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平行线的性质
【学习目标】
1．经历探索直线平行的性质的过程，掌握平行线的三条性质，并能用它们进行简单的推理和计算。
2．能结合一些具体内容进行说理，初步养成言之有据的习惯。
【学习重难点】
1．探索并掌握平行线的性质，能用平行线性质进行简单的推理和计算。
2．能区分平行的性质和判定，正确利用平行线的性质解决有关问题。
【学习过程】
一、忆旧迎新
1．平行线的判定方法有哪些？这些判定方法中共同点是什么？
2．由已知角相等或互补能推出两直线平行，那么由两直线平行能否推出两角相等或互补呢？
二、感悟新知
1．在练习本上画两条平行线AB、CD，再画一条直线EF分别与AB、CD相交得8个角，标出所形成的八个角，如图所示。
2．测量这些角的度数：
A．图中哪些角是同位角？它们具有怎样的数量关系？
B．图中哪些角是内错角？它们具有怎样的数量关系？
C．图中哪些角是同旁内角？它们具有怎样的数量关系？
3．猜想：如果两条直线平行，那么同位角、内错角、同旁内角的数量关系该如何表达呢？
4．再任意画一条截线MN，同样度量并计算各个角的度数，你的猜想还成立吗？
5．归纳平行线的性质：
性质1：
____________________________________________________________________。
性质2：
____________________________________________________________________。
性质3：
____________________________________________________________________。
6．结合上图，用符号语言表达平行线的这三条性质。
性质1：
____________________________________________________________________。
性质2：
____________________________________________________________________。
性质3：
____________________________________________________________________。
7．你能根据性质1，说出性质2．性质3成立的道理吗？对于性质2，试在下面的说理中注明每步推理的根据。
如图，因为a∥b
所以∠1=∠3（ ）
又∠2=_____（ ）
所以∠2=∠3
类似地，对于性质3，请你仿照上面的推理写出说理过程。
8．平行线的性质与平行线判定的区别是什么？
9.经典例题：
例：如图 10-18,已知点D, E, F分别在三角形ABC的边AB, AC, BC上,且DE // BC,∠B =48°. .
(1)试求∠ADE的度数;
(2)如果∠DEF =48°,那么EF与AB平行吗
【达标检测】
1.如图所示，平分，，则为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，直线，直线与直线a相交于点P，与直线b相交于点Q，于点P，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，把一块含有角的直角三角板的两个锐角顶点放在直线，上，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5.如图，， （写出一个结论）．
6．如图，直线，直线分别交直线于点． 若，则的度数为 °．
7．如图，，直线分别交，于点，，平分，，则的度数为 ．
8．如图，直线、被直线、所截，若，则的大小是 度．
9.如图， ，，，求的度数．请完善解题过程，并在括号内填上相应的理论依据．
解：，（已知）
，（ ）
，（已知）
，（等量代换）
_____ （ ）
______ ，（ ）
，
______ ．
10．如图，点B、C在线段的异侧，E、F分别是线段、上的点，已知，．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
【自学反思】
自学过后，你有什么问题？你的收获是什么？还有什么困惑？
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平行线的性质
【学习目标】
1．经历探索直线平行的性质的过程，掌握平行线的三条性质，并能用它们进行简单的推理和计算。
2．能结合一些具体内容进行说理，初步养成言之有据的习惯。
【学习重难点】
1．探索并掌握平行线的性质，能用平行线性质进行简单的推理和计算。
2．能区分平行的性质和判定，正确利用平行线的性质解决有关问题。
【学习过程】
一、忆旧迎新
1．平行线的判定方法有哪些？这些判定方法中共同点是什么？
【答案】（1）同位角相等，两直线平行
内错角相等，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
这些判定方法的共同点都由已知角相等或互补能推出两直线平行。
2．由已知角相等或互补能推出两直线平行，那么由两直线平行能否推出两角相等或互补呢？
【答案】可以
二、感悟新知
1．在练习本上画两条平行线AB、CD，再画一条直线EF分别与AB、CD相交得8个角，标出所形成的八个角，如图所示。
2．测量这些角的度数：
A．图中哪些角是同位角？它们具有怎样的数量关系？
【答案】∠1=∠5；∠2=∠6；∠3=∠7；∠4=∠9
B．图中哪些角是内错角？它们具有怎样的数量关系？
【答案】∠3=∠5；∠4=∠6；
C．图中哪些角是同旁内角？它们具有怎样的数量关系？
【答案】∠4和∠5；∠3和∠6；它们是互为补角的关系。
3．猜想：如果两条直线平行，那么同位角、内错角、同旁内角的数量关系该如何表达呢？
【答案】如果两条直线平行，那么同位角相等，内错角相等，同旁内角互补
4．再任意画一条截线MN，同样度量并计算各个角的度数，你的猜想还成立吗？
【答案】成立
5．归纳平行线的性质：
性质1：
____________________________________________________________________。
性质2：
____________________________________________________________________。
性质3：
____________________________________________________________________。
【答案】性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简单地说，两直线平行，同位角相等。
性质2：两条平行线被第三条直线所截,内错角相等。简单地说,两直线平行，内错角相等。
性质3：两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补。简单地说，两直线平行,同旁内角互补。
6．结合上图，用符号语言表达平行线的这三条性质。
性质1：
____________________________________________________________________。
性质2：
____________________________________________________________________。
性质3：
____________________________________________________________________。
【答案】性质1：∵AB//CD
∴∠1=∠5；∠2=∠6；∠3=∠7；∠4=∠9
性质2：∵AB//CD
∴∠3=∠5；∠4=∠6
性质3：∵AB//CD
∴∠4+∠5=180°；∠3+∠6=180°
7．你能根据性质1，说出性质2．性质3成立的道理吗？对于性质2，试在下面的说理中注明每步推理的根据。
如图，因为a∥b
所以∠1=∠3（ ）
又∠2=_____（ ）
所以∠2=∠3
类似地，对于性质3，请你仿照上面的推理写出说理过程。
【答案】两直线平行，同位角相等；∠1，对顶角相等
性质3：
如图，因为a∥b
所以∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）
又∠1=+∠4=180°（平角定义）
所以∠4+∠3=180°（等量代换）
8．平行线的性质与平行线判定的区别是什么？
【答案】区别在于平行线的性质是由两直线平行推出角的关系，而平行线的判定是由角的关系推出两直线平行。
9.经典例题：
例：如图 10-18,已知点D, E, F分别在三角形ABC的边AB, AC, BC上,且DE // BC,∠B =48°. .
(1)试求∠ADE的度数;
(2)如果∠DEF =48°,那么EF与AB平行吗
解：(1) 因为DE // BC,所以∠ADE =∠B = 48°.
(2)由(1),得∠ADE = 48°,而∠DEF = 48°,所以∠ADE =∠DEF.根据“内错角相等,两直线平行”,可以得到EF // AB.
【达标检测】
1.如图所示，平分，，则为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，以及角的和差关系．由平行线的性质和角平分线的定义求得，即可求出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
2．如图，直线，直线与直线a相交于点P，与直线b相交于点Q，于点P，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行线性质，根据两直线平行，同位角相等，平角的定义计算即可．
【详解】如图，∵，，
∴，
∵，
∴，
故选A．
3．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的性质．根据平行线的性质解答，即可求解．
【详解】解：如图，
根据题意得：，，
∴，，
∵，
∴．
故选：B．
4．如图，把一块含有角的直角三角板的两个锐角顶点放在直线，上，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质．根据题意可得，结合，可求出，最后根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：根据题意得，
又，
，
，
，
故选：B．
5.如图，， （写出一个结论）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了平行线的性质，由两直线平行，同位角相等，即可得出答案，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键．
【详解】解：，
，
故答案为：（答案不唯一）．
6．如图，直线，直线分别交直线于点． 若，则的度数为 °．
【答案】36
【分析】本题考查求角度，涉及补角定义、平行线的性质等知识，由互补得到，再结合平行线的性质即可求出的度数，熟练掌握平行线的性质，数形结合是解决问题的关键．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
7．如图，，直线分别交，于点，，平分，，则的度数为 ．
【答案】/80度
【分析】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题的关键是掌握平行线的性质和角平分线的定义．根据可得，由平分可得，最后根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：，
，
平分，
，
，
，
故答案为：．
8．如图，直线、被直线、所截，若，则的大小是 度．
【答案】130
【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，解题的关键是数形结合．先根据平行线的判定定理得出，再由邻补角的定义求出的度数，最后由平行线的性质即可求解．
【详解】，
，
，
，
，
．
9.如图， ，，，求的度数．请完善解题过程，并在括号内填上相应的理论依据．
解：，（已知）
，（ ）
，（已知）
，（等量代换）
_____ （ ）
______ ，（ ）
，
______ ．
【答案】两直线平行，同位角相等 ； ； 内错角相等，两直线平行 ； ；两直线平行，同旁内角互补 ；
【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．由与平行，利用两直线平行，同位角相等得到一对角相等，再由已知角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到与平行，利用两直线平行同旁内角互补得到两个角互补，即可求出所求角的度数．
【详解】解：解：，（已知）
，（两直线平行，同位角相等）
，（已知）
，（等量代换）
，（内错角相等，两直线平行）
，（两直线平行，同旁内角互补）
，
．
故答案为：两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；．
10．如图，点B、C在线段的异侧，E、F分别是线段、上的点，已知，．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了平行线的判定、平行线的判定与性质等知识点，灵活运用平行线的判定定理是解答本题的关键．
（1）由已知条件结合对顶角相等可得，然后根据内错角相等、两直线平行即可证明结论；
（2）由（1）可得，再结合可得，进而证得，由平行线的性质可得．
【详解】（1）证明：∵，，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴．
【自学反思】
自学过后，你有什么问题？你的收获是什么？还有什么困惑？
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