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苏教版小升初数学第一轮总复习“立体图形的认识和计算”讲练合集
第2讲：立体图形的计算
知识梳理 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
典型题详解 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
例1 如图，一个长6分米、宽4分米、高2分米的木箱，用三根铁丝捆起来，打结处要用1分米铁丝，铁丝长至少为多少分米
典例剖析
铁丝总长分为两部分，一部分是围绕长方体的铁丝长，另一部分是打结部分的铁丝长。铁丝捆长方体时围绕长方体三次，这三次所用的铁丝长度分别为6×2+2×2,4×2+2×2,4×2+2×2,再加上打结处的铁丝的长。
解：6×2+2×2+4×2+2×2+4×2+2×2+1×3=43(分米)
答：铁丝长至少为43分米。
举一反三练习1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
1.刘老师要用一根长48cm的铁丝，焊接成一个最大的正方体框架做教具。这个正方体框架的每条棱长是多少
2.一种圆柱形商品，现在用彩带对它进行如图包装。已知圆柱的底面直径是10厘米，高为25厘米，打结处用去20厘米，则包装共用去彩带多少分米
例2 一个长方体罐头盒长10厘米，宽8厘米，高6厘米。在它的四周贴上商标纸，这张商标纸的面积至少有多少平方厘米 长方体罐头盒的体积是多少
典例剖析
要求商标纸的面积，就是求长方体罐头盒的表面积去掉上、下底面后剩下的部分，即为长方体罐头盒的侧面积，也就是两个长乘高的积和两个宽乘高的积。而长方体罐头盒的体积可依据公式直接计算。
解：(10×6+8×6)×2=216(平方厘米)
10×8×6=480(立方厘米)
答：这张商标纸的面积至少有216平方厘米，长方体罐头盒的体积是480立方厘米。
举一反三练习2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
1.在一个棱长为10厘米的正方体玻璃缸内装满水，然后将这缸水倒入长20厘米、宽10厘米的长方体玻璃缸内，正好占长方体容积的。求长方体玻璃缸的深度是多少厘米。
2.一个长方体的棱长和是80厘米，它的长是6厘米，宽是5厘米。求这个长方体的表面积和体积。
3.某小学要挖一个长方体蓄水池，这个蓄水池长4米，宽3米，深2米。在它的四周和底面涂上水泥，每平方米用水泥15.2千克，共需水泥多少千克
例3 有一个正方体木块的棱长为10厘米，如果把这个正方体木块切成棱长是5厘米的小正方体(如下图),那么这些小正方体的表面积之和比原正方体的表面积多多少平方厘米
典例剖析
将一个正方体木块切成棱长都相等的几个小正方体，切成的几个小正方体的表面积之和大于原正方体的表面积。像这道题这样，每切一次都增加2个10×10的面，所以此题有以下两种解法。
解法一：先求出被切成的8个小正方体的表面积之和，然后与原正方体的表面积比较。
5×5×6×8-10 ×6=600(平方厘米)
解法二：将正方体木块切开后，原来的6个面仍在外表，而每切一刀，就增加2个新 的大正方形面，共切了3刀，因此共增加了6个大正方形面。
10 ×6=600(平方厘米)
答：这些小正方体的表面积之和比原正方体的表面积多了600平方厘米。
举一反三练习3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
1.填空。
(1)把3个同样大小的正方体拼成一个长方体，则长方体的表面积是一个小正方体表面积的( )倍。
(2)把一根长4米的方木垂直于长锯成5段，表面积增加160平方厘米。原来这根方木的体积是( )立方厘米。
(3)把一个底面半径2分米、长1米的圆木平均截成两段，表面积比原来增加( )平方分米。
2.(1)下图是一个表面积为36平方分米的正方体木块，把它沿虚线切成同样大小的8个小正方体木块，这时表面积增加了多少平方分米
(2)把一个长、宽、高分别是7厘米、6厘米、5厘米的长方体木块截成两个长方体，使这两个长方体的表面积之和最大。这时表面积之和是多少平方厘米
(3)一根长1.5米的圆柱形木料，锯掉4分米长的一段后，表面积减少了50.24平方分米。这根木料原来的体积是多少
例4 一张长方形铁皮长12.56分米，宽5分米。用这张铁皮卷成一个圆柱形铁皮水桶的侧面，另配一个底面制成一个最大的水桶。做这个水桶共用去多少铁皮 这个水桶的最大容积是多少 (接头处忽略不计)
典例剖析
这是立体图形的知识在日常生活中的基本应用。用长方形铁皮卷成水桶，有两种卷法。哪一种卷法容积最大呢 不妨用a,b分别表示长方形的长和宽。
1=πr2h=
或2=πr2h=
由此看来，要使水桶容积最大，就应使其底面半径尽可能大，即以较长的边围成圆柱的底面周长。此题以5分米作高，12.56分米作底面周长。求用铁皮多少平方分米，是求圆柱的表面积(不完全表面积)。
r=12.56÷3.14÷2=2(分米)
12.56×5+3.14×2 =75.36(平方分米)
求最大容积，在忽略铁皮厚度时，容积与体积相等。
3.14×2 ×5=62.8(立方分米)=62.8升
答：做这个水桶共用去75.36平方分米铁皮。这个水桶的最大容积是62.8升。
举一反三练习4 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
1.(1)一个圆锥形沙堆高7.2米，底面周长31.4米，每立方米沙重1.5吨。如果用一辆载重5吨的汽车来运，大约多少次可以运完
(2)把重6660千克的小麦堆成一个圆锥，麦堆高1.5米。已知每立方米小麦重750千克，求这个麦堆的占地面积。
2.把一个底面直径4厘米的圆柱沿底面直径分成若干等份，然后把圆柱切开拼成一个与它等底等高的近似的长方体，表面积增加了40平方厘米。求长方体的体积。
3.一种液体饮料采用长方体塑料纸盒密封包装，从外面量盒子长6厘米，宽4厘米，高10厘米，盒面注明“净含量：240毫升”。请分析该项说明是否存在虚假。
例5 等底等高的一个圆柱和一个圆锥，它们的体积之和是68立方厘米，圆柱的体积是多少立方厘米
典例剖析
此题主要考查同学们对圆锥体积公式的理解和应用。
圆柱和圆锥等底等高时，圆锥体积是圆柱体积的。圆柱体积是3份，而圆锥体积只相当于其中1份。
解：等底等高时，圆柱与圆锥体积比是3:1。
68÷(3+1)×3=51(立方厘米)
答：圆柱的体积是51立方厘米。
举一反三练习5 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
1.填空。
(1)一个圆柱和一个圆锥的体积及底面积都相等，如圆锥的高是1.2分米，则圆柱的高是( )分米。
(2)一个圆锥比与它等底等高的圆柱的体积少16立方分米，则圆柱体积是( )立方分米，圆锥体积是( )立方分米。
(3)底面积相等的圆柱和圆锥，圆柱的高是圆锥高的3倍，圆锥的体积是9.42立方分米，圆柱的体积是( )立方分米。
2.一个圆柱形木料的底面积是6平方分米，把它削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是12立方分米，则这个圆柱形木料的高是多少分米
例6 某学习小组为了弄清一个不规则 物体的体积，进行了如下操作与测量：
(1)小明准备了一个长方体玻璃缸，并从里面测量出玻璃缸长6分米，宽和高都是4分米；
(2)小兰往玻璃缸中倒入2分米深的水；
(3)小红把这个物体放入玻璃缸中，发现水正好能淹没这个物体；
(4)小强测出水面上升了2厘米。
请你根据他们的测量结果，算出这个不规则物体的体积。
典例剖析
此题主要考查不规则物体体积的计算方法，重在考查学生用转换、替换的思想解决实际问题的能力。当物体完全浸没在水中时，比原来水面高出的那部分水的体积就等于不规则物体的体积，即这一不规则物体的体积等于长6分米、宽4分米、高2厘米的长方体的体积。
解：2厘米=0.2分米
6×4×0.2=4.8(立方分米)
答：这个不规则物体的体积是4.8立方分米。
举一反三练习6 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
1.有一个底面半径为3分米的圆柱形水桶，桶内盛满水，并漫没着一块底面是边长为2分米的正方形的长方体铁块。当铁块从水中取出时，桶内的水面下降了5厘米，求这个长方体铁块的高。(得数保留一位小数)
2.如下图，甲、乙两个容器中装有同样深的水，将一铁块沉没于甲容器的水中，水面上升2厘米。如果将同样的铁块沉没于乙容器的水中，水面将上升多少厘米
3.一个无水的观赏鱼缸中放着一块高为30cm、体积为3000cm 的假山石。如果水管以每分钟9dm 的流量向鱼缸中注水，至少需要多长时间才能将假山石完全淹没
例7 求图(1)的表面积和体积，求图(2)的体积。(单位：厘米)
典例剖析
此题是求组合体的表面积和体积。
图(1)由两个圆柱组合而成，体积就是两个圆柱的体积和。表面积由两个侧面、大圆柱下底面、上底环形面和小圆柱的上底面5部分组成。大圆柱上底环形面与小圆柱的上底面正好可补为大圆柱的上底面。
图(2)由一个圆柱和一个圆锥组成，可由二者体积和求出组合体的体积。其实，圆柱和圆锥同底，故可将圆锥看成一个和它同底的圆柱，原组合体就成了一个大的圆柱，其高是（）厘米。
解：图(1):
=3.14×（）2×5+3.14×（）2×3=335.98(立方厘米)
S=3.14×（）2×2+3.14×8×5+3.14×6×3=282.6(平方厘米)
图(2):
=3.14×（）2×（）2=1004.8(立方厘米)
举一反三练习7 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
1.求下面各图形的表面积及体积。(单位：厘米)
2.求下面各图的体积。(单位：厘米)
立体图形的计算强化练习
基础达标
一、填空题
1.一个长方体的长和宽都是10厘米，高是5厘米。这个长方体的表面积是( )平方厘米，做这个长方体框架至少要( )厘米长的铁丝。
2.把两个棱长是3厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是( ),体积是( )。
3.一根圆柱形钢材的体积是882立方厘米，底面积是42平方厘米，它的高是( )厘米。
4.把一个圆柱的侧面展开，得到一个正方形，这个圆柱的底面半径是0.5分米，它的高是( )分米。
5.把一个底面周长是12.56分米、高是3分米的圆柱形钢材熔铸成一个圆锥体。已知圆锥体的底面积是28.26平方分米，那么它的高是( )分米。
6.把12立方分米的水倒入一个长3分米、宽2分米、高4分米的长方体玻璃缸内，水面距缸口有( )分米。
7.如图所示的长方体由( )个棱长为1厘米的正方体搭成。将这个长方体放在墙角处，其中有三面露出的正方体有( )个，只有两面露出的正方体有( )个，只有一面露出的正方体有( )个，露在外面的面积是( )平方厘米。
8.一根长1米、横截面直径是20厘米的木头浮在水面上，小明发现它正好是一半露出水面(如图),则这根木头与水接触的面的面积是( )平方厘米。
9.如图，瓶底的面积和锥形杯口的面积相等，将瓶中的液体倒入锥形杯子中，能倒满( )杯。
10.如图是由棱长1分米的小正方体拼成的，它的表面积是( )立方分米。不移动现有的小正方体，至少再添上( )个小正方体，才能拼成一个更大的正方体。
二、判断，对的打“ √ ”,错的打“ × ”
1.等底等高的长方体和圆柱，它们的体积一定相等。 ( )
2.两个圆柱的侧面积相等，它们的底面周长也一定相等。 ( )
3.正方体、长方体、圆柱都可以用它们各自的底面积乘高求得体积。 ( )
4.圆柱的底面半径扩大到原来的2倍，高也扩大到原来的2倍，侧面积扩大到原来的4倍。 ( )
5.把一段圆柱形钢材削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是原体积的。( )
6.一个长方体的长、宽、高依次是a米、b米、h米，如果高增加3米，新的长方体的体积比原来增加了3abh立方米。 ( )
三、解答下面各题
1.一个圆柱形水池的底面直径是20米，深2米。
(1)在它的侧面和底面抹水泥，抹水泥部分的面积是多少
(2)池内最多能容纳多少吨水 (每立方米水重1吨)
2.一种礼品盒(如右图)长30厘米，宽25厘米，高20厘米。如果要用红丝带把它捆扎起来(结头处用去红丝带30厘米),至少需要多少米丝带
3.外卖给我们的生活带来了很大的便利，这种便利离不开外卖骑手的辛苦付出。淘气的叔叔是一个外卖骑手，右图是他的外卖保温包的示意图，做一个这样的保温包至少需要多少平方厘米的材料 (重叠部分忽略不计)
4.一个圆锥形沙堆的占地面积为15平方米，高是2米。把这堆沙铺在宽8米的路上，平均厚5厘米，能铺路多少米
能力拓展创新
四、选择
1.把一个圆柱的侧面展开得到一个边长4分米的正方形，这个圆柱的侧面积是( )平方分米。
A.16 B.50.24 C.100.48
2.把一段圆柱形木材制成一个最大的圆锥体，削去的部分重8千克，这段圆柱形木材原来重( )千克。
A.8 B.12 C.16 D.24
3.把一根圆柱形木头削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是原圆柱形木头体积的( )。
A. B. C. D.2倍
4.有一根圆柱形的木料，木匠师傅锯下50厘米长的一段，剩下木料的表面积比原来减少了1256平方厘米。锯下的这段木料的体积是( )立方厘米。
A.1256 B.2512 C.3768 D.780
5.一个长9厘米、宽6厘米、高3厘米的长方体，把它切割成3个体积相等的长方体，表面积最大可增加( )平方厘米。
A.72 B.216 C.108 D.36
6.将一个圆柱形木块切成四块(如图1),表面积增加48平方厘米；切成三块(如图2),表面积增加50.24平方厘米；削成一个最大的圆锥(如图3),体积减少了( )立方厘米。
A.2π B.6π C.8π D.4π
五、解答下面应用题
1.有一个长方体的盒子，从里面量长40厘米，宽12厘米，高7厘米。在这个盒子里放入长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块，最多能放多少块
2.建筑工地要浇筑一个长4m、宽3.14m、高25m的长方体桥墩，如果用内直径是0.1m的圆柱形管道向长方体桥墩注入混凝土，混凝土在管道内的流速大约是每分钟40m,浇筑完这个桥墩大约需要多少分钟
3.刘华测量一个瓶子的容积，测得瓶子的底面直径是12厘米，瓶子深30 厘米，如下图。现在刘华给瓶子内盛入一些水，正放时水高20厘米，倒放时水高25厘米。你能根据这些信息求出瓶子的容积吗
4.如下图，将10毫升酒装入一个圆锥形容器中，酒深正好占容器深的。请问：再添入多少毫升酒，可装满此容器
5.雨哗哗不停地下着。如果在雨地里放一个如下左图那样的长方体容器，雨水将它注满要用1小时。现有下列A~E五个不同的容器(如下图),雨水注满这些容器各需多长时间 (阴影部分为接雨面)
参考答案
举一反三练习1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
1. 48÷12=4(cm)
2. 10×4+25×4+20=160(cm)=16dm
举一反三练习2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
1. 10×10×10÷20÷10÷=15(厘米)
2. 80÷4=20(厘米)
高：20-6-5=9(厘米)
表面积：2×(6×5+5×9+6×9)=258(平方厘米)
体积：5×6×9=270(立方厘米)
3. [(4+3)×2×2+4×3]×15.2=608(千克)
举一反三练习3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
1.(1) (2)8000 (3)25.12
2.(1)36÷6×(2×3)=36(平方分米)
(2)(7×6+6×5+7×5)×2+7×6×2=298(平方厘米)
(3) 50.24÷4÷3.14÷2=2(分米)
3.14×2 ×(1.5×10)=188.4(立方分米)
举一反三练习4 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
1.(1)57次 (2)17.76m
2.高：40÷2÷(4÷2)=10(厘米) 体积：3.14×（）2×10=125.6:(立方厘米)
3.长方体纸盒的体积是6×4×10=240(cm )=240毫升，其容积应小于它的体积，所以该项说明存在虚假。
举一反三练习5 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
1.(1)0.4 (2)24 8 (3)84.78
2. 12÷2×3÷6=3(分米)
举一反三练习6 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
1. 5厘米=0.5分米 3.14×3 ×0.5÷(2×2)≈3.5(分米)
2. 30×20×2÷(20×20)=3(厘米)
3. (50×20×30-3000)÷(9×1000)=3(分)
举一反三练习7 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
1.(1)4×4×6=96(cm ) 2 ×7=56(cm )
(2)3.14×（4+8）×10+3.14×[()2-()2]×2=452.16(cm )
3.14×[()2-()2]×10=376.8(cm )
2.(1)用两个原图拼成一个圆柱：3.14×()2×（12+8）÷2=125.6(cm )
(2)[30×20-3.14×()2]×5=2607.5(cm )
立体图形的计算强化练习
基础达标
一、填空题
1. 400 100
2. 90cm 54cm3
3. 21
4. 3.14
5. 4
6. 2
7. 12 1 4 5 16
8. 3454
9. 6
10. 46 50
二、判断，对的打“ √ ”,错的打“ × ”
1.√ 2.× 3√ 4.√ 5.√ 6.×
三、解答下面各题
1.(1)439.6m (2)628吨
2. 2.2m
3. (50×37+50×37+37×37)×2=10138(cm )
4. 15×2×÷（8×）=25(m)
能力拓展创新
四、选择
1.A 2.B 3.C 4.B 5.B 6.C
五、解答下面应用题
1.（块）｛注：表示取整｝
2. 0.1÷2=0.05(米) 4×3.14×25+(3.14×0.05 ×40)=1000(分)
3. 正放、倒放时瓶子空余部分的容积相等。
3.14×（）2×（30-25+20）=2826(cm3)
4.高的比是1:2,底面半径比是1:2,底面积比是1:4,体积比是1:8。
10×8-10=70(毫升)
5. 1时=60分 30×20×10÷60÷（30×20）=
A. 10×10×10÷（10×10）÷=60（分）
B. 10×10×30÷（10×10）÷=180（分）
C. [20×10×10+(20-10)×10×10]÷（10×10）÷=180（分）
D. [10×10×(20-10)+20×10×10]÷（20×10）÷=90（分）
E. 3.14×(2÷2)2×20÷[3.14×(2÷2)2]÷=120（分）

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