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南昌十九中2022-2023学年下学期高二期末考试数学试卷
考试时间：120分钟 命题：高二数学组
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，集合中至少有2个元素，则（ ）
A． B． C． D．
2．在等差数列中，，则（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
3．已知函数，若，则（ ）
A． B．2 C．5 D．7
4．曲线在处的切线的方程为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数对于任意都有，且在区间上是单调递增的，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
8．含有有限个元素的数集，定义“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数．例如的交替和是；而的交替和是5，则集合的所有非空子集的交替和的总和为（ ）
A．32 B．64 C．80 D．192
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．已知实数满足，且，则下列不等式成立的有（ ）
A． B． C． D．
10．设为定义在上的函数，且在上单调递减，下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于轴对称 B．函数的最小正周期为2
C． D．函数在上单调递减
11．设数列的前项和为，若，则下列说法正确的是（ ）
A． B．为等比数列 C． D．
12．已知函数的定义域为是偶函数，是奇函数，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知，则_________。
14．已知偶函数的定义域为，满足，且当，则_________。
15．已知各项均为正数的等比数列满足：，则的值为_________。
16．设函数，则满足的的取值范围是_________。
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题满分10分）
设是上的奇函数，，当时，．
（1）求的值；（2）当时，求的图象与轴所围成图形的面积．
18．（本题满分12分）
已知数列为公差不为零的等差数列，其前项和为．
（1）求的通项公式；
（2）求证：．
19．（本题满分12分）
如图，在等腰梯形中，，点为线段的中点，将沿着折起到位置，为的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）当平面平面时，求二面角的余弦值．
20．（本题满分12分）
已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，点在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）为椭圆上不与重合的任意一点，直线分别与直线相交于点，求证：．
21．（本题满分12分）
为提高南昌市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了南昌市旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游．现有来自甲旅游协会的导游4名，其中高级导游2名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游3名．从这9名导游中随机选择4人参加比赛．
（1）设A为事件“选出的4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游来自同一个旅游协会”，求事件A发生的概率；
（2）设为选出的4人中高级导游的人数，求随机变量的分布列和数学期望．
22．（本题满分12分）
已知函数，其中是自然对数的底数．
（1）若的最小值为0，求；
（2）若在上恒成立，求的取值范围．
南昌十九中2022-2023学年下学期高二期末考试
数学试卷答案
一、单项选择题
1．D 2．B 3．C 4．A 5．B 6．C 7．D 8．D
二、多项选择题
9．AB 10．ABC 11．AB 12．ACD
三、填空题
13． 14． 15．2 16．
四、解答题
17．（1）由，得，
所以是以4为周期的周期函数，又，
所以．
（2）由是奇函数且，
得，
即．
故函数的图象关于直线对称．
又当时，，且的图象关于原点中心对称，
则在上的图象如图所示．
当时，设的图象与轴围成图形的面积为，则．
18．（1）设等差数列的公差为，由，得，而，
解得，
所以的通项公式．
（2）由（1）知，，
所以．
19．（1）连接，可得下图：
由已知得三角形和三角形均为等边三角形
因为是中点，所以
又因为平面平面，所以平面
又因为平面，所以平面平面；
（2）因为平面平面，平面平面，所以平面，
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
由已知得，即
设平面的法向量，则，即，
令，则，故平面的一个法向量，
由图，易知为平面的一个法向量，
所以，故二面角的余弦值为．
20．（1）由题知：，
将点代入方程得：，解得，
椭圆的标准方程为．
（2）由（1）知．
设，则，
直线的方程为，令，则，
即，
直线的方程为，令，则，
即
，即．
21．（1）由已知条件知，当两名高级导游来自甲旅游协会时，有种不同选法；
当两名高级导游来自乙旅游协会时，有种不同选法，
则所以事件发生的概率为；
（2）随机变量的所有可能取值为．
，
所以，随机变量的分布列为
0 1 2 3 4
所以，随机变量的数学期望为（人）
22．（1）
（i）若，则单调递增，无最小值，不合题意．
（ii）若，令，得
当单调递减
当单调递增
所以
即，即，即
（2）令
易知在上单调递增，所以
所以在上单调递增，所以
（i）若，则，即在上单调递增
即，即在上恒成立，符合题意
（ii）若，则
所以存在，使得
当单调递减，即
所以此时存在，使得，不合题意
综合（i），（ii）知的取值范围为

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