资源简介

6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
第三练 能力提升拔高
【试题来源】来自各地期中期末的联考试题，进行整理和改编；
【试题难度】本次训练试题难度较大，适合学完第三课后，起到提升解题能力和素养的目的．
【目标分析】
1．能够灵活两个原理求解数字问题，培养数据分析，数学运算，如第13题．
2．能够灵活两个原理求解种植问题，培养数据分析，数学运算，如第10题．
3．能够灵活两个原理求解涂色问题，培养数学建模，数学运算，如第4题．
一、单选题
（23-24高二上·福建宁德·期末）
1．学校组织研学活动，现有寿宁下党乡、福安柏柱洋、屏南潦头村、福鼎赤溪村4条路线供3个年级段选择，每个年段必项且只能选择一条路线，则不同的选择方法有（ ）
A．4种 B．24种 C．64种 D．81种
（23-24高二上·甘肃白银·期末）
2．踢球时甲 乙 丙三人互相传递，由甲开始传球，经过3次传递后，球又被传回到甲，则不同的传递方式共有（ ）
A．6种 B．8种 C．2种 D．4种
（23-24高三下·重庆·开学考试）
3．用四种不同的颜色给如图所示的六块区域A，B，C，D，E，F涂色，要求相邻区域涂不同颜色，则涂色方法的总数是（ ）
A．120 B．72 C．48 D．24
（23-24高三下·四川雅安·开学考试）
4．已知集合，非空集合，且中所有元素之和为奇数，则满足条件的集合共有（ ）
A．12个 B．14个 C．16个 D．18个
（2023·广东省佛山市南海执信中学段测）
5．立德幼儿园王老师和李老师给小朋友发水果．王老师的果篮里有草莓，苹果，芒果3种水果．李老师的果篮里有苹果，櫻桃，香蕉，猕猴桃4种水果．小华可以在两个老师的果篮里分别选一个水果．小华拿到两种不同的水果的情况有（ ）．
A．7种 B．6种 C．12种 D．11种
（2024·辽宁沈阳·一模）
6．如图，小明从街道的处出发，到处的老年公寓参加志愿者活动，若中途共转向3次，则小明到老年公寓可以选择的不同的最短路径的条数是（ ）

A．8 B．12 C．16 D．24
二、多选题
（2023·山东省枣庄八中月考）
7．现有3名老师，8名男生和5名女生共16人，有一项活动需派人参加，则下列命题中正确的是（ ）
A．只需1人参加，有16种不同选法
B．若需老师、男生、女生各1人参加，则有120种不同选法
C．若需1名老师和1名学生参加，则有39种不同选法
D．若需3名老师和1名学生参加，则有56种不同选法
8．（多选）现有个数学课外兴趣小组，第一、二、三、四组分别有人、人、人、人，则下列说法正确的是（ ）
A．选人为负责人的选法种数为
B．每组选名组长的选法种数为
C．若推选人发言，这人需来自不同的小组，则不同的选法种数为
D．若另有名学生加入这个小组，加入的小组可自由选择，且第一组必须有人选，则不同的选法有种
（23-24高二上·甘肃白银·期末）
9．用种不同的颜色涂图中的矩形，要求相邻的矩形涂色不同，不同的涂色方法总种数记为，则（ ）

A． B．
C． D．
三、填空题
（2023·湖北省鄂东南联考）
10．一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植草坪和绿色灌木，周围的圆环分为n（，）等份，种植红、黄、蓝三种颜色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花．
（1）如图（1），圆环分成3等份，分别为，，，则有 种不同的种植方法；
（2）如图（2），圆环分成4等份，分别为，，，，则有 种不同的种植方法．
11．设，，，若以，，为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三角形有 个．
四、解答题
12．如图所示，用5种不同的颜料给4块图形(A，B，C，D)涂色，要求共边两块颜色互异，求有多少种不同的涂色方案．

（23-24高二上·江西·期末）
13．从这7个数字中取出4个数字，试问：
(1)能组成多少个没有重复数字的四位数？
(2)能组成多少个没有重复数字的四位偶数？
【易错题目】第9题、第13题
【复盘要点】用两个原理求解数字问题和涂色问题
【典例】（2024·全国·模拟预测）从1至7这7个整数中随机取出3个不同的数，则它们的积与和都是3的倍数的不同取法有（ ）
A.9种 B.12种 C.20种 D.30种
【答案】B
【分析】根据题意分3个不同的数中不含3和6，取出的3个不同的数中含有3不含有6，取出的3个不同的数中含有6不含有3，取出的3个不同的数中含有3和6时四种情况研究即可．
【详解】①当取出的3个不同的数中不含3和6时，显然它们的积不可能是3的倍数，不符合题意；
②当取出的3个不同的数中含有3不含有6时，它们的积一定是3的倍数，
但只有当另外2个数是，，，，，时，
它们的和才是3的倍数，共有6种取法；、
③当取出的3个不同的数中含有6不含有3时，它们的积一定是3的倍数，
但只有当另外2个数是，，，，，时，
它们的和才是3的倍数，也有6种取法；
④当取出的3个不同的数中含有3和6时，它们的积一定是3的倍数，
但它们的和一定不是3的倍数，不符合题意．
综上，它们的积与和都是3的倍数的不同取法有（种），
故选：B．
【易错警示】
解决数字问题和涂色问题，注意分类讨论思想的应用．．
【复盘训练】
（23-24高三上·重庆·阶段练习）
14．已知集合，且，用组成一个三位数，这个三位数满足“十位上的数字比其它两个数位上的数字都大”，则这样的三位数的个数为（ ）
A．14 B．17 C．20 D．23
（23-24高二上·山东德州·阶段练习）
15．中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造．如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成个区域，每个区域分别印有数字，，，，现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域如区域与区域所涂颜色相同．若有种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（ ）
A．种 B．种
C．种 D．种
（23-24高三上·上海闵行·期末）
16．用黑白两种颜色（都要使用）给正方体的6个面涂色，每个面只涂一种颜色。如果 一种涂色方案可以通过重新摆放正方体，变为另一种涂色方案，则这两种方案认为是相同的。（例如：a.前面涂黑色，另外五个面涂白色; b.上面涂黑色，另外五个面涂白色是同一种方案）则涂色方案一共有 种。
（23-24高二上·河南驻马店·期末）
17．已知，则关于的方程有实数解的有序数对的个数为 .
（23-24高二下·江苏·课前预习）
18．用6种不同颜色的粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的粉笔，则该板报共有多少种不同的书写方案？
（23-24高二上·山东德州·阶段练习）
19．用5种不同的颜色对一个四棱锥各个顶点着色，若由同一条棱连接的两个顶点不能着相同的颜色，则不同的着色方法有 .（用数字作答）
（23-24高二上·甘肃·期末）
20．“莺啼岸柳弄春晴，柳弄春晴夜月明：明月夜晴春弄柳，晴春弄柳岸啼莺.”这是清代女诗人吴绛雪的一首回文诗，“回文”是汉语特有的一种使用语序回环往复的修辞手法，而数学上也有类似这样特征的一类“回文数”，如232，251152等，那么在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是偶数的“回文数”共有 个.
（23-24高二下·江苏·课前预习）
21．在所有的两位数中，个位数字小于十位数字且为偶数，那么这样的两位数有多少个？
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】利用分步乘法计数原理进行求解.
【详解】3个年级段均有4种选择，故不同的选择方法有种.
故选：C
2．C
【分析】根据题意，经过2次传到乙有“甲一丙一乙”1种方式，经过2次传到丙有“甲一乙一丙”1种方式，进而得到3次传给甲的情况，得到答案.
【详解】经过3次传到甲，必定经过2次传到乙或丙，且经过2次传到乙或丙的方式种数相等，
经过2次传到乙有“甲一丙一乙”1种方式，经过2次传到丙有“甲一乙一丙”1种方式，
所以经过3次传到甲共有2种传递方式.
故选：C.
3．A
【分析】
利用两个计数原理，先分类再分步即可求解．
【详解】
先涂，有4种选择，接下来涂，有3种选择，再涂,有2种选择，
① 当,颜色相同时涂色方法数是：，
② 当,颜色不相同时涂色方法数是：，
满足题意的涂色方法总数是：．
故选：A．
4．C
【分析】分类讨论即可求解.
【详解】，
由于中所有元素之和为奇数，且非空集合，
当中只有一个元素时，则或或，
当中有2个元素时，则中的元素必为一偶一奇，故有个满足条件的，
当中有3个元素时，则中的元素必为2偶一奇或者三个元素均为奇数，故有4个满足条件的，
当中有4个元素时，则中的元素必为一偶3奇，故有2个满足条件的，
当中有5个元素时，则满足条件，
故共有，
故选：C
5．D
【分析】结合分类、分步计数原理计算出正确答案.
【详解】王老师有3种水果，李老师有4种水果．其中苹果是重复的．所以应该先分类后分步．
第一类，如果小华在王老师那里拿到苹果，
那么在李老师那里只能从剩下3种水果中拿，共有（种）情况．
第二类，如果小华在王老师那里拿到的不是苹果，那么就有2种情况，
在李老师那里有4种情况，共有（种）情况．
根据分类加法计数原理，得小华拿到两种不同水果总共有（种）情况．
故选：D
6．D
【分析】根据分步分类计数原理即可求解.
【详解】中途共三次转向可以分为两类:
第一类，第一次向右转，第二次向上转，第三次向右转，此时有种方法，
第二类，第一次向上转，第二次右转，最后向上转，此时共有种方法.
故总的方法有24种，
故选：D.
7．ABC
【分析】根据分类计数原理和分步计数原理依次讨论各选项即可求解.
【详解】解：选项A，分三类：取老师有3种选法，取男生有8种选法，取女生有5种选法，故共有种选法，故A正确；
选项B，分三步：第一步选老师，第二步选男生，第三步选女生，
故共有种选法，故B正确；
选项C，分两步：第一步选老师，第二步选学生，第二步，又分为两类：第一类选男生，第二类选女生，故共有种选法，故C正确；
选项D，若需3名老师和1名学生参加，则有13种不同选法，故D错误.
故选：ABC.
8．AD
【分析】利用分类加法计数原理可判断A选项的正误；利用分步乘法计数原理可判断B选项的正误；利用分类加法计数和分步乘法计数原理可判断C选项的正误；利用间接法可判断D选项的正误.
【详解】对于A，个数学课外兴趣小组共有（人），故选人为负责人的选法共有种，A对；
对于B，分四步：第一、二、三、四步分别为从第一、二、三、四组中各选名组长，
所以不同的选法共有（种），B错；
对于C，分六类：从第一、二组中各选人，有种不同的选法；
从第一、三组中各选人，有种不同的选法；
从第一、四组中各选人，有种不同的选法；
从第二、三组中各选人，有种不同的选法；
从第二、四组中各选人，有种不同的选法；
从第三、四组中各选1人，有种不同的选法.
所以不同的选法共有（种），C错；
对于D，若不考虑限制条件，每个人都有种选法，共有种选法，
其中第一组没有人选，每个人都有种选法，共有种选法，
所以不同的选法有（种），D对.
故选：AD．
9．AD
【分析】利用分类计数原理即可得解.
【详解】当时，分四步：
第一步，涂处，有3种涂色方案；第二步，涂处，有2种涂色方案；
第三步，涂处，有2种涂色方案；第四步，涂处，有1种涂色方案.
所以不同的涂色方法共种数为，所以，故A正确；
当时，分四步：
第一步，涂处，有4种涂色方案；第二步，涂处，有3种涂色方案；
第三步，涂处，有3种涂色方案；第四步，涂处，有2种涂色方案.
所以不同的涂色方法共种数为，所以，故B错误；
当时，分四步：
第一步，涂处，有5种涂色方案；第二步，涂处，有4种涂色方案；
第三步，涂处，有4种涂色方案；第四步，涂处，有3种涂色方案.
所以不同的涂色方法共种数为，所以，故C错误；
当时，分四步：
第一步，涂处，有6种涂色方案；第二步，涂处，有5种涂色方案；
第三步，涂处，有5种涂色方案；第四步，涂处，有4种涂色方案.
所以不同的涂色方法共种数为，所以，故D正确.
故选：AD.
10． 6 18
【分析】第一空：直接由分步乘法计数原理即可得解，第二空：分，是否同色讨论，结合分类加法计数原理以及分步乘法计数原理即可得解.
【详解】（1）先种植部分，有3种不同的种植方法，再种植，部分．
因为，与的颜色不同，，的颜色也不同，
所以由分步乘法计数原理得，不同的种植方法有（种）．
（2）当，不同色时，有种种植方法，
当，同色时，有种种植方法，
由分类加法计数原理得，共有种种植方法．
故答案为：6；18.
11．27个
【详解】先考虑等边的情况，有六个，再考虑等腰的情况，若此时c=1与等边重复，若则c=1,3有两个，若则c=1,2,4,5有四个，若则c=1,2,3,5,6五个，若则c=1,2,3,4,6五个，若则c=1,2,3,4,5五个，故一共有27种
12．260
【分析】
因A，B，C，D 4块图形中，块与块不共边，B块与D块不共边，故可就块与块将其分成A，C同色与不同色两类情况考虑，在每一类中，考虑根据分步乘法计数原理按顺序涂色,最后利用分类加法计数原理即得.
【详解】
本题的解法可按照顺序涂色，因块与块不共边，故可分成A，C同色与不同色两类情况.
第一类，A，C颜色相同，则A有5种涂色方法，B有4种涂色方法，D有4种涂色方法，
由分步乘法计数原理知，共有种涂法；
第二类，A，C颜色不同，则A有5种涂色方法，C有4种涂色方法，B有3种涂色方法，D也有3种涂色方法（因B块与D块不共边），
由分步乘法计数原理知，共有种涂法．
根据分类加法计数原理，共有种不同的涂色方案．
13．(1)720
(2)420
【分析】（1）按照千位，百位，十位，个位的顺序，利用分布乘法计数原理即可求；
（2）个位数字可能为0，2，4，6，有四种情况，利用分类加法计数原理即可求.
【详解】（1）第一步：千位不能为0，有6种选择；
第二步：百位可以从剩余数字中选，有6种选择；
第三步：十位可以从剩余数字中选，有5种选择；
第四步：个位可以从剩余数字中选，有4种选择．
根据分步计数原理，能组成个没有重复数字的四位数．
（2）第一类：当个位数字是0时，没有重复数字的四位数有个；
第二类：当个位数字是2时，千位不能为0，没有重复数字的四位数有个；
第三类：当个位数字是4时，千位不能为0，没有重复数字的四位数有个；
第四类：当个位数字是6时，千位不能为0，没有重复数字的四位数有个．
根据分类计数原理．能组成个没有重复数字的四位偶数．
14．C
【分析】分类求解符合条件的三位数的个数即可.
【详解】集合，且，
则这个三位数满足“十位上的数字比其它两个数位上的数字都大”包含以下三种情况：
①十位数是，则百位数可以是中的一个数，个位数可以是中的一个数，即个；
②十位数是，则百位数可以是中的一个数，个位数可以是中的一个数，即个；
③十位数是，则百位数只能是，个位数可以是中的一个数，即个；
综上，符合条件的共有个.
故选：C.
15．B
【分析】确定区域，，，的颜色，分区域与区域涂的颜色是否相同两种情况讨论，进而可得出答案.
【详解】由题意可得，只需确定区域，，，的颜色，即可确定整个伞面的涂色．
先涂区域，有种选择，再涂区域，有种选择，
当区域与区域涂的颜色不同时，区域有种选择，剩下的区域有种选择；
当区域与区域涂的颜色相同时，剩下的区域有种选择，
故不同的涂色方案有种．
故选：B．
16．8
【分析】
根据题意，采用分步加法计数原理求出符合条件的即可.
【详解】两种颜色类型的，有种；
类型的，有种（两个面相邻、相对）
类型的，有2种（三个面有公共顶点或者没有公共顶点）
因此共有8种.
故答案为：8.
17．12
【分析】分是否为0判断即可.
【详解】①当时，取范围内任一实数均有实数解，此时有4对；
②当时，有解则满足，即，
当时，可取的值有、0、2、3，
当时，可取的值有、0，
当时，可取的值有、0，
共有12对.
故答案为：12.
18．600
【分析】根据分步计数原理将问题分成四步，分别求得每一步的选法进行相乘可得结果.
【详解】完成这件事可分四步：
第一步，“英语角”用的粉笔颜色有6种不同的选法；
第二步，“语文学苑”用的粉笔颜色不能与“英语角”用的粉笔颜色相同，有5种不同的选法；
第三步，“理综世界”用的粉笔颜色与“英语角”和“语文学苑”用的粉笔颜色都不相同，有4种不同的选法；
第四步，“数学天地”用的粉笔颜色只要与“理综世界”用的粉笔颜色不同即可，有5种不同的选法.
由分步计数原理知，该板报共有6×5×4×5＝600（种）不同的书写方案.
19．
【分析】利用分步乘法原理和分类加法原理求解即可，即先依次给点P，A，B涂色，再分C与A颜色相同和C与A颜色不相同，给C，D涂色即可.
【详解】设四棱锥为，则由题意，点P，A，B分别有5，4，3种涂法，当C与A颜色相同时，C有1种涂色方法，
此时D有3种涂色方法，
当C与A颜色不相同时，C有2种涂色方法，此时D有2种涂色方法，
故此时共有种涂色方法，
故答案为：
20．225
【分析】
根据给定的信息，确定五位正整数中的“回文数”特征，再分别求出各位上的种数，先用乘法原理求出各类种数，再由加法原理即得.
【详解】依题意，五位正整数中 “回文数”具有：
万位与个位数字相同，且不为0，千位与十位数字相同，
求有且仅有两位数字是偶数的“回文数”的个数有两类办法：
第一类：万位数字为偶数且不为0有4种，千位选一个奇数有5种，
百位选一个奇数有5种，
不同 “回文数”的个数为个，
第二类：万位数字为奇数有5种，千位选一个偶数有5种，百位选一个奇数有5种，
不同 “回文数”的个数为，
由分类加法原理得，
在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是偶数的“回文数”共有：个.
故答案为：225
21．25
【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理求解即得.
【详解】当个位数字是8时，十位数字取9，只有1个；
当个位数字是6时，十位数字可取7，8，9，共3个；
当个位数字是4时，十位数字可取5，6，7，8，9，共5个；
同理可知，当个位数字是2时，共7个，
当个位数字是0时，共9个.
由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有1＋3＋5＋7＋9＝25（个）.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
第三课 知识扩展延伸
扩展1：选（抽）取与分配问题
例4 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人分别参加相应语种的活动，有多少种不同的选法？
【解】由题意得9人中既会英语又会日语的“多面手”有1人，只会英语的有6人，只会日语的有2人，则可分三类．
第一类：“多面手”去参加英语活动时，选出只会日语的1人即可，有2种选法．
第二类：“多面手”去参加日语活动时，选出只会英语的1人即可，有6种选法．
第三类：“多面手”既不参加英语活动又不参加日语活动，则需从只会日语和只会英语的人中各选1人参加活动，有（种）选法．
故共有（种）不同的选法．
【方法总结】选（抽）取与分配问题的常见类型及其解法：
（1）当涉及对象数目不大时，一般选用列举法、树形图法或者图表法．
（2）当涉及对象数目很大时，一般有两种方法．
①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若按对象特征抽取的，则按分类进行．
②间接法：去掉限制条件计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可．
“多面手”问题一般是按“多面手”是否入选、入选哪一类活动进行分类讨论，必要时可借助集合中的Venn图帮助理解、分析．
【举一反三1-1】
1．有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则不同的监考方法有
A．8种 B．9种 C．10种 D．11种
【举一反三1-2】
2．5人排一个5天的值日表，每天排一人值日，每人可以排多天或不排，但相邻两天不能排同一人，值日表排法的总数为（ ）
A．120 B．324 C．720 D．1280
【举一反三1-3】（多选）[湖北鄂东南联盟2022高二期中]
3．现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁、戊五个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（ ）
A．所有可能的方法有种
B．若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有61种
C．若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有20种
D．若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有60种
【举一反三1-4】
4．在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围棋，现在从7人中选2人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？
扩展2：用计数原理解决组数问题
例5 用0，1，2，3，4五个数字，
（1）可以排出多少个三位数字的电话号码？
（2）可以排成多少个三位数？
（3）可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？
【解】（1）三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共可排出（个）三位数字的电话号码．
（2）三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑百位的排法，除0外共有4种排法，十位、个位都可以排0，各有5种排法，因此，共可排成（个）三位数．
（3）能被2整除的数即偶数，个位数字可取0，2，4，因此，可以分两类，一类是个位数字是0，则有（种）排法；另一类是个位数字不是0，则个位有2种排法，即2或4，再排首位，因为0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有（种）排法．因而共有（种）排法，即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数．
【方法总结】组数问题的常见类型及解决原则：
（1）常见的组数问题
①组成的数为“奇数”“偶数”“被某数整除的数”；②在某一定范围内的数的问题；③各位数字和为某一定值问题；④各位数字之间满足某种关系的问题等．
（2）解决原则
①明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键．一般按特殊位置（末位或首位）由谁占领分类，分类中再按特殊位置（或特殊元素）优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法求解．②要注意数字“0”不能排在两位数或两位以上的数的最高位．
【举一反三2-1】
5．由组成的无重复数字的五位偶数共有
A．个 B．个 C．个 D．个
【举一反三2-2】 [湖南长沙2022高二期末]
6．从数字1，2，3，4中取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6，则这样的三位数的个数为（ ）
A．7 B．9 C．10 D．13
【举一反三2-3】 [黑龙江齐齐哈尔八中2022高二期中]
7． 由数字0，1，2，3，4，5可以组成无重复数字且奇偶数字相间的六位数的个数有
A．72 B．60 C．48 D．52
【举一反三2-4】[北京汇文中学2022高二期中]
8．用1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位数，其中比2000大的偶数共有（ ）
A．16个 B．12个 C．9个 D．8个
扩展3：用计数原理解决涂色（种植）问题
例6 如图，用四种不同的颜色给图中的，，，，，，七个点涂色，要求每个点一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有（ ）
A.192种 B.336种 C.600种 D.624种
【解析】由题意可知，点，，分别有4，3，2种涂法．
（1）当与相同时，有1种涂色方法，此时有2种涂色方法．
①若与相同，则有1种涂色方法，此时有3种涂色方法；
②若与不同，则有1种涂色方法，此时有2种涂色方法．
故此时共有（种）涂色方法．
（2）当与相同时，有1种涂色方法．
①若与相同，则有1种涂色方法，此时有2种涂色方法，有1种涂色方法；
②若与不同，则有2种涂色方法．
（ⅰ）若与相同，则有1种涂色方法，有2种涂色方法；
（ⅱ）若与不同，则有1种涂色方法，有1种涂色方法．
故此时共有（种）涂色方法．
（3）当既不同于又不同于时，有1种涂色方法．
①若与相同，则有1种涂色方法，
（ⅰ）若与相同，则有1种涂色方法，有2种涂色方法；
（ⅱ）若与不同，则有1种涂色方法，有1种涂色方法．
②若与不同，则有1种涂色方法，
（ⅰ）若与相同，则有1种涂色方法，此时有2种涂色方法；
（ⅱ）若与不同，则必与相同，有1种涂色方法，此时有2种涂色方法．
故此时共有（种）涂色方法．
综上，共有（种）涂色方法．故选C．
【答案】C
【方法总结】涂色问题的两种解决方案：
（1）选择正确的涂色顺序，按步骤逐一涂色，这时用分步乘法计数原理进行计算．若图形不是很规则，往往从某一区域开始进行涂色，选用分步乘法计数原理；如果图形具有一定的对称性，那么先对涂色方案进行分类，对每一类再进行分步．
（2）首先根据涂色时所用颜色数的多少，进行分类处理．然后在每一类的涂色方案的计算上需用到分步乘法计数原理．最后根据分类加法计数原理对每一类的涂色方法数求和即得到最终涂色方法数．
对于涂色（立方体）问题将空间问题平面化，转化为平面区域涂色问题．
【举一反三3-1】
9．如图，将一个四棱锥的每一个面染上一种颜色，使每两个具有公共棱的面染成不同颜色，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为（ ）
A．36 B．48 C．72 D．108
【举一反三3-2】 [河北石家庄2022高二期中]
10．某社区新建了一个休闲小公园，几条小径将公园分成5个区域，如图．社区准备从4种颜色不同的花卉中选择若干种种植在各个区域中，要求每个区域种植一种颜色的花卉，且相邻区域（有公共边的）所种花卉颜色不能相同，则不同种植方法的种数共有（ ）
A．96 B．114 C．168 D．240
【举一反三3-3】
11．如图为并排的4块地，现对4种不同的农作物进行种植试验，要求每块地种植1种农作物，相邻地块不能种植同一种农作物且4块地全部种上农作物，则至少同时种植3种不同农作物的种植方法种数为（ ）
① ② ③ ④
A．24 B．80 C．72 D．96
【举一反三3-4】 [江苏苏州中学2021高二月考]
12．现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色（分割成六个不同部分），要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的两个区域）的颜色不同，则不同的涂色方案有 种.（用数字作答）.
（2023·广东广州·模拟预测）
13．小明在某一天中有七个课间休息时段，为准备“小歌手”比赛他想要选出至少一个课间休息时段来练习唱歌，但他希望任意两个练习的时间段之间都有至少两个课间不唱歌让他休息，则小明一共有（ ）种练习的方案.
A．31 B．18 C．21 D．33
（上海·高考真题）
14．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（　　）
A．48 B．18 C．24 D．36
（全国·高考真题）
15．同室人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则张贺年卡不同的分配方式有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
（全国·高考真题）
16．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有（ ）
A．10种 B．20种 C．25种 D．32种
（全国·高考真题）
17．在直角坐标系中，已知三边所在直线的方程分别为，则内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（ ）
A．95 B．91 C．88 D．75
（全国·高考真题）
18．将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ）
A．6种 B．9种 C．11种 D．23种
（全国·高考真题）
19．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网络联系，连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（　　）

A．26 B．24 C．20 D．19
（全国·高考真题）
20．将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
（北京·高考真题）
21．从0，1，2，3这四个数中选三个不同的数作为函数的系数，可组成不同的一次函数共有 个，不同的二次函数共有 个．（用数字作答）
（全国·高考真题）
22．圆周上有个等分点，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 ．
（1999·全国·高考真题）
23．在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄.为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有 种.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】设四位监考教师分别为，所教班分别为，分类讨论，利用分类计数原理，即可求解．
【详解】设四位监考教师分别为，所教班分别为，假设A监考b，则余下三人监考剩下的三个班，共有3种不同方法，同理A监考c，d时，也分别有3种不同方法，由分类加法计数原理，共有3＋3＋3＝9(种)不同的监考方法，故选B．
【点睛】本题主要考查了计数原理的应用，其中解答中认真审题，合理分类，利用分类计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
2．D
【分析】利用分步乘法计数原理计算即可.
【详解】第一天可以排5个人中的任意一个，有5种排法；
第二天可以排另外4个人中任意一个，有4种排法；
第三天同上，有4种排法；
第四天同上，有4种排法；
第五天同上，有4种排法．
根据分步乘法计数原理得所有的排法总数为．
故选:D．
3．BD
【分析】由分步计数乘法原理，结合特殊元素优先考虑原则逐项分析，计算作答.
【详解】对于A，每名同学有5种选择方法，则所有可能的方法有种，A不正确；
对于B，由选项A知，所有可能的方法有种，工厂甲没有同学去的方法有种，
所以工厂甲必须有同学去的不同的安排方法有种，B正确；
对于C，同学A必须去工厂甲，则同学B，C的安排方法有种，C不正确；
对于D，三名同学所选工厂各不相同的安排方法有种，D正确.
故选：BD
4．18种
【分析】选参加象棋比赛的学生有两种方法：在只会下象棋的3人中选或在既会下象棋又会下围棋的2人中选；选参加围棋比赛的学生也有两种选法：在只会下围棋的2人中选或在既会下象棋又会下围棋的2人中选，可得四类不同的选法，根据分类分步计数原理得出结果.
【详解】选参加象棋比赛的学生有两种方法：在只会下象棋的3人中选或在既会下象棋又会下围棋的2人中选；选参加围棋比赛的学生也有两种选法：在只会下围棋的2人中选或在既会下象棋又会下围棋的2人中选．互相搭配，可得四类不同的选法．
从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛有3×2＝6种选法；
从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛有3×2＝6种选法；
从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛有2×2＝4种选法；
2名既会下象棋又会下围棋的学生分别参加象棋比赛和围棋比赛有2种选法．
∴共有6＋6＋4＋2＝18种选法．
5．B
【详解】分两类：一、若五位数的个位数是，则有种情形；
二、若五位数的个位数是，由于不排首位，因此只有有种情形，中间的三个位置有种情形，依据分步计数原理可得种情形．
由分类计数原理可得所有无重复五位偶数的个数为，应选答案B ．
6．C
【分析】根据各位数字之和等于6的所有可能情况，①1，1，4，②1，2，3，③2，2，2三种情况分别讨论求和即可
【详解】其中各位数字之和等于6的三位数可分为以下情形：
①由1，1，4三个数字组成的三位数：114，141，411共3个；
②由1，2，3三个数字组成的三位数：123，132，213，231，312，321共6个；
③由2，2，2三个数字可以组成1个三位数，即222．
共有个，
故选：C．
7．B
【分析】根据题意，分为首位为奇数和首位是偶数，两种情况，结合排列数公式和分类计数原理，即可求解.
【详解】当首位为奇数时，则奇数位上都是奇数才能满足题意，这样三个位奇数在三个奇数位置排列，
三个偶数在三个偶数位置排列共有种结果，
当首位是偶数时，三个奇数在偶数位置排列，三个偶数有两个利用排在首位，
共有种结果，
根据分类计数原理可以得到共有种结果.
故选：B．
8．D
【分析】利用分类计数原理分类讨论计算即可.
【详解】比2000大，故千位为2，3，4，
若千位为2，则个位为4，有（个）符合题意的四位数；
若千位为3，则个位为2或4，有（个）符合题意的四位数；
若千位为4，则个位为2，有（个）符合题意的四位数．
根据分类加法计数原理得，一共有（个）符合题意的四位数．
故选:D．
9．C
【分析】对面与面同色和不同色进行分类，结合分步乘法计算原理，即可得出答案.
【详解】当面与面同色时，面有4种方法，面有3种方法，面有2种方法，面有1种方法，面有2种方法，即种
当面与面不同色时，面有4种方法，面有3种方法，面有2种方法，面有1种方法，面有1种方法，即种
即不同的染色方法总数为种
故选：C
【点睛】本题主要考查了计数原理的应用，属于中档题.
10．C
【分析】依据分步乘法计数原理和分类加法计数原理即可求得不同种植方法的种数.
【详解】先在a中种植，有4种不同的种植方法，再在b中种植，有3种不同的种植方法，
再在c中种植，分两类：
第一类：若c与b同色，则d中有3种不同的种植方法，
第二类：若c与b不同色，则c中有2种不同的种植方法，d中有2种不同的种植方法，
最后在e中种植，有2种不同的种植方法.
所以不同种植方法的种数共有（种）．
故选：C．
11．D
【分析】先分同时种植4种农作物和3种农作物两种情况，再按排列或组合及计数原理进行求解.
【详解】至少同时种植3种不同农作物可分两种情况：
第一种，种植4种农作物，有种不同的种植方法；
第二种，种植3种农作物，则有2块不相邻的地种植同一种农作物，
有①③、②④、①④这三种情况，每一种情况都有种不同的种植方法．
则至少同时种植3种不同农作物的种植方法有种．
故选：D.
12．
【解析】根据题意，假设正五角星的区域依此为、、、、、，分析6个区域的涂色方案数，再根据分步计数原理计算即可.
【详解】根据题意，假设正五角星的区域依此为、、、、、，如图所示：
要将每个区域都涂色才做完这件事，由分步计数原理，先对区域涂色有3种方法，
、、、、这5个区域都与相邻，每个区域都有2种涂色方法，
所以共有种涂色方案.
故答案为：
【点睛】方法点睛：涂色问题常用方法：
(1)根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域染色问题的基本方法；
(2)根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种情形的种数，再用分类计数原理求出不同的涂色方法种数；
(3)根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论.从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用分类计数原理求出不同涂色方法总数.
13．B
【分析】根据练习唱歌的课间个数进行分类讨论，利用列举法来求得正确答案.
【详解】七个课间编号为，
如果仅有一个课间练习，则每个课间都可以，有7种方案，
若有两个课间练习，选法有，
共种方案，
三个课间练习，选法为，共种，
故总数为种.
故选：B
14．D
【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理列式计算作答.
【详解】正方体的两个顶点确定的直线有棱、面对角线、体对角线，
对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有（个）；
对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个，
不存在四个顶点确定的平面与体对角线垂直，
所以正方体中“正交线面对”共有（个）.
故选：D
15．B
【分析】
设四人分别为,写的卡片分别为,从开始分析,易得有三种拿法,假设拿了,再分析的取法数目,剩余两人只有种取法,由分步计数原理,计算可得答案.
【详解】
设四人分别为,写的卡片分别为,由于每个人都要拿别人写的卡片,即不能拿自己写的卡片,
故有种拿法,不妨设拿了,则可以拿剩下张中的任一张,也有3种拿法,和只能有一种拿法,
所以共有种分配方式.
故选：B.
16．D
【分析】由分步乘法原理计算．
【详解】由题意，每个同学有2种选择，故不同报名方式为.
故选：D
17．B
【分析】首先确定以为对角线的矩形中整点的个数，再确定上的整点数，最后根据对称性求出△中整点的个数.
【详解】由题设，直线分别交x、y轴于、，

以高为10，宽为15的矩形内（含边）整数点有176个，其中直线上的整数点有、、、、、，共6个，
所以，矩形对角线两侧的三角形中整点的个数为个，
综上，△中整点的个数为个.
故选：B
18．B
【分析】第一步，把1填入方格中，第二步，把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，然后填余下的两个数字，即可求解.
【详解】先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，
第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；
第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，
故选：B．
19．D
【分析】
根据分类加法计数原理计算．
【详解】
由题图可知，从A到B有4种不同的传递路线，各路线上单位时间内通过的最大信息量自上而下分别为3，4，6，6，
由分类加法计数原理得，单位时间内传递的最大信息量为.
故选：D．
20．A
【详解】【思路点拨】先排第一列三个位置,再排第二列第一行上的元素,则其余元素就可以确定了.
解:先排第一列,由于每列的字母互不相同,因此共有3×2×1种不同的方法;再排第二列,其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法,第二列第二、三行的字母只有1种排法,因此共有3×2×1×2=12(种)不同的方法.
21． ； .
【分析】根据一次函数和二次函数的定义，结合乘法计数原理进行求解即可.
【详解】因为只有当且时，函数才是一次函数，
所以可组成不同的一次函数共有；
因为只有当时，函数才是二次函数，
所以可组成不同的二次函数共有，
故答案为：；
22．
【分析】只有三角形的一条边为直径才能组成直角三角形,第一步选直径共有种方法，第二步选直角顶点有种，根据分步计数原理相乘即可.
【详解】由题意知,只有三角形的一条边过圆心,才能组成直角三角，
因为圆周上有 个等分，所以共有条直径，
每条直径可以和除去本身的两个端点外的点组成直角三角形，所以可做个直角三角形.
根据分步计数原理知,共有 个
故答案为:.
23．12
【分析】由题意知要求 两种作物的间隔不小于6垄，根据这是一块一块并排 10 垄的田地 , 看出间隔可以是6垄时，间隔可以是7垄时，间隔可以是 8 垄时，写出三种不同情况下的结果，根据分类计数原理得到结论 .
【详解】A种植在左边第一垄时，B有3种不同的种植方法；A种植在左边第二垄时，B有2种不同的种植方法；A种植在左边第三垄时，B只有1种种植方法.B在左边种植的情形与上述情形相同.故共有2×(3＋2＋1)＝12(种)不同的选垄方法.
故答案为：12
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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