即．
求甚解 对于离散型随机变量X，Y，我们还有如下结论：；若X，Y相互独立，则．
解读：
（1）随机变量的均值与样本平均值的区别和联系
①区别：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本的平均值是一个随机变
量，它是随着样本的不同而变化的．
②联系：对于简单随机抽样，随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体的均值．因此，我们常用样本的平均值来估计总体的均值．
（2）均值与分布列的关系
相同点 不同点
均值与分布列 离散型随机变量的分布列和均值都是从整体和全局上刻画随机变量的 离散型随机变量的分布列只反映了随机变量取所有可能值的概率，而均值却反映了随机变量取值的平均水平
（3）随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位．
（4）是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而是不变的，它描述X取值的平均状态．
例1离散型随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P
则X的数学期望（ ）
A． B．2 C． D．3
【解析】．
【答案】A
归纳总结 若离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
（1）均值
E（X）＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝xipi
【举一反三】（2024·全国·模拟预测）
1．从1-20中随机抽取3个数，记随机变量为这3个数中相邻数组的个数．如当这三个数为11，12，14时，；当这三个数为7，8，9时，．则的值为（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
核心知识点2：离散型随机变量的方差
离散型随机变量的方差的概念
如果离散型随机变量X的分布列如表所示．
X …
P …
考虑X所有可能取值与的偏差的平方，，…，．因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值的偏离程度．我们称为随机变量X的方差，有时也记为，并称为随机变量X的标准差，记为．
2．离散型随机变量的方差的深层理解
（1）离散型随机变量X的方差是个数值，是随机变量的一个重要特征数．描述了相对于均值的偏离程度，而是上述偏离程度的加权平均值，刻画了随机变量X的取值与其均值的平均偏离程度．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量X取值的稳定性和波动、集中与离散程度，越大，表明平均偏离程度越大，X的取值越分散；反之，越小，X的取值越集中在附近．
（2）标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方．
示例 判断（正确的写正确，错误的写错误）．
（1）离散型随机变量X的均值反映了X取值的概率的平均值．（　　）
（2）离散型随机变量X的方差反映了X取值的平均水平．（　　）
（3）离散型随机变量X的方差反映了X取值的波动水平．（　　）
（4）离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．（　　）
【解析】（1）离散型随机变量X的均值反映了X取值的平均水平．
（2）离散型随机变量X的方差反映了随机变量取值偏离其均值的平均程度．
（3）由方差的定义可知正确．
（4）离散型随机变量的方差越大，说明随机变量的稳定性越差；方差越小，稳定性越好．
【答案】（1）错误；（2）错误；（3）正确；（4）错误
（3）均值与方差的关系
在实际问题中仅靠均值还不能全面地说明随机变量的特征，还必须研究随机变量取值的集中与离散程度，这就需要求出方差．
方差公式的变形：．
拓展 公式的证明如下：
．
（4）方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定非负．
3．两点分布的方差公式
若离散型随机变量X服从参数为p的两点分布，则．
4．方差的性质
若X与Y都是离散型随机变量，且，则由X与Y之间分布列和均值之间的关系可知．
理解 特别地，（1）当时，，即常数的方差等于0；
（2）当时，，即离散型随机变量的取值同时加上一个数时，它的方差不变．
证明：．
解读： 随机变量的方差和样本方差的区别和联系
①区别：随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此样本的方差是随机变量．
②联系：对于简单随机抽样，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差，因此，我们常用样本的方差来估计总体的方差．
例2.（23-24高二下·江苏·课前预习）设随机变量的概率分布为：
若，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先根据随机变量的分布列求出随机变量的期望和方差，再根据求出.
【详解】
由题意知，，
故，
所以.
故选：D.
归纳总结 若离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
方差D（X）＝（x1－E（X））2p1＋（x2－E（X））2p2＋…＋（xn－E（X））2pn＝为随机变量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为σ（X），
举一反三：（2024·浙江温州·一模）
2．已知离散型随机变量的分布列如下表所示.
则（ ）
A． B． C． D．
（2023高二·全国·课后作业）
3．已知离散型随机变量的概率分布列如下表：则数学期望等于（ ）
A． B． C． D．
（2023高三上·全国·专题练习）
4．已知随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P
且，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
（22-23高二下·福建龙岩·阶段练习）
5．已知随机变量X的分布列如下表，则（ ）
X
P
A．2 B．3 C．4 D．5
（23-24高二上·全国·课时练习）
6．某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且此人是否游览哪个景点互不影响，设表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值，则等于 ．
（23-24高二下·江西抚州·阶段练习）
7．，，，四人进行羽毛球单打循环练习赛，其中每局有两人比赛，每局比赛结束时，负的一方下场，第1局由，对赛，接下来按照，的顺序上场第2局、第3局（来替换负的那个人），每次负的人其上场顺序排到另外2个等待上场的人之后（即排到最后一个），需要再等2局（即下场后的第3局）才能参加下一场练习赛.设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立.
(1)求前4局都不下场的概率；
(2)用表示前局中获胜的次数，求的分布列和数学期望.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】随机变量的取值为0,1,2，结合变量对应的事件写出概率，算出期望．
【详解】随机变量的取值为0,1,2，
当时，所取的三个数中仅两个数相邻，其中取1,2和19,20，对应取法为17种，其余17情况取法为16种，
，
当时，即所取的三个数中两两相邻，取法有18种，，
所以当时，即所取的三个数彼此不相邻，取法有种，
，
.
故选：B.
2．D
【分析】根据随机变量的方差公式可得.
【详解】由分布列可得
，
，
故选：D
3．D
【分析】利用概率和为1计算出的概率，结合期望公式计算即可.
【详解】结合表格可知，
即，解得：，
所以.
故选:D.
4．A
【分析】结合题意，先计算出，再表示，建立等式，解出即可.
【详解】结合题意：，
因为，所以，解得：，
故选：A.
5．A
【分析】由离散型随机变量取值的概率和为，解出值，再由方差公式可得.
【详解】由解得，
则，
.
故选：A.
6．1.48
【分析】ξ的取值有1，3，计算出其分布列，再利用期望公式即可得到答案.
【详解】随机变量ξ的取值有1，3两种情况，表示三个景点都游览了或都没有游览，
所以，，
所以随机变量的分布列为：
1 3
0.76 0.24
．
故答案为：1.48.
7．(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据前4局A都不下场，由前4局A都获胜求解；
（2）由的所有可能取值为0，1，2，3，4，分别求得其概率，列出分布列，再求期望.
【详解】（1）前4局都不下场说明前4局都获胜，
故前局都不下场的概率
（2）依题意的所有可能取值为0，1，2，3，4，
其中，表示第1局输，第4局是上场，且输，则；
表示第1局输，第4局是上场，且赢或第1局赢，且第2局输，
则；
表示第1局赢，且第2局赢，第3局输，
则；
表示第1局赢，且第2局赢，第3局赢，第4局输，
则；
表示第1局赢，且第2局赢，第3局赢，第4局赢，
则
所以的分布列为
0 1 2 3 4
故的数学期望为
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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