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7.4.1二项分布
第一练 练好课本试题
【试题来源】来自人教A，人教B，苏教版，北师大版的课本试题，进行整理和组合；
【试题难度】本次训练试题基础，适合学完新知识后的训练，起到巩固和理解新知识的目的.
【目标分析】
1.会用n重伯努利试验的概率公式求概率.如第3题.
2.理解二项分布的概念.如第2题.
3.能熟练用二项分布求随机变量的期望和方差.如第1，7题.
一、填空题
1．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示“正面朝上”出现的次数.
（1）求X的分布列；
（2）________，________.
二、解答题
2．判断下列表述正确与否，并说明理由：
（1）12道四选一的单选题，随机猜结果，猜对答案的题目数；
（2）100件产品中包含10件次品，不放回地随机抽取6件，其中的次品数.
3．将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求：
(1)恰好出现5次正面朝上的概率；
(2)正面朝上出现的频率在内的概率．
4．如图是一块高尔顿板的示意图．在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列.

5．甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更看利？
6．鸡接种一种疫苗后，有80%不会感染某种病毒.如果5只鸡接种了疫苗，求：
（1）没有鸡感染病毒的概率；
（2）恰好有1只鸡感染病毒的概率.
7．抛掷一枚骰子，当出现5点或6点时，就说这次试验成功，求在30次试验中成功次数X的均值和方差.
8．若某射手每次射击击中目标的概率为0.9，每次射击的结果相互独立，则在他连续4次的射击中，恰好有一次未击中目标的概率是多大.
9．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次.求下列事件的概率.
（1）质点回到原点；
（2）质点位于4的位置.
10．某射手每次射击击中目标的概率为0.8，共进行10次射击，求(精确到0.01)：
（1）恰有8次击中目标的概率；
（2）至少有8次击中目标的概率.
11．一个车间有3台车床，它们各自独立工作.设同时发生故障的车床数为X，在下列两种情形下分别求X的分布列.
（1）假设这3台车床型号相同，它们发生故障的概率都是20%；
（2）这3台车床中有A型号2台，B型号1台，A型车床发生故障的概率为10%，B型车床发生故障的概率为20%.
【易错题目】第2，10题
【复盘要点】理解二项分布的概念.会用n重伯努利试验的概率公式求概率.
【复盘训练】
12．下列例子中随机变量服从二项分布的个数为（ ）
①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数；
②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数；
③从装有5个红球，5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，摸到白球时的摸球次数；
④有一批产品共有件，其中件为次品，采用不放回抽取方法，表示次抽取中出现次品的件数
A．0 B．1 C．2 D．3
（23-24高二下·四川成都·开学考试）
13．甲、乙两队进行乒乓球比赛，比赛采取五局三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束），假设每局比赛甲队胜乙队的概率均为p，没有平局，且各局比赛相互独立，则甲队以获胜的概率可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
（23-24高二上·北京昌平·期末）
14．某气象台天气预报的准确率为80%，则3次预报中恰有1次预报准确的概率是（ ）
A．9.6% B．10.4% C．80% D．99.2%
15．下列例子中随机变量服从二项分布的有 ．
①随机变量表示重复抛掷一枚骰子次中出现点数是3的倍数的次数；
②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数；
③有一批产品共有件，其中件为次品，采用有放回抽取方法，表示次抽取中出现次品的件数；
④有一批产品共有件，其中件为次品，采用不放回抽取方法，表示次抽取中出现次品的件数．
（23-24高三上·天津滨海新·阶段练习）
16．小明上学途中共有4个红绿灯，且小明遇到每个红灯的概率均为，记某次小明上学途中遇到红灯的次数为，则小明上学途中恰好遇到两个红灯的概率为 ， .
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．（1）分布列见解析；（2）；.
【分析】（1）由已知可得随机变量，根据二项分布的概率，即可求出分布列；
（2）利用二项分布的期望和方差公式，即可求出结论.
【详解】（1）一枚质地均匀的硬币抛掷一次正面朝上的概率为，
且每次是否正面朝上是相互独立，所以，
，
所以X的分布列为：
（2）根据（1），
所以.
2．(1)表述正确，理由见解析; (2)表述错误，理由见解析.
【分析】（1）每一道题猜对答案的概率均为0.25,则相当于进行12次独立重复试验，故符合二项分布的概念；（2）不放回的随机抽取，概率不同，不符合二项分布的概念.
【详解】(1)该表述正确，理由如下:12道四选一的单选题,随机猜结果，则每一道题猜对答案的概率均为0.25,则相当于进行12次独立重复试验，故猜对答案的题目数X ~ B (12, 0.25).
(2)该表述错误，理由如下:因为是不放回的随机抽取，所以上一次抽取的结果对本次抽取有影响，故不能看成独立重复试验，故次品数Y不符合二项分布.
3．(1)
(2)
【分析】（1）抛掷一枚质地均匀的硬币，出现“正面朝上”和“反面朝上”两种结果且可能性相等，这是一个10重伯努利试验．根据正面朝上的次数服从二项分布，即可求解.
（2）根据条件由重复抛掷10次正面朝上出现的频率在得到，再结合二项分布即可求解.
【详解】（1）设“抛掷一枚质地均匀的硬币正面朝上”，则,
设表示事件A发生的次数，则．
则恰好出现5次正面朝上即，
所以，
故恰好出现5次正面朝上的概率为.
（2）由（1）知，抛掷一枚质地均匀的硬币正面朝上的概率为，
重复抛掷10次正面朝上出现的频率在内，即．
所以．
4．答案见解析
【分析】由题设分析得到，进而利用二项分布求概率公式求出相应的概率，进而写出分布列.
【详解】设“向右下落”，“向左下落”，则，
因为小球最后落入格子的号码等于事件发生的次数，
而小球下落的过程中共碰撞小木钉10次，所以，
的可能取值为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，
所以，，，，，，
，，，，，
所以的分布列为：
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5．5局3胜制对甲有利
【分析】判断哪个赛制对甲有利，就是看在哪个赛制中用最终获胜的概率大．可以把“甲最终获胜”这个事件，按可能的比分情况表示为若干事件的和，再利用各局比赛结果的独立性逐个求概率；也可以假定赛完所有n局，把n局比赛看成n重伯努利试验，利用二项分布求“甲最终获胜”的概率．
【详解】解法1：采用3局2胜制，甲最终获胜有两种可能的比分2∶0或2∶1，前者是前两局甲连胜，后者是前两局甲、乙各胜一局且第3局甲胜．因为每局比赛的结果是独立的，甲最终获胜的概率为
．
类似地，采用5局3胜制，甲最终获胜有3种比分3∶0，3∶1或3∶2．因为每局比赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率为
．
解法2：采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用X表示3局比赛中甲胜的局数，则．甲最终获胜的概率为
．
采用5局3胜制，不妨设赛满5局，用X表示5局比赛中甲胜的局数，则．甲最终获胜的概率为
．
因为，所以5局3胜制对甲有利．实际上，比赛局数越多，对实力较强者越有利．
6．（1）；（2）
【分析】（1）利用二项分布的概率计算公式即可求解.
（2）利用二项分布的概率计算公式即可求解.
【详解】（1）由题意可得鸡接种一种疫苗后，感染某种病毒的概率为，
没有鸡感染病毒为事件，
则.
（2）恰好有1只鸡感染病毒为事件，
7．均值，方差.
【分析】由题意得随机变量服从二项分布，根据二项分布的均值和方差公式，即可求解.
【详解】依题意试验一次成功的概率为，且每次试验是相互独立，
所以30次试验中成功次数X服从二项分布，
，
所以在30次试验中次数的均值为，方差为.
8．
【分析】利用二项分布的概率计算公式即可求解.
【详解】设恰好有一次未击中目标为事件，
.
9．（1）；（2）.
【分析】（1）质点回到原点可知质点向右移动3次，向左移动3次，根据二项分布的概率公式，即可求解；
（2）质点位于4的位置可知质点向右移动5次，向左移动1次，根据二项分布的概率公式，即可求解.
【详解】设质点向右移动的次数为，又质点每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，
共移动6次，且每次移动是相互独立，则.
（1）质点回到原点，则，
，
所以质点回到原点的概率是；
（2）当质点位于4的位置时，则，
，
所以质点位于4的位置的概率是.
10．；（2）.
【分析】（1）由条件利用n次独立重复实验中恰好发生k次的概率计算公式，求得恰有8次击中目标的概率．
（2）由条件利用n次独立重复实验中恰好发生k次的概率计算公式，求得恰有8次击中目标的概率、恰有9次击中目标的概率、恰有10次击中目标的概率，再把这3个概率相加，即得所求．
【详解】解：（1）∵某射手每次射击击中目标的概率是，则这名射手在10次射击中恰有8次击中目标的概率为 ．
（2）至少有8次击中目标的概率为 ．
11．（1）答案见详解；（2）答案见详解.
【分析】（1）利用二项分布的概率计算公式即可求解.
（2）利用独立事件的概率乘法公式即可求解.
【详解】（1），
，
，
，
所以的分布列如下：


（2），
，
，
.
所以的分布列如下：


12．B
【分析】根据二项分布的特征即可判断.
【详解】①满足独立重复试验的条件，是二项分布；
②的取值是1，2，3…，，（），显然不符合二项分布的定义，因此不服从二项分布；
③虽然是有放回地摸球，但随机变量的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义；
④次试验是不独立的，因此不服从二项分布．
所以只有1个服从二项分布.
故选：B．
13．C
【分析】根据甲队以获胜,得出4局比赛的胜负情况，求出概率即可.
【详解】甲队以获胜,则两队共比赛了4局，且第4局一定是甲获胜，前3局里甲获胜了2局，故概率为，即.
故选：C.
14．A
【分析】根据独立重复实验的概率公式可求出结果.
【详解】由天气预报的准确率为80%，
则3次预报中恰有1次预报准确的概率为：
，即.
故选：A.
15．①③
【分析】根据二项分布的特征和定义即可判断.
【详解】对于①，设事件为“抛掷一枚骰子出现的点数是3的倍数”，则，而在次独立重复试验中事件恰好发生了次的概率，符合二项分布的定义．
对于②，的取值是， ，显然不符合二项分布的定义，因此不服从二项分布．
③和④的区别：③是“有放回”抽取，而④是“无放回”抽取，显然④中次试验是不独立的，因此不服从二项分布，对于③有服从二项分布，
故答案为：①③
16．
【分析】结合题设有，再应用二项分布的期望公式求.
【详解】由题设，小明上学途中恰好遇到两个红灯的概率为：，
又，由二项分布期望的求法可得.
故答案为：；.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页7.4.1二项分布
第一课 解透课本内容
[课标要求]
1.理解n重伯努利试验的定义.
2.会用n重伯努利试验的概率公式求概率.
3.理解二项分布的概念，能解决一些简单的实际问题.
[明确任务]
1.会用n重伯努利试验的概率公式求概率.【数学运算】
2.理解二项分布的概念，能解决一些简单的实际问题.【数据分析，数学建模，数学运算】
1.离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
（1）均值
E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
（2）方差
D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝为随机变量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度.
2.均值与方差的性质
（1）E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
（2）D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数).
核心知识点1： n重伯努利试验（n次独立重复试验）
1．n重伯努利试验的定义
我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验．我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．
求甚解：
n重伯努利试验的特征
（1）每次试验是在同样条件下进行的，有关事件的概率保持不变；
（2）各次试验中的事件是相互独立的，结果互不影响；
（3）每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生这两种结果是对立的．
辨析 区分n重伯努利试验与独立事件
（1）两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响；
（2）n重伯努利试验是指在相后条件下重复进行的、各次之间相互独立的一种试验，每次试验都只有两种结果（即事件要么发生，要么不发生），并且在任何一次试验中，事件发生的概率均相等；
（3）n重伯努利试验的概率公式是由独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式推导而来的．
应用 n重伯努利试验（n次独立重复试验）的实际原型是有放回地抽样检验问题，但在实际应用中，从大批产品中抽取少量样品的不放回检验，也可以近似地看作此类型，因此n重伯努和试验在实际问题中应用广泛．
2．n重伯努利试验的概率公式
一般地，如果在一次试验中事件A发生的概率是p，事件A在n次试验中发生k次，共有种情形，由试验的独立性知，每种情形下，A在k次试验中发生，而在其余次试验中不发生的概率都是，所以由概率加法公式知，在n重伯努利试验中，事件A恰好发生k次的概率为．
公式的推导：首先，由独立事件的概率公式可知，n重伯努利试验中，事件A在某指定的k次发生而在其余的次不发生的概率为；其次，事件A在n次试验中发生k次的不同发生方式有种，且它所对应的个事件是互斥的，因而由概率的加法公式可知．
解读：（1）此概率公式必须在满足“n重伯努利试验”时才能运用．
（2）使用公式时一定要明确该公式中各量表示的意义：n为伯努利试验的次数；p是在1次试验中事件A发生的概率；是在1次试验中事件A不发生的概率；k是在n重伯努利试验中事件A发生的次数．
（3）n重伯努利试验是相互独立事件的特例．一般地，有“恰好发生k次”“恰有k次发生”字样的问题，求概率时，用n重伯努利试验概率公式计算更简便．
例1.n重伯努利试验应满足的条件:
①各次试验之间是相互独立的;
②每次试验只有两种结果;
③各次试验成功的概率是相同的;
④每次试验发生的事件是互斥的.
其中正确的是（ ）
A.①② B.②③C.①②③ D.①②④
【答案】C
【解析】由伯努利试验的概念知①②③正确,④错误.
归纳总结 n重伯努利试验的判断及相应概率的求解策略
（1）符合n重伯努利试验必须满足的两个特征：①每次试验的条件完全相同，有关事件的概率保持不变；②各次试验的结果互不影响，即各次试验相互独立.
（2）在求n重伯努利试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n，p和k的值，再准确利用公式P（X＝k）＝pk（1－p）n－k，k＝0，1，2，…，n求概率.
【举一反三】
（23-24高二上·辽宁抚顺·期末）
1．位于坐标原点的一个点按下述规则移动：每次只能向下或向左移动一个单位长度，且向左移动的概率为.那么移动5次后位于点的概率是 .
核心知识点2：二项分布
1．二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为，．
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作．
由二项式定理，容易得到．
辨析 二项分布与两点分布的关系
（1）两点分布的试验次数只有一次，试验结果只有两种：事件A发生或不发生；二项分布是指在n重伯努利试验中事件A发生的次数X的分布列，试验次数为n次（每次试验的结果也只有两种：事件A发生或不发生），试验结果有种，即事件A恰好发生0次，1次，2次，…，n次．
（2）二项分布是两点分布的一般形式，两点分布是一种特殊的二项分布，即的二项分布．
2．明确二项分布中的各量表示的意义
前提 在n重伯努利试验中
字母的含义 n 伯努利试验的次数
事件A发生的次数
p 每次试验中事件A发生的概率
分布列 ，
结论 随机变量X服从参数为n，p的二项分布
记法 记作X~B（n，p），并称p为成功概率
3．二项分布的均值与方差
若随机变量X服从参数为n，p的二项分布，即，则，．
方法 对于两点分布的问题关键是找对成功概率p，对于二项分布的问题关键是找对试验次数n．
解读：二项分布的特点
（1）对立性：即一次试验中只有两种结果——“成功”和“不成功”，而且有且仅有一个发生；
（2）重复性：试验在相同条件下独立重复地进行n次，保证每一次试验中“成功”的概率和“不成功”的概率都保持不变．
例2.某运动员投篮命中率．
（1）求他一次投篮时命中次数的均值；
（2）求当他重复5次投篮时，命中次数的均值．
【解】（1）投篮一次，命中次数的分布列为
0 1
P 0.4 0.6
则．
（2）由题意知，重复5次投篮，命中的次数服从二项分布，即，
则．
归纳总结 二项分布的期望与方差的求解策略
（1）如果ξ ～B（n，p），则用公式E（ξ）＝np，D（ξ）＝np（1－p）求解，可大大减少计算量；
（2）有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E（aξ＋b）＝aE（ξ）＋b以及E（ξ）＝np求出E（aξ＋b），同样还可求出D（aξ＋b）.
【举一反三】
（23-24高二下·山东东营·开学考试）
2．随机变量服从二项分布：，则它的期望（ ）
A．0.5 B．2.5 C．5 D．10
【举一反三】
（2023·陕西西安·模拟预测）
3．若随机变量，且，则 .
（23-24高二上·陕西渭南·期末）
4．若随机变量，则（ ）
A．2 B．4 C．8 D．32
（23-24高三下·北京·开学考试）
5．电灯泡使用时数在1000小时以上的概率为0.8，则3个灯泡在使用1000小时内恰好坏了一个的概率为（ ）
A．0.384 B． C．0.128 D．0.104
6．（多选题）下列例子中随机变量X服从二项分布的有（ ）
A．X表示重复拋掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数
B．某射手击中目标的概率为0.9，X表示从开始射击到击中目标所需次数
C．有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用有放回抽取方法，X表示n次抽取中出现次品的件数
D．有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法，X表示n次抽取中出现次品的件数
（23-24高二上·江西南昌·期末）
7．在一个布袋中装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球，从中随机摸取1个球，有放回地摸取3次，记摸取白球的个数为X．若，则 ．
（2024高三·全国·专题练习）
8．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3件，若X表示取到次品的次数，则 ， ．
（2022·山西省大同市期中）
9．中国男子篮球职业联赛（CBA）总决赛采用七局四胜制，即有一队先胜四局比赛即结束现有两支球队进行比赛，并预计本次比赛两支球队的实力相当，且每场比赛组织者可获利a万元．求组织者在本次比赛中获利6a万元的概率．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．
【分析】若移动5次后位于点，所以5次移动中需向左移动4次，向下移动1次，根据二项分布求解即可.
【详解】因为向左移动的概率为，所以向下移动的概率为，
由题意得必须向左移动4次，向下移动1次，
所以所求的概率为.
故答案为：
2．C
【分析】利用二项分布的期望公式直接计算即可得解.
【详解】因为随机变量服从二项分布：，
则它的期望.
故选：C.
3．10
【分析】首先根据二项分布的运算，可得，再利用求得，再利用即可得解.
【详解】因为，
所以，
解得或，因为，
所以，所以，
所以.
故答案为：10
4．B
【分析】由二项分布的方差公式即可求解.
【详解】由题意可得.
故选：B.
5．A
【分析】分析知这是二项分布，3重伯努利试验.
【详解】电灯泡使用时数在1000小时以上的概率为0.8，1个灯泡在使用1000小时内坏了的概率为，则3个灯泡在使用1000小时内恰好坏了一个的概率为
.
故选：A
6．AC
【分析】根据二项分布的特征和定义即可判断.
【详解】对于A，设事件E为“抛掷一枚骰子出现的点数是3的倍数”，
则，则在n重伯努利试验中事件E恰好发生了次的概率，
符合二项分布的定义，即有．
对于B，X的取值是1，2，3，…，n，，显然不符合二项分布的定义，
因此X不服从二项分布．
选项C与D的区别是：C是“有放回”抽取，而D是“无放回”抽取，显然D中n次试验是不独立的，
因此X不服从二项分布，对于C，X显然服从二项分布，且．
故选：AC.
7．
【分析】根据已知条件，可知X服从二项分布，由二项分布的期望公式可求出m，进而可得.
【详解】由题意知．
因为，所以，解得，
所以．
故答案为： .
8．
【分析】根据题意分析可得，服从二项分布，所以可以用公式直接求解及方差.
【详解】由题意得服从二项分布，且每次取到次品的概率为，所以，
所以，．
故答案为：；.
9．
【分析】根据题干理解比赛规则，把组织者在本次比赛中获利6a万元的概率转化为比赛6场的概率，利用n重独立重复试验的知识点即可求解.
【详解】组织者获利6a万元，表明两支球队共打了六场比赛才决出胜负，其中一队胜四局且最后一场（第六场）该队胜．
此时可将六场比赛的前五场视为5重伯努利试验,其中一队恰胜三局,且第六场该队胜．
又因为双方都有胜出的可能，故组织者在本次比赛中获利6a万元的概率为．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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