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中考复习——二次函数动态几何问题
一、解答题
1． 如图，在中，．点P从点A出发，以的速度沿运动；同时，点Q从点B出发，以的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设动点运动的时间为．
（1）试写出的面积与之间的函数表达式；
（2）当t为何值时，的面积最大 最大面积是多少
2．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果点分别从点同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间为ts．
（1）　 　，　 　（用t的代数式表示）
（2）经过多长时间，的面积等于？
（3）当移动时间 ▲ s时，四边形的面积最小？
3．如图的图像交x轴于点，交反比例函数的图像于点B（1，m）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点D为反比例函数图象第一象限上B点下方一个动点，过点D作轴交线段AB于点C，连接AD，求的面积的最大值．
4．如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点E是抛物线的对称轴与直线BC的交点，点F是抛物线的顶点，求EF的长；
（3）设点P是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足的点P？如果存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一边OC在轴正半轴上，顶点的坐标为是边OC上的动点，过点作OB交边OA于点，作交边BC于点，连结EF，设的面积为.
（1）求关于的函数表达式.
（2）当取何值时，的值最大？请求出最大值.
6． 如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，点与点关于轴对称，点是轴上的一个动点，设点的坐标为，过点作轴的垂线交抛物线于点．
（1）求点，点，点的坐标；
（2）求直线的解析式；
（3）在点的运动过程中，是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过原点，且顶点坐标为（2，-4）.
（1）求抛物线的解析式
（2）如图（1），B是抛物线与x轴的另一交点，将线段AB绕地物线顶点A逆时针旋转90°得到线段AC，若AQ平分∠OAC交抛物线于点Q.求点Q的坐标；
（3）如图（2），过点H（1，0）作PH⊥x轴交抛物线于点P，E，F为抛物线上量两动点（点E在点P左侧，点F在点P右侧），直线PE，PF分别交x轴于点M，N.若HM·HN=3，求证：直线EF过一个定点.
8．在平面直角坐标系xOy中，等腰直角△ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．
（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．
（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．
①求△CMN面积的最小值．
②已知物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，请直接写出点P的坐标及直线l的解析式；若不存在，请说明理由．
9．如图，在矩形中，，t为正数，点E是的中点，点P是线段上的一个动点（不与点A重合），点Q是的延长线上的一个动点（不与点C重合），且，连接，，与交于点O．设，的面积为，的面积为，并设．
（1）嘉淇认为，能用含有x的式子表示S，她的推理过程如下，请你补充完整：
∵，
且 ▲ （用含x和t的式子表示），
▲ （用含x和t的式子表示），
∴ ▲ （用含x的式子表示）．
（2）若，当时，求的长度（即x的值）；
（3）若，请结合t值的不同范围，写出的长度是多少？（结合表格进行分析，直接填写表格下面的三个空即可）
① ▲ ；②▲1处填写： ▲ ；③▲2处填写： ▲ ．
10．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，过，A、B两点的抛物线交x轴于另一点C，且OA=2OC，点F是直线AB下方抛物线上的一个动点，连接FA、FB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点F与抛物线的顶点重合时，△ABF的面积为 　 　；
（3）求四边形FAOB面积的最大值及此时点F的坐标；
（4）在（3）的条件下，点Q为平面内y轴右侧的一点，是否存在点Q及平面内另一点M，使得以A、F、Q、M为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：由题意得：，
＝；
即；
（2）解：∵，
∴当时，的面积最大，最大值是
【解析】【分析】（1）根据二次函数的实际应用，设未知数，根据三角形的面积公式列二次函数即可；
（2）将二次函数的解析式化为顶点式，即可求出最值.
2．【答案】（1）；
（2）解：∵，，
∴，
即，
解方程得，，，
∴经过或时，的面积等于；
（3）解：要使四边形的面积最小，即的面积要最大，
由（2）得
，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为9，
∴当时，四边形的面积最小．
故答案为：3．
【解析】【解答】解：设点运动的时间为，
∴，，则.
故答案为：，；
【分析】（1）根据题意列出代数式即可；
（2）由（1）得，，根据三角形面积公式，列出方程，计算求解即可；
（3）由（2）得，利用二次函数的性质求得的最大值，此时四边形的面积最小，计算求解即可.
3．【答案】（1）解：把点代入，得，
∴一次函数的解析式为，
把点B（1，m）代入，得，
∴点B的坐标为（1，8），
把点B（1，8）代入，得，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：设点C的坐标为，
由于轴，所以点D的纵坐标为，
∴点，
，
∴当时，，
答：的最大值为．
【解析】【分析】（1）先求出点B的坐标，再将点B的坐标代入求出k的值即可；
（2）设点C的坐标为，则，再求出，最后利用二次函数的性质分析求解即可.
4．【答案】（1）解：如图1，
∵抛物线与x轴的两个交点分别为，，
∴解得：
∴所求抛物线的解折式为：
（2）解：由（1）知，该抛物线的解析式为：，则．
又∵，
∴．
设直线BC的解析式为．
把代入，得，
解得，则该直线解折式为：．
故当时，，即．
∴．即；
（3）解：设点P的坐标为．由题意，得
∴，∴．
当时，，
∴，
当时，，
∴，
∴当P点的坐标分别为、、、时，．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法将，，代入抛物线解析式中，即可求出抛物线解析式；
（2）由（1）知，该抛物线的解析式为：，则．将抛物线解析式改写为顶点式即可求出点F的坐标，设直线BC的解析式为．把点B的坐标代入直线解析式即可得到直线BC的解析式，进而可求出点E的坐标，即可求出EF的长度；
（3）设点P的坐标为．由题意，得，据此可知需分两种情况讨论，①当时，②当时，分别可求出x的值，即可求解.
5．【答案】（1）解：如图，延长交轴于点，
四边形是菱形，
，，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
.
（2）解：，
当时，有最大值.
【解析】【分析】(1)由点A坐标可判定在直角三角形AOG中，再利用菱形的性质证得是等边三角形，然后利用平行线的性质判定，进而通过相似三角形的性质表示出DF的边长，接着由三角形的面积公式求得关于的函数表达式.
(2)将(1)中的函数解析式化为顶点式，通过函数性质求得当时，有最大值.
6．【答案】（1）解：当时，，即点坐标为；
当时，即，
解得，
即
（2）解：∵点与点关于轴对称，
．
设直线的解析式为，
将点坐标代入解析式，
得解得
∴直线的解析式为y=x-2
（3）解：存在．∵点的坐标为轴交抛物线于点，
∴点的坐标为．
是以为直角边的直角三角形，
①当时，由勾股定理，得，
即，
解得（不符合题意，舍去），
；
②当时，由勾股定理，得，
即，
解得，
或．
综上所述，存在点的坐标为或或，使是以为直角边的直角三角形．
【解析】【分析】（1）根据二次函数与坐标轴的交点的特点，与x轴相交时，y为0，因式分解法解二次函数即可求出点A和B的坐标，与y轴相交时，x为0，代入函数可得点C的坐标；
（2）根据关于直线对称点的特点，已知点C，可直接求出点D的坐标；根据待定系数法求一次函数的解析式，将点B和D代入直线的解析式，列二元一次方程组，代入法解方程即可求出直线的解析式；
（3）根据抛物线上点的特征，已知点P的坐标，可得点Q的坐标；根据直角三角形90°角的位置，分类讨论；根据勾股定理列二次函数，因式分解法解二次函数即可求出点Q的坐标.
7．【答案】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，又抛物线经过原点
，解得.
抛物线的解析式为，即；
（2）解：点是抛物线与轴的另一交点，令，得或，
又，将线段AB绕抛物线顶点逆时针旋转得到线段AC，如图，过点作轴于点，过点作于点，
易知，
，连接OC交AQ于点，
平分，
点为OC的中点，
，又，
可得直线AQ的解析式为，
联立，解得或，
即点的坐标为；
（3）证明：由题意知点的坐标为，
设直线，
设直线，
，
，即，
设直线，由
得，
的坐标为，即，
，同理可得，
由，得，
，
，
即，又，
，即，
即直线经过定点.
8．【答案】（1）解：设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），
在等腰Rt△ABC中，OC垂直平分AB，且AB＝4，
∴OA＝OB＝OC＝2，
∴A（﹣2，0），B（2，0），C（0，﹣2），代入解析式得：
，
解得，，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2；
（2）解：①设直线l的解析式为y＝kx，M（x1，y1），N（x2，y2），
由 ， 可得
∴x1+x2＝2k，x1 x2＝﹣4，
∴，
∴，
∴，
∴当k＝0时2取最小值为4．
∴△CMN面积的最小值为4．
②存在，点P（，﹣），直线l的解析式为y＝（1﹣）x或点P（﹣，﹣），直线l的解析式为y＝（1+）x．
【解析】【解题】（2） ② 设抛物线上存在点P（a，）， 使得点P与点Q关于直线l对称，
可得PO=PQ，
解得：
（不合题意，舍去），
当时，点
线段PQ的中点为
直线l的表达式为：
当时，点
线段PQ的中点为
直线l的表达式为：
综上所述：点直线l的表达式或.
【分析】（1） 设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0）， 由等腰直角三角形的性质以及AB的值求得 OA＝OB＝OC＝2， 从而得到A、B、C三点的坐标，利用待定系数法求得a、b、c的值，即可求解；
（2） ①设直线l的解析式为y＝kx，M（x1，y1），N（x2，y2）， 联立方程组得到 ，利用根与系数的关系得到 ， 再由三角形的面积公式得到 ，从而求解；②设抛物线上存在点P（a，）， 使得点P与点Q关于直线l对称，可得PO=PQ，列出关于m的方程，解得PQ的中点坐标，即可求解.
9．【答案】（1）解：；；；
（2）解：当时，有，
解之，得，．即或而E是的中点，
所以，则．所以．
（3）12；2；2或6
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，AB=t，
∴
∵AP+CQ=8，PA=x，
∴CQ=8-x，
∴= ， =
∵，
∴。
故答案为： ； ；
（3）令，解得：，∵E是的中点，
∴，
，即时，的长度不存在；
，即时，；
，即时，或；
故答案为：①；②2；③2或6
【分析】（1）根据嘉淇的思路，分别用含有x和t的式子表示即可；
（2）当 时， 解方程求出x的值，再由 E是的中点，点P是线段上的一个动点 ，由此确定PA的长度即可；
（3）当S=时，解方程求出x的值，再根据及x的值列出关于t的不等式，确定m的值，再进一步根据t的值的不同范围确定PA的长度。
10．【答案】（1）解：抛物线的解析式为y= x2-x-4
（2）3
（3）解：过点F作FE∥y轴，交AB于点E，设点F的横坐称为t．则F（t，t2-t-4）．
∵直线AB的解析式为y=x-4．
∴E（t，t-4）．
∴S△FEA=OA·EF=×（4-t）×（t-4-t2+t+4）=-t2+4t
∵S△BOA=OA·OB=×4×4=8
∴S四边形EAOB= S△FEA+ S△BOA =-t2+4t+8= -（t-2）2+12（0∴当t=2时，S四边形EAOB有最大值12，此时点F的坐标为（2，-4）。
（4）解：存在，点Q的坐称为（8，-2）或（6，-6）或（5，-3） 或（1，-1）．
【解析】【解答】
（1）解：∵A（4，0），且OA=2OC
∴ C（-2，0）
∵直线y=x+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B
∴ y=x-4
∴ B（0，-4）
设抛物线解析式为y=a（x+2）（x-4），把B（0，-4）代入得：a=
∴抛物线的解析式为y=x2-x-4
（2）当F为抛物线y=x2-x-4的顶点时，则F（1，）
过点F作FE∥y轴，交AB于点E，
∵ A（4，0），B（0，-4）
∴ 直线AB的解析式为y=x-4．
∴E（1，-3）．
∴ EF=
∴S△ABF=OA·EF=×4×=3
（4）如图所示，当AF为边时，四边形AFQM为正方形
过点F作FP⊥x轴于P，过点M作MH⊥x轴于H，过点Q作QK⊥FP于K
∵ A（4，0），由（3）知F（2，-4）
∴ AP=2，PF=4，
∴ AF=
∵ ∠PAF+∠HAM=90°
∠PAF+∠PFA=90°
∠KFQ+∠PFA=90°
∴ ∠HAM=∠PFA= ∠KFQ
∵ ∠AHM=∠FPA=∠QKF=90°，AM=AF=FQ
∴
∴ AH=FP=QK=4，HM=PA=KF=2
∴ OH=8
∴ M（8，-2）Q（6，-6）
∴ M，Q坐标可互换
∴Q （8，-2）或（6，-6）
当AF为对角线时，四边形AQFM为正方形.
过点Q作QP⊥x轴于P，过点M作MH⊥x轴于H，过点F作FK⊥QP于K
过点F作FG⊥x轴于G
∴ 四边形PKFG为矩形
∴ PG=KF
∵ A（4，0），F（2，-4）
∴ AG=2，GF=PK=4，
∵ ∠HAM=∠PQA= ∠KFQ
∵ ∠AHM=∠QPA=∠FKQ=90°，AM=QA=FQ
∴
∴ AH=QP=FK，HM=PA=FQ，HM=PA=KQ
∴ PH=PK=OA
∴ OP=AH=PQ=1，
∴ M（5，-3）Q（1，-1）
∴ M，Q坐标可互换
∴Q （5，-3）或（1，-1）
综上， 点Q为平面内y轴右侧的一点，存在点Q及平面内另一点M，使得以A、F、Q、M为顶点的四边形是正方形，点Q的坐称为（8，-2）或（6，-6）或（5，-3） 或（1，-1）．
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式、动点几何问题。根据函数和点的关系，代入可得函数解析式，注意应用铅锤法求函数内三角形面积及最大值，遇到正方形，求点坐标时，注意一线三等角模型证全等，得线段相等，求出坐标。(1)根据 A（4，0）和OA=2OC得 C（-2，0）；直线 y=x-4则B（0，-4），设抛物线解析式为y=a（x+2）（x-4），则a=；则抛物线的解析式为y=x2-x-4
；（2）顶点F（1，），过点F作FE∥y轴，交AB于点E，直线AB的解析式为y=x-4．则E（1，-3）．得 EF=，则S△ABF=OA·EF=×4×=3；（3）过点F作FE∥y轴，交AB于点E，设点F的横坐称为t．则F（t，t2-t-4）．直线AB的解析式为y=x-4．则E（t，t-4）．则S△FEA=OA·EF=-t2+4t，则S四边形EAOB= -（t-2）2+12（01 / 1

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