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7.3离散型随机变量的数字特征
第三练 能力提升拔高

【试题来源】来自各地期中期末的联考试题，进行整理和改编；
【试题难度】本次训练试题难度较大，适合学完第三课后，起到提升解题能力和素养的目的.
【目标分析】
1.会求随机变量的期望、方差，培养数学运算，如第1题.
2.能够灵活应用随机变量的期望、方差公式与函数性质求解最值问题，培养数学运算，如第3题.
3.能够灵活应用随机变量的期望、方差公式求解实际问题，培养数学数据分析，数学建模，数学运算，如第12，13题.
一、单选题
（22-23高二下·浙江嘉兴·期中）
1．已知的分布列为
则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
（23-24高二上·全国·课后作业）
2．某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜错得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X的均值（ ）
A．0.9 B．0.8
C．1.2 D．1.1
（23-24高二上·全国·课后作业）
3．已知随机变量ξ的分布列如下：
若，则的最小值等于（ ）
A．0 B．2
C．1 D．
（23-24高三上·陕西西安·开学考试）、
4．已知随机变量服从两点分布，且，若，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（22-23高二下·湖北宜昌·阶段练习）
5．已知随机变量满足，且．令随机变量，则（ ）
A． B．
C． D．和大小不确定
（23-24高二上·全国·单元测试）
6．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的.记X为该毕业生得到面试的公司个数.若，则随机变量X的均值（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
（2024·辽宁沈阳·一模）
7．下图是离散型随机变量的概率分布直观图，其中，则（ ）

A． B．
C． D．
（2024·全国·模拟预测）
8．第19届亚运会于2023年9月23日至2023年10月8日在我国杭州举行，中国队斩获201枚金牌，111枚银牌，71枚铜牌，稳居榜首．为普及亚运会知识，某校组织了亚运会知识竞赛，试题中设置了多选题(每题共有4个选项，其中有2个或3个正确选项)，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．已知某道多选题甲完全不会，随机选择1个选项或2个选项或3个选项，该题有两个正确选项的概率为，记X为甲的得分，则（ ）
A．若甲选择1个选项，则
B．若甲选择2个选项，则
C．若甲选择3个选项，则
D．若甲选择1个、2个、3个选项的概率均为，则甲得5分的概率为
（23-24高三上·安徽·阶段练习）
9．乒乓球，被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目，是推动外交的体育项目，被誉为“小球推动大球”.某次乒乓球比赛采用五局三胜制，当参赛甲，乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束.每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响.假设甲在任一局赢球的概率为，实际比赛局数的期望值记为，下列说法正确的是（ ）
A．三局就结束比赛的概率为 B．的常数项为3
C． D．
三、填空题
（2023高三上·全国·专题练习）
10．甲、乙两种品牌的手表，它们的日走时误差分别为X和Y(单位：s)，其分布列为
甲品牌的走时误差分布列
X －1 0 1
P 0.1 0.8 0.1
乙品牌的走时误差分布列
Y －2 －1 0 1 2
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
试对两种品牌手表的性能作出描述： ．
（2023高二下·全国·课时练习）
11．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球；否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为，发球次数为，若的数学期望，则的取值范围是
四、解答题
（2024·江西九江·二模）
12．2023年10月10日，习近平总书记来到九江市考察调研，特别关注生态优先，绿色发展.某生产小型污水处理设备企业甲，原有两条生产线，其中1号生产线生产的产品优品率为0.85，2号生产线生产的产品优品率为0.8.为了进一步扩大生产规模，同时响应号召，助力长江生态恢复，该企业引进了一条更先进、更环保的生产线，该生产线（3号）生产的产品优品率为0.95.所有生产线生产的产品除了优品，其余均为良品.引进3号生产线后，1，2号生产线各承担20%的生产任务，3号生产线承担60%的生产任务，三条生产线生产的产品都均匀放在一起，且无区分标志.
(1)现产品质检员，从所有产品中任取一件进行检测，求取出的产品是良品的概率；
(2)现某企业需购进小型污水处理设备进行污水处理，处理污水时，需几台同型号的设备同时工作.现有两种方案选择：方案一，从甲企业购进设备，每台设备价格30000元，可先购进2台设备.若均为优品，则2台就可以完成污水处理工作；若其中有良品，则需再购进1台相同型号设备才能完成污水处理工作.方案二，从乙企业购进设备，每台23000元.需要三台同型号设备同时工作，才能完成污水处理工作.从购买费用期望角度判断应选择哪个方案，并说明理由.
（2024·辽宁·一模）
13．近年来，某大学为响应国家号召，大力推行全民健身运动，向全校学生开放了两个健身中心，要求全校学生每周都必须利用课外时间去健身中心进行适当的体育锻炼.
(1)该校学生甲 乙 丙三人某周均从两个健身中心中选择其中一个进行健身，若甲 乙 丙该周选择健身中心健身的概率分别为，求这三人中这一周恰好有一人选择健身中心健身的概率；
(2)该校学生丁每周六 日均去健身中心进行体育锻炼，且这两天中每天只选择两个健身中心的其中一个，其中周六选择健身中心的概率为.若丁周六选择健身中心，则周日仍选择健身中心的概率为；若周六选择健身中心，则周日选择健身中心的概率为.求丁周日选择健身中心健身的概率；
(3)现用健身指数来衡量各学生在一个月的健身运动后的健身效果，并规定值低于1分的学生为健身效果不佳的学生，经统计发现从全校学生中随机抽取一人，其值低于1分的概率为0.12.现从全校学生中随机抽取一人，如果抽取到的学生不是健身效果不佳的学生，则继续抽取下一个，直至抽取到一位健身效果不佳的学生为止，但抽取的总次数不超过.若抽取次数的期望值不超过3且，求的最大值.
参考数据：.
【易错题目】第13题
【复盘要点】与均值方差有关的最值问题
【典例】（2023·安徽·模拟预测）随机变量有3个不同的取值，且其分布列如下：
则的最小值为 .
【答案】
【分析】根据分布列性质求得a的值，即可求得的表达式，结合三角换元以及二次函数性质，即可求得答案.
依题意知，则，则，
设，则，
故，所以，
当时，取最小值，
故答案为：
【易错警示】不能熟记期望、方差公式，不能数量利用函数的性质求最值.
【复盘训练】
（22-23高二下·广东东莞·阶段练习）
14．已知随机变量X的概率分布如表.当在内增大时，方差的变化为（ ）
X 1
P
A．增大 B．减小 C．先增大再减小 D．先减小再增大
（2013高二·全国·竞赛）
15．一支足球队每场比赛获胜（得3分）的概率为a，与对手踢平（得1分）的概率为b，负于对手（得0分）的概率为c，其中a，b，，已知该足球队进行一场比赛得分的均值是1，则的最小值为 ．
（23-24高二上·河南南阳·期末）
16．已知，且，记随机变量为，，中的最小值，则 .
（23-24高二上·辽宁辽阳·期末）
17．已知某人每次投篮的命中率为，投进一球得1分，投不进得0分，记投篮一次的得分为X，则的最大值为 ．
（22-23高二下·北京怀柔·期中）
18．已知，且，记随机变量为x，y，z中的最大值，则 .
（22-23高二下·江苏·单元测试）
19．设一次试验成功的概率为p，则在100重伯努利试验中，当p＝ 时，成功次数的方差的值最大，其最大值为 ．
（22-23高二下·湖南长沙·期末）
20．已知甲、乙两支队伍中各有20人，甲队中有个男生与个女生，乙队伍中有个男生与个女生，若从甲、乙两队中各取1个人，表示所取的2个人中男生的个数，则当方差取到最大值时，的值为 ．
（22-23高二下·黑龙江哈尔滨·期末）
21．《英雄联盟》2023MSI季中冠军赛在英国伦敦举办，中国战队“JDG”与“BLG”进入决赛，决赛采用五局三胜制，当两队中有一队赢得三局比赛时，就由该队赢得冠军.每局比赛都要分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响.假设“JDG”战队在任一局赢得比赛的概率为，比赛局数的期望值记为，则的最大值是 .
（2024·河北沧州·一模）
22．某商场举办摸球赢购物券活动．现有完全相同的甲 乙两个小盒，每盒中有除颜色外形状和大小完全相同的10个小球，其中甲盒中有8个黑球和2个白球，乙盒中有3个黑球和7个白球．参加活动者首次摸球，可从这两个盒子中随机选择一个盒子，再从选中的盒子中随机摸出一个球，若摸出黑球，则结束摸球，得300元购物券；若摸出的是白球，则将摸出的白球放回原来盒子中，再进行第二次摸球．第二次摸球有如下两种方案：方案一，从原来盒子中随机摸出一个球；方案二，从另外一个盒子中随机摸出一个球．若第二次摸出黑球，则结束摸球，得200元购物券；若摸出的是白球，也结束摸球，得100元购物券．用X表示一位参加活动者所得购物券的金额．
(1)在第一次摸出白球的条件下，求选中的盒子为甲盒的概率．
(2)①在第一次摸出白球的条件下，通过计算，说明选择哪个方案第二次摸到黑球的概率更大；
②依据以上分析，求随机变量的数学期望的最大值.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】利用分布列的性质可求出的值，可判断AD选项；利用期望公式可判断B选项；利用方差公式可判断C选项.
【详解】对于A选项，由分布列的性质可得，可得，则，A对；
对于B选项，，B对；
对于C选项，，C错；
对于D选项，，D对.
故选：C.
2．A
【分析】按步骤写出分布列，再利用均值公式即可.
【详解】依题意得，的可能取值为0，1，2，
，
，
．
可得X的分布列如表所示：
0 1 2
0.3 0.5 0.2
.
故选：A．
3．A
【分析】由分布列的性质求出，由期望公式可得，由方差公式及二次函数的性质即可求解.
【详解】由题意得，
所以，即.
又，
所以当时，取最小值为0.
故选:A.
4．D
【分析】根据两点分布的期望和方差公式、二次函数的知识求得正确答案.
【详解】∵，，∴，
∵，，
二次函数在区间上单调递减，
∴，，且.
故选：D
5．B
【分析】根据离散型分布列均值的计算公式，可得答案.
【详解】由题意，，
由，当时，；当时，.
所以，，
，
，由，则，
所以.
故选：B.
6．C
【分析】根据题意结合独立事件概率乘法公式可得，分析可知X的可能取值为，进而求分布列和期望.
【详解】因为，且，解得，
由题意可知：X的可能取值为，
则，
，
，
则X的分布列为：
X 0 1 2 3
所以.
故选：C.
7．ABC
【分析】由所有取值频率之和为1，结合已知条件，解出，利用期望和方差公式计算数据，验证选项即可.
【详解】由题知解得，A选项正确；
所以，B选项正确；
，C选项正确；
，D选项错误.
故选：ABC.
8．AB
【分析】根据题意，分别求出甲选择1个选项，2个选项，2个选项的得分可能取值，并求出概率，算出期望，判断A，B，C；结合A，B，C选项求出得5分的概率，判断D.
【详解】由该题有两个正确选项的概率为可知，该题有三个正确选项的概率为．
选项A：若甲选择1个选项，则X的所有可能取值为0，2，且，
，所以，故A正确．
选项B：若甲选择2个选项，则X的所有可能取值为0，2，5，
且，，，
所以，故B正确．
选项C：若甲选择3个选项，则X的所有可能取值为0，5，
且，，所以，故C错误．
选项D：由A，B，C可知，甲得5分的概率为，故D错误，
故选：AB.
9．BCD
【分析】根据给定条件，求出比赛局数分别取3，4，5时的概率，进而求出，再逐项判断得解.
【详解】设实际比赛局数为，则，，
，因此三局就结束比赛的概率为，A错误；
于是
，由，则常数项为3，B正确；
，C正确；
求导得，
由，得，令，解得；令，解得，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
而，
因此关于对称，，D正确.
故选：BCD
10．甲种手表的性能更好，更稳定
【分析】根据给定的分布列，分别求得和，比较即可得到结论.
【详解】由甲品牌的走时误差分布列，可得：
，
；
由乙品牌的走时误差分布列，可得：
，
,
则甲、乙两种手表走时误差的期望一样，但甲种手表的方差小于乙种手表的方差，
所以认为甲种手表的性能更好，更稳定．
11．
【分析】分别求得，，，利用期望的公式，求得，结合题意，列出不等式，即可求解.
【详解】由题意，可得，，
所以期望为，
令，即，解得或，
又由，可得，即的取值范围为.
故答案为：.
12．(1)
(2)选择方案一，理由见解析.
【分析】（1）根据全概率计算公式求解即可.
（2）计算两种不同方案的数学期望，根据期望的意义比较期望值的大小即可判断.
【详解】（1）设“任取一件产品为优品”，
“产品为第号生产线生产”，
由全概率公式得：
则从所有产品中任取一件是良品的概率为：
.
（2）选择方案一，理由如下：
设从甲企业购进设备的费用为元，
则可取：，，
由（1）知：
所以.
设从乙企业购进设备的费用为元，
则，
因为，
故选择方案一比较合适.
13．(1)
(2)
(3)30
【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式进行计算；
（2）设出事件，利用全概率公式进行求解；
（3）设抽取次数为，求出的分布列和数学期望，利用错位相减法求出，利用导函数得到其单调性，结合特殊值，求出答案.
【详解】（1）由题意得这三人中这一周恰好有一人选择健身中心健身的概率
.
（2）记事件：丁周六选择健身中心，事件：丁周日选择健身中心，
则，
由全概率公式得.
故丁周日选择健身中心健身的概率为.
（3）设从全校学生中随机抽取1人，抽取到的学生是健身效果不佳的学生的概率为，则，
设抽取次数为，则的分布列为
1 2 3
故，
又，
两式相减得，
所以
，
令，则，
因为，故令得，即，
令时，，故在且时单调递增，
结合，
可知当时，；
当时，；
当时，.
若抽取次数的期望值不超过3，则的最大值为30.
14．D
【分析】求出期望与方差，结合二次函数的性质即可判断方差的单调性．
【详解】由分布列可得，
所以，
所以，当时，单调递减；当时，单调递增．
故选：D．
15．
【分析】列出分布列，根据均值公式得到，再利用乘“1”法即可求出最值.
【详解】设得分为，则
0 1 3
c b a
由均值为，且，
则，
当且仅当时等号成立．
故答案为：.
16．0.09##
【分析】的可能取值为，利用排列组合知识求出相应的概率，求出期望和方差.
【详解】，且，相当于6个1之间的5个空中插入两个挡板，
故共有种情况，
的可能取值为，
其中时，只有三个数为，故，
则，
所以，.
故答案为：
17．##
【分析】结合两点分布的期望与方差公式以及基本不等式计算即可得.
【详解】由题意可知，X服从两点分布，可得，，
，则
，
当且仅当，即时，等号成立，
故最大值为．
故答案为：.
18．17
【分析】求出可能取值，求出相应的概率，得出的分布列，即可求出期望.
【详解】由题意可得：的可能取值为，
用隔板法可求得：事件总情况为种，
若，三个正整数为或，则有种，故；
若，三个正整数为或，则有种，故；
若，三个正整数为或，则有种，故；
若，三个正整数为，则有种，故；
若，三个正整数为，则有种，故；
故的分布列为：
4 5 6 7 8
故.
所以
故答案为：.
19． 25
【分析】由题意知，成功次数，由方差公式和基本不等式可解.
【详解】由题意知，成功次数，
所以，
当且仅当，即时，成功次数的方差最大，其最大值为25.
故答案为：，25
20．10
【分析】的可能取值为0，1，2，分别计算出其对应概率，利用方差公式结合基本不等式即可得到答案.
【详解】的可能取值为0，1，2，
则，
，
，所以的分布列为
0 1 2
，
，当且仅当时，等号成立，所以当取到最大值时，的值为10．
故答案为：10.
21．
【分析】设比赛局数为，分别计算出可能取值的概率，进而求出期望值，再利用导数求得的最大值，由此得解．
【详解】设比赛局数为，则的可能取值为3，4，5，
则，
，
，
则，
所以，
因为函数的图象对称轴为，
当时，，当时，，所以，
所以当时，；当时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，即的最大值为．
故答案为：．
22．(1)
(2)①方案二中取到黑球的概率更大；②
【分析】（1）利用全概率公式和概率的乘法公式计算；
（2）①利用全概率公式和条件概率公式计算，根据数据下结论；②两种方案分别求出期望，根据数据下结论.
【详解】（1）设试验一次，“取到甲盒”为事件，“取到乙盒”为事件，
“第一次摸出黑球”为事件，“第一次摸出白球”为事件，
，
所以，
所以选中的盒子为甲盒的概率为.
（2）①，
所以方案一中取到黑球的概率为：，
方案二中取到黑球的概率为：，
因为，所以方案二中取到黑球的概率更大.
②随机变量的值为，
依据以上分析，若采用方案一：
，
，
，
，
若采用方案二：
，
，
，
，
所以随机变量的数学期望的最大值.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页7.3离散型随机变量的数字特征
第三课 知识扩展延伸
扩展1：与随机变量的均值与方差有关的最值范围问题
例1．（22-23高二下·河北石家庄·阶段练习）设随机变量的分布列为其中．则下列说法正确的是（ ）
0 1 2
A． B．
C．随着的从小到大变化，先增大后减小 D．有最小值
【答案】AC
【分析】根据均值和方差的定义求解.
【详解】，A选项正确；
，B选项错误；
，
又，是关于b的二次函数，对称轴为，
所以，当b从小到大变化的时候，是先增后减，当时取得最大值，没有最小值，
C选项正确，D选项错误；
故选：AC.
【方法总结】
【举一反三1-1】（22-23高二下·江苏·课时练习）
1．设p为非负实数，随机变量X的概率分布为
0 1 2
则下列说法正确的是（ ）
A． B．最大值为
C． D．最大值为
【举一反三1-2】（2022·浙江湖州·模拟预测）
2．设，随机变量的分布列为
0 1 2
P b
则当在内增大时（ ）
A．增大
B．减小
C．先减小后增大
D．先增大后减小
扩展2：利用随机变量的均值与方差对实际问题进行决策
例2 甲、乙两名射手在一次射击中的得分分别为两个相互独立的随机变量与，且，的分布列为
1 2 3
P a 0.1 0.6
1 2 3
P 0.3 b 0.3
（1）求a，b的值；
（2）分别计算，的均值与方差，并依此分析甲、乙的技术状况．
【解】（1）由离散型随机变量分布列的性质得，解得；同理，，解得．
（2），
，
，
．
由于，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术都不够全面，各有优势和劣势．
4-1
3．甲，乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且候鸟的种类和数量也大致相同，两个保护区每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为
X 0 1 2 3
P 0.3 0.3 0.2 0.2
Y 0 1 2
P 0.1 0.5 0.4
试评定这两个保护区的管理水平．
例3 某商家以6元一件的价格购进某商品，然后以每件10元的价格出售．如果该商品当天卖不完，剩下的只能作垃圾处理．商家记录了100天该商品的日需求量（单位：件），整理得下表：
日需求量 14 15 16 17 18 19
频数 10 20 25 20 15 10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
（1）若商家一天购进该商品16件，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列及均值．
（2）若商家计划一天购进该商品16件或17件，你认为应购进16件还是17件？请说明理由．
【思路分析】（1）根据题意可知X的可能取值为44，54，64，并由表格分别计算出各自对应的概率，得到分布列，求出均值；
（2）计算出购进17件时利润的均值，与比较即可得出．
【解】（1）X的可能取值为44，54，64，
，，，
所以X的分布列为
X 44 54 64
P 0.1 0.2 0.7
．
（2）若当天购进17件，Y表示当天的利润（单位：元），则
，
因为，所以购进16件更合理．
【方法总结】利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤
（1）若我们希望实际的平均水平较理想时，则先求随机变量，的均值，当时，不应误认为它们一样好，需要用，来比较这两个随机变量的偏离程度，稳定者就更好．
（2）若我们希望比较稳定性时，应先考虑方差，再考点均值是否相等或者接近
（3）若没有对平均水平或者稳定性有明确要求时，一般先计算均值，若相等，则由方差确定哪一个更好．若与比较接近，且均值较大者（此时均值表示较好的方面，如利润、产量）的方差较小，显然该变量更好；若与比较接近且方差相差不大时，应根据不同选择给出不同的结论，即是选择较理想的平均水平还是选择较稳定的．
5-1[湖北恩施教育联盟2022高二期中]
4．某学校组织“数学文化”知识竞赛，竞赛中有A，B两类问题.每位参加比赛的同学先在这两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误，则该同学比赛结束；若回答正确，则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束，A类问题中的每个问题回答正确得10分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分.已知小明能正确回答A类问题的概率为0.6，能正确回答B类问题的概率为0.4，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列.
(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？请说明理由.
5-2
5．某售报亭每天以每份元的价格从报社购进若干份报纸，然后以每份元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的报纸以每份元的价格卖给废品收购站.
(1)若售报亭一天购进份报纸，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：份，）的函数解析式；
(2)售报亭记录了天报纸的日需求量（单位：份），整理得下表：以天记录的需求量的频率作为各销售量发生的概率.
日需求量
频数
①若售报亭一天购进份报纸，表示当天的利润（单位：元），求的均值；
②若售报亭计划每天应购进份或份报纸，你认为购进份报纸好，还是购进份报纸好？请说明理由.
（湖北·高考真题）
6． 如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割成个同样大小的小正方体,经过搅拌后,从中随机取出一个小正方体,记它的涂油漆面数为,则的均值为
A． B． C． D．
（四川·高考真题）
7．设离散型随机变量X可能取的值为1、2、3、4.P(X＝k)＝ak＋b(k＝1、2、3、4)．又X的均值E(X)＝3，则a＋b＝ .
（天津·高考真题）
8．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果：
投资成功 投资失败
192次 8次
则该公司一年后估计可获收益的期望是 （元）．
（2021·浙江·高考真题）
9．袋中有4个红球m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则 ， .
（2018·北京·高考真题）
10．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
电影部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．假设所有电影是否获得好评相互独立．
（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；
（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“”表示第k类电影得到人们喜欢，“”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6）．写出方差，，，，，的大小关系．
（2022·全国·高考真题）
11．甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
（2023·全国·高考真题）
12．甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求．
（江西·高考真题）
13．某柑桔基地因冰雪灾害，使得果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果林的方案，每种方案都需分两年实施；若实施方案一，预计当年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5. 若实施方案二，预计当年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6. 实施每种方案，第二年与第一年相互独立．令表示方案实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数．
(1)写出的分布列；
(2)实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？
(3)不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到灾前产量，预计可带来效益10万元；两年后柑桔产量恰好达到灾前产量，预计可带来效益15万元；柑桔产量超过灾前产量，预计可带来效益20万元；问实施哪种方案所带来的平均效益更大？
（2021·新高考Ⅰ卷）
14．某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．AB
【分析】根据分布列的性质可求的范围，根据均值公式及一次函数单调性求解最值.
【详解】由分布列的性质可得，解得，即，
均值，
所以当时，.
故选：AB
2．A
【分析】根据随机变量分布列的性质，结合方差的公式、二次函数的性质进行求解即可.
【详解】根据随机变量分布列的性质可知，所以，
所以，
所以
，
因为，所以单调递增，
故选：A
3．乙保护区的管理更好一些．
【分析】计算甲，乙保护区内违反保护条例次数的均值和方差，通过比较均值和方差即可判断出两个保护区的管理水平．
【详解】甲保护区内违反保护条例的次数X的均值和方差分别为
E(X)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3，
D(X)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.
乙保护区内违反保护条例的次数Y的均值和方差分别为
E(Y)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3，
D(Y)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.
因为E(X)＝E(Y)，D(X)>D(Y)，所以两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件的平均次数相同，但甲保护区内违反保护条例的事件次数相对分散且波动较大，乙保护区内违反保护条例的事件次数更加集中和稳定，相对而言，乙保护区的管理更好一些．
4．(1)分布列见解析；
(2)应选择先回答A类问题，理由见解析.
【分析】（1）根据已知条件写出随机变量的所有取值，再求其概率，列出分布列即可；
（2）根据（1）的分布列计算出先回答的期望，运用同样的思路再求出先回答的期望，比较期望的大小即可得出结论.
【详解】（1）随机变量X的所有可能取值为0，10，30，
则，，.
故随机变量X的分布列为
X 0 10 30
P 0.4 0.36 0.24
（2）若小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分，
则随机变量Y的所有可能取值为0，20，30，
则，，，
则.
由（1）知.
因为，所以小明应选择先回答A类问题.
5．(1)
(2)①154.26；②购进报纸份，理由见解析
【分析】（1）分别求出且和且的函数解析式，即可得出答案；
（2）①可取、、、，分别求出对应概率，再根据期望公式即可得解；
②求出购进报纸份，当天利润的均值，再与购进报纸份的均值比较，即可得出结论.
【详解】（1）解：当且时，
，
当且时，，
∴；
（2）解：①可取、、、，
则，，
，，
∴；
②购进报纸份，当天利润的均值为：
，
又，
∴每天购进份报纸好.
6．B
【详解】试题分析：由题意可知：X所有可能取值为0，1，2，3．①8个顶点处的8个小正方体涂有3面，∴P（X=3）=；
②每一条棱上除了两个顶点处的小正方体，还剩下3个，一共有3×12=36个小正方体涂有2面，∴P（X=2）=；
③每个表面去掉四条棱上的16个小正方形，还剩下9个小正方形，因此一共有9×6=54个小正方体涂有一面，∴P（X=1）=．
④由以上可知：还剩下125-（8+36+54）=27个内部的小正方体的6个面都没有涂油漆，
∴P（X=0）=．
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
因此E（X）=0×+1×+2×+3×=．故选B．
考点：离散型随机变量的期望与方差．
7．
【详解】依题意得，且概率和，解得.
8．4760
【分析】设可获收益为x万元，先求出投资成功与失败的概率和收益，再计算收益的期望即得.
【详解】设可获收益为x万元，如果成功，x的取值为5×12%，如果失败，x的取值为，
一年后公司成功的概率估计为＝，失败的概率估计为＝，
所以一年后公司收益的期望为（元）.
故答案为：4760.
9． 1
【分析】根据古典概型的概率公式即可列式求得的值，再根据随机变量的分布列即可求出．
【详解】，所以，
, 所以, 则．
由于
．
故答案为：1；．
10．(1) 概率为0.025
(2) 概率估计为0.35
(3) >>=>>
【详解】分析：(1)先根据频数计算是第四类电影的频率，再乘以第四类电影好评率得所求概率，(2) 恰有1部获得好评为第四类电影获得好评第五类电影没获得好评和第四类电影没获得好评第五类电影获得好评这两个互斥事件，先利用独立事件概率乘法公式分别求两个互斥事件的概率，再相加得结果，(3) 服从0-1分布，因此，即得>>=>>．
详解：解：（Ⅰ）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000，
第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50．
故所求概率为．
（Ⅱ）设事件A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，
事件B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”．
故所求概率为P（）=P（）+P（）
=P（A）（1–P（B））+（1–P（A））P（B）．
由题意知：P（A）估计为0.25，P（B）估计为0.2．
故所求概率估计为0.25×0.8+0.75×0.2=0.35．
（Ⅲ）>>=>>．
点睛：互斥事件概率加法公式：若A,B互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B)，独立事件概率乘法公式:若A,B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B).
11．(1)；
(2)分布列见解析，.
【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；
（2）依题可知，的可能取值为，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望．
【详解】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为
．
（2）依题可知，的可能取值为，所以，
,
，
，
.
即的分布列为
0 10 20 30
0.16 0.44 0.34 0.06
期望.
12．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据全概率公式即可求出；
（2）设，由题意可得，根据数列知识，构造等比数列即可解出；
（3）先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出．
【详解】（1）记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件，
所以，
.
（2）设，依题可知，，则
，
即，
构造等比数列，
设，解得，则，
又，所以是首项为，公比为的等比数列，
即．
（3）因为，，
所以当时，，
故．
【点睛】本题第一问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据题意找到递推式，然后根据数列的基本知识求解．
13．(1)具体见解析；
(2)方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大；
(3)方案一所带来的平均效益更大．
【分析】（1）根据题意得出的所有可能取值，进而列出分布列即可；
（2）根据题意分别算出两种方案两年后柑橘产量超过灾前产量的概率，进而比较大小；
（3）根据题意算出两种方案收益的期望，进而比较大小即可得到答案.
【详解】（1）的所有取值为，的所有取值为.
、的分布列分别为：
0.8 0.9 1.0 1.125 1.25
P 0.2 0.15 0.35 0.15 0.15
0.8 0.96 1.0 1.2 1.44
P 0.3 0.2 0.18 0.24 0.08
（2）令A、B分别表示方案一、方案二两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件，
，，
可见，方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大．
（3）令表示方案所带来的效益，则
10 15 20
P 0.35 0.35 0.3
10 15 20
P 0.5 0.18 0.32
所以，可见，方案一所带来的平均效益更大．
14．（1）见解析；（2）类．
【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）与（1）类似，找出先回答类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可．
【详解】（1）由题可知，的所有可能取值为，，．
；
；
．
所以的分布列为
（2）由（1）知，．
若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为，，．
；
；
．
所以．
因为，所以小明应选择先回答类问题．
答案第1页，共2页
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