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6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
第一课 解透课本内容
[课标要求]
[明确任务]
分类讨论思想的类型
核心知识点1：分类加法计数原理
1．定义
2．推广
解读：对分类加法计数原理的理解
分类，分类必须明确标准，要求不重不漏．不重即任何一种方法只能属于一类，不漏即任何一种方法一定在某一类中
A大学 B大学
生物学 数学
化学 会计学
医学 信息技术学
二物理学 法学
工程学
归纳总结
【举一反三】
1．某同学从4本不同的科普杂志，3本不同的文摘杂志，2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，则不同的选法共有（ ）
A．24种 B．9种 C．3种 D．26种
核心知识点2：分步乘法计数原理
1．定义
2．推广
解读：对分步乘法计数原理的理解
分步，要求准确分步，且要清楚每一步之中不同的方法总数
归纳总结
【举一反三】
2．十字路口来往的车辆，如果不允许掉头，则共有 种行车路线（用数字作答）
归纳
【举一反三】
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
联系 都是用来计算完成一件事的方法种数
区别一 针对的是“分类完成问题” 针对的是“分步完成问题”
区别二 各种方法相互独立 各个步骤中的方法相互连续
区别三 任何一种方法都可以做完这件事 只有各个步骤都完成才算做完这件事
解读：
合理分类，准确分步
特殊优先，一般在后

abca
bcb
cabccbc

归纳总结
【举一反三】
3．有一项活动，需从3位教师、8名男同学和5名女同学中选人参加．
（1）若只需1人参加，则有多少种不同的选法？
（2）若需教师、男同学、女同学各1人参加，则有多少种不同的选法？
4．每天从甲地到乙地的飞机有5班，高铁有10趟，动车有6趟，公共汽车有12班.某人某天从甲地前往乙地，则其出行方案共有（ ）
A．22种 B．33种 C．300种 D．3 600种
5．中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类．现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
6．现有6名志愿者去5个社区去参加志愿活动，每名志愿者可自由选择其中的1个社区，不同选法的种数是（　　）
A．56 B．65 C．30 D．11
7．有且仅有语文、数学、英语、物理4科老师布置了作业，同一时刻3名学生都在做作业，则这3名学生做作业的可能情况有 种．
8．一项工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是 ；
9．用1，2，3这3个数字可写出没有重复数字的整数有 个．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】所选的杂志可以分成3类，求出每类杂志任选一本的方法，然后相加，即可求出结论.
【详解】某同学从4本不同的科普杂志任选1本，有4种不同选法，
从3本不同的文摘杂志任选1本，有3种不同的选法，
从2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本，有2种不同的选法，
根据分类加法原理可得，该同学不同的选法有：种.
故选：B.
【点睛】本题考查分类加法计数原理，属于基础题.
2．
【分析】根据题意，分析车辆的起始位置和终止位置，利用乘法原理即可得出答案.
【详解】设十字路口有四个路口，
由于不允许掉头，则其中一个路口的车辆有种行驶方向，即左拐，直行，右拐，
那么四个路口的车一共有种行车路线.
故答案为：.
3．（1）16(种)；（2）120(种).
【分析】（1）利用分类加法原理求解（1）利用分步乘法原理求解
【详解】（1）选1人，可分三类：
第1类，从教师中选1人，有3种不同的选法；
第2类，从男同学中选1人，有8种不同的选法；
第3类，从女同学中选1人，有5种不同的选法．
共有3＋8＋5＝16(种)不同的选法．
（2）选教师、男同学、女同学各1人，分三步进行：
第1步，选教师，有3种不同的选法；
第2步，选男同学，有8种不同的选法；
第3步，选女同学，有5种不同的选法．
共有3×8×5＝120(种)不同的选法．
4．B
【分析】利用分类加法计数原理计算即得.
【详解】从甲地到乙地不同的方案数为.
故选：B.
5．A
【分析】每人都有3种选法，结合分布计数原理即可求解.
【详解】由题可知，每名同学都有3种选法，故不同的选购方式有种，经检验只有A选项符合.
故选：A
6．A
【分析】根据分步乘法计数原理分析计算即可.
【详解】第一名志愿者有5种选择方法，第二名志愿者有5种选择方法，……，第六名志愿者有5种选择方法，
综上，6名志愿者共有56种不同的选法．
故选：A
7．64
【分析】
根据分步乘法，每个学生做作业的情况都是4，相乘即可.
【详解】
因为4科老师布置了作业，在同一时刻每个学生做作业的情况有4种可能，
所以3名学生都做作业的可能情况种．
故答案为:64.
8．9
【分析】由分类加法计数原理即可得解.
【详解】由题意，选择第1种方法来完成工作，共有5种选法；
选择第2种方法完成工作，共有4种选法；
所以符合题意得选法共有种.
故答案为：9.
9．15
【分析】按一位整数、两位整数与三位整数分类讨论即可得到结果．
【详解】分三类：
第一类为一位整数，有3个；
第二类为两位整数，有12，13，21，23，31，32，共6个；
第三类为三位整数，有123，132，213，231，312，321，共6个．
∴可写出没有重复数字的整数有3＋6＋6＝15(个)．
故答案为：15
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
第一练 练好课本试题
【试题来源】来自人教A，人教B，苏教版，北师大版的课本试题，进行整理和组合；
【试题难度】本次训练试题基础，适合学完新知识后的训练，起到巩固和理解新知识的目的.
【目标分析】
1.利用分类加法计数原理求解相关问题，培养数据分析，数学运算，如第1题.
2.利用分步乘法计数原理求解相关问题，培养数据分析，数学运算，如第2题.
3.能够灵活两个原理求解相关问题，培养数学建模，数学运算，如第5题.
4.能够灵活两个原理求解几何图形问题，培养直观想象，数学运算，如第11题.
一、填空题
1．一项工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是 ；
2．从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同路线的条数是 ．
二.解答题
3．要从甲、乙、丙幅不同的画中选出幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？
4．书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书．
（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？
（2）从书架上任取数学书和语文书各1本，有多少种不同的取法？
5．现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名．
（1）从三个年级的学生中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？
（2）从三个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？
6．某电话局管辖范围内的电话号码由8位数字组成，其中前4位的数字是不变的，后4位数字都是0~9之间的一个数字，这个电话局不同的电话号码最多有多少个？
7．从1，2，…，19，20中任选一个数作被减数，再从1，2，…，10中任选一个数作减数，然后写成一个减法算式，共可得到多少个不同的算式？
8．在1，2，…，500中，被5除余2的数共有多少个？
9．由数字1，2，3，4，5可以组成多少个三位数（各位上的数字可以重复）？
10．乘积展开后共有多少项？
11．如图，要让电路从A处到B处接通，可有多少条不同的路径？
12．2160有多少个不同的正因数？
13．电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态.因此计算机内部就采用了每一位只有或两种数字的记数法，即二进制.为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由个二进制位构成.问：
（1）一个字节(位)最多可以表示多少个不同的字符？
（2）计算机汉字国标码(码)包含了个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？
【易错题目】第11题
【复盘要点】与几何图形有关的问题
【典例】一植物园参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种数共有(　D　)
A．6种 B．8种
C．36种 D．48种
【答案】D
【解析】由题意知在A点可先参观区域1，也可先参观区域2或3，每种选法中可以按逆时针参观，也可以按顺时针参观，所以第一步可以从6个路口任选一个，有6种结果，参观完一个区域后，选择下一步走法，有4种结果，参观完第二个区域，只剩下最后一个区域，有2种走法，根据分步乘法计数原理，共有6×4×2＝48种不同的参观路线．
【复盘训练】
14．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为
A．40 B．16 C．13 D．10
【2023河北石家庄高三二模】
15．算盘是中国古代的一项重要发明．现有一种算盘（如图1），共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字，梁下五珠，上拨一珠记作数字（如图2中算盘表示整数）．如果拨动图1算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为（ ）
A． B． C． D．
16．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网络联系，连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（　　）

A．26 B．24 C．20 D．19
17．将1，2，3，…，9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法有（ ）.
A．6种 B．12种 C．18种 D．24种
18．如图所示，在A，间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路.则电路不通，则因为焊接点脱落而导致电路不通情况有 种.
(2023山东青岛二中高三上期末,)
19．如图，在由开关组与组成的电路中，闭合开关使灯发光的方法有 种.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．9
【分析】由分类加法计数原理即可得解.
【详解】由题意，选择第1种方法来完成工作，共有5种选法；
选择第2种方法完成工作，共有4种选法；
所以符合题意得选法共有种.
故答案为：9.
2．6
【分析】由分步乘法计数原理即可得解.
【详解】因为从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，
所以从A村经B村去C村，共有条不同路线.
故答案为：6.
3．6
【分析】根据分步计数原理，求不同的挂法种数.
【详解】从幅画中选出幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：

第步，从幅画中选幅挂在左边墙上，有种选法，
第步，从剩下的幅画中选幅挂在右边墙上，有种选法，
根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数是.
4．（1）种；（2）种；
【分析】（1）按照分类加法计数原理计算可得；
（2）按照分步乘法计数原理计算可得；
【详解】解：书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书．
（1）从书架上任取1本书，则有种取法；
（2）从书架上任取数学书和语文书各1本，则有种取法；
5．（1）12；（2）60.
【分析】（1）由分类加法计数原理运算即可得解；
（2）由分步乘法计数原理运算即可得解.
【详解】从高一年级的学生中选取1名，有3种选法；从高二年级的学生中选取1名，有5种选法；从高三年级的学生中选取1名，有4种选法；
（1）从三个年级的学生中任选1人参加活动，共有种不同选法；
（2）从三个年级的学生中各选1人参加活动，共有种不同选法.
6．10000
【分析】后四位数字都是0到9之间的一个数字，每一位都有10种选择方法，根据分步计数原理可得．
【详解】解：后四位数字都是0到9之间的一个数字，每一位都有10种选择方法，故有个．
故这个电话局不同的电话号码最多有10000个．
7．
【分析】根据分步乘法计数原理直接求解出不同算式的个数.
【详解】第一步：从中选一个数作为被减数，有种选法；
第二步：从中选一个数作为减数，有种选法，
所以写成的减法算式共有：个，
故可得个不同的算式.
8．
【分析】依题意这些数构成以2为首项，以5为公差的等差数列，根据等差数列的通项公式计算可得；
【详解】解：因为在1，2，…，500中，被5除余2的数有，，，，
这些数构成以2为首项，以5为公差的等差数列，设一个有个数，所以，解得
故共有个
9．125个
【分析】由百位、十位和个位上的数字均有5种选法，结合分步乘法计数原理即可得解.
【详解】由题意，百位、十位和个位上的数字均有5种选法，
∴由数字1，2，3，4，5可以组成个三位数．
10．45项
【分析】由多项式的乘法法则结合分步乘法计数原理即可得解.
【详解】根据多项式的乘法法则，展开后每一项均是从中各取1项相乘得到，
所以展开后的项数为项.
11．8条
【分析】分上线路、中线路、下线路讨论，结合分类加法计数原理即可得解.
【详解】如果电路从上线路接通，共有3条路径；
如果电路从中线路接通，共有1条路径；
如果电路从下线路接通，共有条路径；
所以要让电路从A处到B处接通，共有条不同的路径.
12．40
【分析】对2160分解因数，转化2160的正因数，结合参数的取值及分步乘法计数原理即可得解.
【详解】由题意，，
则2160的正因数，
因为可取0，1，2，3，4；可取0，1；可取0，1，2，3；
所以2160有个不同的正因数.
13．（1）256个；（2）2个.
【解析】（1）一个字节共有位，每位上有种选择，根据分步乘法计数原理，即可得解；
（2）由（1）知，用一个字节能表示个字符，不够表示，继续利用分步相乘原理计算个字节可以表示的不同的字符，判断与的大小关系即可.
【详解】（1）一个字节共有位，每位上有种选择，
根据分步乘法计数原理，一个字节最多可以表示个不同的字符；
（2）由（1）知，用一个字节能表示个字符，，一个字节不够；
根据分步乘法计数原理，个字节可以表示个不同的字符，
，所以每个汉字至少要用个字节表示.
【点睛】关键点点睛：本题考查分步乘法计数原理，熟练掌握分步计数原理的概念及计算公式是解题的关键，考查学生的逻辑思维与运算能力，属于基础题.
14．C
【分析】由题意，第1类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面，再根据分类计数原理，即可求解．
【详解】分两类情况讨论：第1类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面．
根据分类加法计数原理知，共可以确定8＋5＝13个不同的平面，故选C．
【点睛】本题主要考查了分类计数原理的应用，其中解答中认真审题，合理分类求解，再利用分类计数原理是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
15．C
【分析】分四种情况讨论：①个位拨动三枚；②十位拨动一枚，个位拨动两枚；③十位拨动两枚，个位拨动一枚；④十位拨动三枚.分别列举出每种情况下对应的数字，利用分类加法计数原理可得结果.
【详解】由题意，拨动三枚算珠，有种拨法：
①个位拨动三枚，有种结果：、；
②十位拨动一枚，个位拨动两枚，有种结果：、、、；
③十位拨动两枚，个位拨动一枚，有种结果：、、、；
④十位拨动三枚，有种结果：、．
综上，拨动题图1算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为．
故选：C.
16．D
【分析】
根据分类加法计数原理计算．
【详解】
由题图可知，从A到B有4种不同的传递路线，各路线上单位时间内通过的最大信息量自上而下分别为3，4，6，6，
由分类加法计数原理得，单位时间内传递的最大信息量为.
故选：D．
17．A
【分析】有唯一一种填法，有种，剩余的有种，根据乘法计数原理可得答案.
【详解】因为每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，
所以只能填在第一行第一列，只能填在第行第列，只能填在第一行第二列，
有种填法（第一行第三列或第三行第一列），5填好后与之相邻的空格可填6，7，8任一个，余下两个数字按从小到大的顺序填入剩余空格只有一种方法，
所以共有2×3=6（种）方法，
故选；A．
18．13
【分析】分类讨论，列举出脱落1个，2个，3个，4个焊接点导致电路不通的情况，求出答案.
【详解】若脱落1个，则有（1），（4）两种情况，
若脱落2个，则有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6种情况，
若脱落3个，则有（1，2，3），（1，2，4），（2，3，4），（1，3，4）共4种情况.
若脱落4个，则有（1，2，3，4）共1种情况，综上共有种情况.
故答案为：13.
19．21
【分析】先分类再分步即可求解
【详解】分两类，每类中分两步.
①第1步：组开关闭合1个，有2种闭法，第2步：组开关闭合1个，有3种闭法；组开关闭合2个，有3种闭法；组开关闭合3个，有1种闭法.
此时共有种闭法.
②第1步：组开关闭合2个，有1种闭法，第2步：组开关闭合1个，有3种闭法；组开关闭合2个，有3种闭法；组开关闭合3个，有1种闭法.
此时共有闭法.
综上，共有种闭法.
故答案为：
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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