资源简介

7.2离散型随机变量及其分布列
第三练 能力提升拔高

【试题来源】来自各地期中期末的联考试题，进行整理和改编；
【试题难度】本次训练试题难度较大，适合学完第三课后，起到提升解题能力和素养的目的.
【目标分析】
1.利用分布列（两个变量）的性质求概率，培养数学运算，如第2题.；
2.与分布列的性质有关的范围问题，锻炼运算求解能力，如第6题.
3.能够灵活分布列的性质求解实际问题，培养建模能力，运算求解能力，如第12，13题.
一、单选题
（23-24高二上·山东德州·阶段练习）
1．如图，我国古代珠算算具算盘每个档挂珠的杆上有颗算珠，用梁隔开，梁上面颗叫上珠，下面颗叫下珠，若从某一档的颗算珠中任取颗，记上珠的个数为，则 （ ）
A． B．
C． D．
（22-23高二下·江苏盐城·期中）
2．已知随机变量服从两点分布，且.设，那么等于（ ）
A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.4
（22-23高二下·重庆永川·期中）
3．随机变量服从两点分布，且，令，则（ ）
A． B． C． D．
（2023高二·全国·课时练习）
4．若随机变量的分布列如下表，则当时，实数的取值范围是（ ）
0 1 2 3
0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
A． B． C． D．
（高二·全国·竞赛）
5．若离散型随机变量X的分布列为，则的值为（ ）.
A． B． C． D．
（22-23高三上·山东济南·期末）
6．已知等差数列的公差为，随机变量满足，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
（22-23高二下·河南周口·期中）
7．已知离散型随机变量的分布列为
1 2 4 6
0.2 0.1
则下列选项正确的是（ ）
A． B．若，则
C．若，则 D．
（22-23高三下·广东广州·阶段练习）
8．设是大于1的整数，离散型随机变量的可能取值为1，2，…，m，满足对任意一个正整数，，则的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
（22-23高三下·广东广州·阶段练习）
9．设是大于1的整数，离散型随机变量的可能取值为1，2，…，m，满足对任意一个正整数，，则的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
（高二·全国·竞赛）
10．从由正数组成的集合A中随机地选出一个数的概率为，则在下面给出的四个集合中：①；②；③；④．
能当成集合A的为 (填上符合要求的所有序号)．
（2023高三·全国·专题练习）
11．近年来，空气质量成为人们越来越关注的话题.环保部门记录了某地区7天的空气质量情况，其中，有4天空气质量为优，有2天空气质量为良，有1天空气质量为轻度污染.现工作人员从这7天中随机抽取3天进行某项研究，则抽取的3天中至少有1天空气质量为良的概率为 ；记X表示抽取的3天中空气质量为优的天数，则 .
四、解答题
（23-24高二上·吉林长春·期末）
12．某商场为了促销规定顾客购买满500元商品即可抽奖，最多有3次抽奖机会，每次抽中，可依次获得10元，30元，50元奖金，若没有抽中，则停止抽奖．顾客每次轴中后，可以选择带走所有奖金，结束抽奖；也可选择继续抽奖，若没有抽中，则连同前面所得奖金全部归零，结束抽奖．小李购买了500元商品并参与了抽奖活动，己知他每次抽中的概率依次为，如果第一次抽中选择继续抽奖的概率为，第二次抽中选择继续抽奖的概率为，且每次是否抽中互不影响．
(1)求小李第一次抽中且所得奖金归零的概率；
(2)设小李所得奖金总数为随机变量，求的分布列．
（2023高二·全国·课时练习）
13．甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次投球命中的概率为，乙每次投球命中的概率为，且各次投球互不影响．
(1)经过1轮投球，记甲的得分为，求的分布列；
(2)若经过轮投球，用表示经过第轮投球，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率．
①求，，；
②规定，经过计算机计算可估计得，请根据①中，，的值分别写出，关于的表达式．
【易错题目】第题、第题
【复盘要点】与分布列的性质有关的最值问题
（2023·湖北武汉模拟）
【典例】某学校进行排球测试的规则是：每名学生最多发4次球，一旦发球成功，则停止发球，否则直到发完4次为止.设学生一次发球成功的概率为 ，且 ，发球次数为 ，则 的最大值为 .
【答案】
【解析】由题意， ，
令 ， ，
则 ，
当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
即 .
【易错警示】不能熟练应用导数法求最值.
【复盘训练】
14．设随机变量X的概率分布列如下表所示：
X 0 1 2
P a
若F(x)＝P(X≤x)，则当x的取值范围是[1，2)时，F(x)等于（ ）
A． B． C．. D．
（22-23高二下·陕西渭南·期末）
15．某一随机变量的分布列为
0 1 2 3
0.1 0.1
则的最大值为（ ）
A．0.2 B．0.8 C．0.08 D．0.6
（22-23高二上·全国·课时练习）
16．若随机变量的分布列如下表所示，则的最小值为（ ）
0 1 2 3
A． B．
C． D．
（21-22高二·全国·课时练习）
17．随机变量X的分布列为
X
P
若，，成等差数列，则公差的取值范围是 ．
（22-23高二上·北京·期中）
18．有两种投资方案，一年后投资的盈亏情况如下两表：
投资股市的盈亏情况表
投资结果 获利40% 不赔不赚 亏损20%
概率
购买基金的盈亏情况表
投资结果 获利20% 不赔不赚 亏损10%
概率 p q
(1)当时，求q的值；
(2)已知甲、乙两人都选择了“投资股市”进行投资，求一年后他们中恰有一人亏损的概率；
(3)已知丙、丁两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，设一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求p的取值范围．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】由题意可知，的所有可能取值为，，，方法一：，方法二：.
【详解】方法一：由题意可知，的所有可能取值为，，，
则．
方法二：由题意可知，的所有可能取值为，，，
则．
故选：A
2．D
【分析】根据变量间的关系，转化为，由两点分步求解.
【详解】当时，由，
所以.
故选：D
3．D
【分析】根据两点分布的性质求出，则.
【详解】因为随机变量服从两点分布，且，
所以，
由，所以.
故选：D
4．D
【分析】求出，即得解.
【详解】解：由题表得，
则．
故选：D
5．B
【分析】由离散型随机变量X的分布列为，求出，由此能求出的值.
【详解】因为，
所以由，
可得：，
即，∴，
所以.
故选:B.
6．D
【分析】根据等差数列的通项公式和随机变量分布列的概率之和等于1即可求解.
【详解】因为随机变量满足，
所以，
也即，又因为是公差为的等差数列，
所以，则有，，，
所以，则，
，，
因为，所以，解得，
故选：.
7．ABD
【分析】根据分布列的性质，以及概率的定义与互斥事件概率的加法公式，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由分布列的性质，可得，解得，所以A正确；
对于B中，若，可得，则，故B正确；
对于C中，由概率的定义知，所以C不正确；
对于D中，由，，则，所以D正确．
故选：ABD.
8．ABD
【分析】根据已知条件，概率之和为1等知识求解范围进行判断即可.
【详解】因为，
则，
由上式知，不恒等于一个常数，单调递减，
则，
又因为
则.
故选：ABD
【点睛】离散型随机变量（=1，2，…，m）的概率之和为1，且，根据这些相关知识对题意进行转化，求解范围即可.
9．ABD
【分析】根据已知条件，概率之和为1等知识求解范围进行判断即可.
【详解】因为，
则，
由上式知，不恒等于一个常数，单调递减，
则，
又因为
则.
故选：ABD
【点睛】离散型随机变量（=1，2，…，m）的概率之和为1，且，根据这些相关知识对题意进行转化，求解范围即可.
10．②③④
【分析】根据离散型随机变量的分布列性质：即可判断.
【详解】，
对于①，
从该集合中随机地选出一个数，则n为随机变量，其分布列为：
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P
因为+++…+，故①不符合；
同理，对于②，因为+++…+，故②符合；
对于③，因为+++…+，故③符合；
对于④，因为+++++，故④符合；
故答案为：②③④
11．
【分析】第一空，先求抽取的3天空气质量都不为良的概率，再根据对立事件的概率公式求解即可；第二空，分析代表的意义，再利用组合数计算即可.
【详解】设事件表示“抽取3天中至少有一天空气质量为良”，
事件表示“抽取的3天空气质量都不为良”，
则事件与事件互为对立事件，
所以；
由已知得表示抽取的3天中只有1天空气质量为优，故空气质量不为优的有2天，
所以概率为.
故答案为：；.
12．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）设出事件，分两种情况讨论：第一次抽中但第二次没抽中，前两次抽中但第三次没抽中，结合独立事件和互斥事件的概率计算公式求解出结果；
（2）先分析的可能取值，然后计算出对应概率，由此可求的分布列.
【详解】（1）记小李第次抽中为事件，则有，且两两互相独立，
记小李第一次抽中但奖金归零为事件，
则；
（2）由题意可知的可能取值为：，
，
，
，
，
所以的分布列为：
13．(1)分布列见解析
(2)①，，；②
【分析】（1）经过1轮投球，甲的得分的取值为，记一轮投球，甲投中为事件，乙投中为事件，相互独立，计算概率后可得分布列；
（2）由（1）得，由两轮的得分可计算出，计算时可先计算出经过2轮后甲的得分的分布列（的取值为），然后结合的分布列和的分布可计算，
由，代入，得两个方程，解得，从而得到数列的递推式，变形后得是等比数列，由等比数列通项公式得，然后用累加法可求得．
【详解】（1）记一轮投球，甲命中为事件，乙命中为事件，则相互独立，由题意，，甲的得分的取值为，0，1，
，
，
，
∴的分布列为
0 1
（2）①由（1）知，
同理，经过2轮投球，甲的得分的可能取值为，，0，1，2．
记，，，则，，
，，．
由此得甲的得分的分布列为
0 1 2
∴．
②∵，，
∴即∴
14．D
【解析】由分布列中概率和为1求参数a，由已知有F(x)＝P(X≤x)＝P(X≤1)即可求F(x).
【详解】由分布列的性质，得a＋＋＝1，
∴a＝，而x∈[1，2)，
∴F(x)＝P(X≤x)＝P(X≤1)=＋＝.
故选：D
15．C
【分析】根据分布列的性质可得，由基本不等式即可求解.
【详解】由分布列可得，又，所以，
当且仅当时，即时，等号成立，
故的最大值为0.08.
故选：C
16．C
【分析】先利用分布列的性质得到的关系式与范围，再利用基本不等式即可得解.
【详解】依题意，得，且，即，
所以，则，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：C.
17．
【分析】由等差数列的性质和分布列的性质得，，，，进而得.
【详解】解：由题意知，，
∴，∴．
又，∴，∴．
同理，由，，∴，
∴，即公差的取值范围是
故答案为：
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据离散型随机变量概率之和为1即可求解；
（2）根据独立事件概率乘法公式即可计算；
（3）根据独立事件概率计算方法求出概率，列出不等式求解即可.
【详解】（1）∵购买基金后，投资结果只有获利、不赔不赚、亏损三种，且三种投资结果相互独立，
∴，
又因为，
所以；
（2）记事件A表示一年后他们中恰有一人亏损，
根据二项分布概率公式，有；
（3）记事件B为一年后丙、丁两人中至少有一人投资获利，它的对立事件为都没盈利，
则，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即p的取值范围为．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页7.2离散型随机变量及其分布列
第三课 知识扩展延伸
扩展1：两个相关随机变量的分布列
例4 已知随机变量的分布列是
－2 －1 0 1 2 3
P
分别求随机变量，的分布列．
【思路分析】先求出取每一个值时对应的，的值，再分别把，取相同的值所对应的事件的概率相加，列出分布列即可．
【解】列出，的取值表格（不是分布列，而是一张预备表）：
－2 －1 0 1 2 3
0 1 2
8 3 0 －1 0 3
P
由此表得到的分布列为
0 1 2
P
的分布列为
－1 0 3 8
P
【方法总结】（1）一般地，若X是随机变量，且，则Y也是随机变量，在已知离散型随机变量X的分布列，求离散型随机变量Y的分布列时，应先弄清随机变量X取每一个值时相对应的Y所取的值，再把Y取相同的值时所对应的事件的概率相加，列出离散型随机变量Y的分布列即可．
（2）若随机变量Y的分布列不易求，则可以根据题意找出与随机变量Y有关的随机变量X，确定二者的对应值及取对应值的概率的关系，将求随机变量Y的分布列转化为求随机变量X的分布列．
【举一反三1-1】
1．设离散型随机变量的分布列为
0 1 2 3 4
0.2 0.1 0.1 0.3
求：（1）的分布列；
（2）求的值.
【举一反三1-2】
2．已知随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4 5 6
P
求随机变量的分布列．
扩展2：与分布列的性质有关的最值问题
例2.（21-22高二下·河南·期中）已知的分布列如表所示，其中a，b都是非零实数，则的最小值是（ ）
1 2 3 4
P a b
A．12 B．6 C． D．
【答案】B
【分析】由分布列的性质可得，利用结合基本不等式，即可求得答案.
【详解】根据分布列的性质知，．且，
所以，
当且仅当时等号成立，
故选:B．
【方法总结】利用分布列的性质求，利用“常数1”的替换，构造不等式，用基本不等式求最值．
【举一反三2-1】（2023高二·全国·课时练习）
3．随机变量X的分布列为
X
P
若，，成等差数列，则公差的取值范围是 ．
【举一反三2-2】（22-23高二下·河南信阳·期末）
4．设随机变量X所有可能的取值为1，2，…，n，且，，定义．若，则当时，的最大值为 ．
（辽宁·高考真题）
5．已知随机变量的概率分布如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
则（ ）
A． B． C． D．
（2024·全国·模拟预测）
6．在2002年美国安然公司（在2000年名列世界财富500强第16位，拥有数千亿资产的巨头公司，曾经是全球最大电力、天然气及电讯服务提供商之一）宣布破产，原因是持续多年的财务数据造假．但是据说这场造假丑闻的揭露并非源于常规的审计程序，而是由于公司公布的每股盈利数据与一个神秘的数学定理——本福特定律——严重偏离．本福特定律指出，一个没有人为编造的自然生成的数据（为正实数）中，首位非零的数字是这九个事件并不是等可能的，而是大约遵循这样一个公式：随机变量是一个没有人为编造的首位非零数字，则， 则根据本福特定律，在一个没有人为编造的数据中，首位非零数字是8的概率约是（参考数据：，）（ ）
A．0.046 B．0.051 C．0.058 D．0.067
（22-23高二下·新疆喀什·期末）
7．已知随机变量的概率分布为，其中a=（ ）
A．1 B． C． D．2
（2024高三·全国·专题练习）
8．设某种疫苗试验的失败率是成功率的5倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则等于（ ）
A．0 B． C． D．1
（22-23高二下·江苏常州·期中）
9．“信息熵”是信息论中的一个重要概念，设随机变量X的所有可能取值为，且，，定义X的信息熵，则下列说法中正确的是（ ）
A．当时，
B．当且时，
C．若，则随着n的减小而减小
D．当时，随着的增大而减小
（22-23高二下·福建·期末）
10．设随机变量的分布列如表：
1 2 3 … 2020 2021
…
则下列说法正确的是（ ）
A．当为等差数列时，
B．数列的通项公式可能为
C．当数列满足时，
D．当数列满足时，
（22-23高三上·江苏徐州·期中）
11．设随机变量的概率分布为，为常数，，，，，则 ．
（2024·辽宁·一模）
12．在统计学的实际应用中，除了中位数外，经常使用的是25%分位数（简称为第一四分位数）与75%分位数（简称为第三四分位数），四分位数应用于统计学的箱型图绘制，是统计学中分位数的一种，即把所有数值由小到大排列，并分成四等份，处于三个分割点的数值就是四分位数，箱型图中“箱体”的下底边对应数据为第一四分位数，上底边对应数据为第三四分位数，中间的线对应中位数，已知甲、乙两班人数相同，在一次测试中两班成绩箱型图如图所示.
(1)由此图估计甲、乙两班平均分较高的班级是哪个？（直接给出结论即可，不用说明理由）
(2)若在两班中随机抽取一人，发现他的分数小于128分，则求该同学来自甲班和乙班的概率分别是多少？
(3)据统计两班中高于140分共10人，其中甲班6人，乙班4人，从中抽取了3人作学习经验交流，3人中来自乙班的人数为，求的分布列.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．（1）见解析；（2）0.7
【分析】根据概率和为列方程，求得的值.
（1）根据分布列的知识，求得对应的分布列.
（2）利用求得的值.
【详解】由分布列的性质知：，解得
（1）由题意可知
，，
，
所以的分布列为：
1 3 5 7 9
0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
（2）
【点睛】本小题主要考查分布列的计算，属于基础题.
2．分布列见解析
【分析】由题意得当，5时，；当，4，6时，；当时，．结合互斥概率加法公式计算相应的概率即可得解.
【详解】由，得
当，5时，；
当，4，6时，；
当时，．
则，
，
，
所以随机变量Y的分布列为
Y 1 0
P
3．
【分析】由等差数列的性质和分布列的性质得，，，，进而得.
【详解】解：由题意知，，
∴，∴．
又，∴，∴．
同理，由，，∴，
∴，即公差的取值范围是
故答案为：
4．
【分析】根据题意可求得当时，的表达式，结合基本不等式即可求得答案.
【详解】当时，，
则
∵，，，∴，当且仅当时，等号成立．
所以，，，
∴，即的最大值为．
答案：
5．C
【分析】先计算出其它的概率之和，再由离散型随机变量分布列的性质即可求解，表格中9个变量对应的概率组成一个首项是，公比是 的等比数列，利用等比数列前项和公式求解.
【详解】由离散型随机变量分布列的性质，可知，所以.
故选：C.
6．B
【分析】根据题意结合对数运算求解．
【详解】由题意可得：,
故选：B
7．B
【分析】根据给定条件利用随机变量分布列的性质列式计算作答.
【详解】依题意，，
由分布列的性质得，
解得.
故选：B
8．C
【分析】先列出变量X的分布列，从而得出答案.
【详解】解：根据题意得，“”表示试验失败，
“”表示试验成功，成功率为p，失败率为5p，
故X的分布列为：
X 0 1
P 5p p
所以，得，
所以失败率为，即．
故选：C.
9．ABC
【分析】根据给定的定义，逐项计算判断作答.
【详解】对于A，当时，,，A正确；
对于B，当时，，，B正确；
对于C，，，则随着n的减小而减小，C正确；
对于D，当时，，当时，
，当时，，两者相等，D错误.
故选：ABC
10．BD
【分析】根据给定条件，利用分布列的性质，结合数列的特性逐项分析判断作答.
【详解】对于A，由为等差数列，得前2021项和，则有，A错误；
对于B，若数列的通项公式为，
则前2021项和，B正确；
对于C，依题意，数列前2021项和，则有，C错误；
对于D，令，则，，
因此当时，，D正确.
故选：BD
11．
【分析】由概率之和为1以及数列求和公式即可求解.
【详解】由题意知：随机变量的所有可能取值的概率和为1，
即，
则，
由等比数列的求和公式，得，
所以，得.
故答案为：
12．(1)甲班
(2)，
(3)分布列见解析
【分析】（1）根据甲乙两班成绩箱型图中的中位数，第三四分位数和第一四分位数的位置可以判断结果；
（2）依题知这是条件概率问题，分别设出从两班中随机抽取一人，“该同学来自甲班为事件”，“该同学分数低于128分为事件”，则需要求和，而这需要先求和，再根据全概率公式求出，最后用贝叶斯公式求解即得；
（3）先求出的所有可能的值，再利用古典概型概率公式求出每个值对应的概率，即得的分布列.
【详解】（1）由两班成绩箱型图可以看出，甲班成绩得中位数为128，而乙班的第三四分位数使128，同时，甲班的第一四分位数明显高于乙班，由此估计甲班平均分较高.
（2）由图可知，甲班中有的学生分数低于128分；
乙班中有的学生分数低于128分
设从两班中随机抽取一人，“该同学来自甲班为事件”，“该同学分数低于128分为事件”，
则，，，，
所以，该同学来自甲乙两班的概率分别为，.
（3）依题的所有可能取值为0，1，2，3
，
，
所以的分布列为：
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑