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备考2024中考二轮数学《高频考点冲刺》（全国通用）
专题7 位置与坐标问题
考点扫描☆聚焦中考
位置与坐标问题在近几年中考中常以选择题、填空题的形式考查，属于基础题；主要涉及的知识点包括点的坐标特征、位置的确定、坐标与图形性质、坐标与图形的变化（对称、平移、旋转）等；考查的热点主要涉及以上各知识点.
考点剖析☆典型例题
例1 （2023 丽水）在平面直角坐标系中，点P（﹣1，m2+1）位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
例2（2023 连云港）画一条水平数轴，以原点O为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，过原点O按逆时针方向依次画出与正半轴的角度分别为30°、60°、90°、120°、…、330°的射线，这样就建立了“圆”坐标系．如图，在建立的“圆”坐标系内，我们可以将点A、B、C的坐标分别表示为A（6，60°）、B（5，180°）、C（4，330°），则点D的坐标可以表示为 　　．
例3（2022 吉林）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，0），点B在y轴正半轴上，以点B为圆心，BA长为半径作弧，交x轴正半轴于点C，则点C的坐标为 　 　．
例4（2023 聊城）如图，在直角坐标系中，△ABC各点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，3），C（﹣4，4）．先作△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1，再把△A1B1C1平移后得到△A2B2C2．若B2（2，1），则点A2坐标为（　　）
A．（1，5） B．（1，3） C．（5，3） D．（5，5）
考点过关☆专项突破
类型一 点的坐标特征
1．（2023 盐城）在平面直角坐标系中，点A（1，2）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2023 内蒙古）若实数m，n是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，且m＜n，则点（m，n）所在象限为（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2022 河池）如果点P（m，1+2m）在第三象限内，那么m的取值范围是（　　）
A．﹣＜m＜0 B．m＞﹣ C．m＜0 D．m＜﹣
4．（2023 大庆）已知a+b＞0，ab＞0，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（　　）
A．（a，b） B．（﹣a，b） C．（﹣a，﹣b） D．（a，﹣b）
5．（2023 巴中）已知a为正整数，点P（4，2﹣a）在第一象限中，则a＝　　．
6．（2023 衡阳）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，﹣2）所在象限是第 　　象限．
7．（2023 衢州）在如图所示的方格纸上建立适当的平面直角坐标系，若点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（2，2），则点C的坐标为 　 　．
类型二 坐标确定位置
1．（2023 台州）如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“車”所在位置的坐标为（﹣2，2），则“炮”所在位置的坐标为（　　）
A．（3，1） B．（1，3） C．（4，1） D．（3，2）
2．（2023 贵州）如图，是贵阳市城市轨道交通运营部分示意图，以喷水池为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，若贵阳北站的坐标是（﹣2，7），则龙洞堡机场的坐标是 　　．
3．（2022 烟台）观察如图所示的象棋棋盘，若“兵”所在的位置用（1，3）表示，“炮”所在的位置用（6，4）表示，那么“帅”所在的位置可表示为 　　．
4．（2021 山西）如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿，将其放在平面直角坐标系中，表示叶片“顶部”A，B两点的坐标分别为（﹣2，2），（﹣3，0），则叶杆“底部”点C的坐标为 　 　．
5．（2020 泰州）以水平数轴的原点O为圆心，过正半轴Ox上的每一刻度点画同心圆，将Ox逆时针依次旋转30°、60°、90°、…、330°得到11条射线，构成如图所示的“圆”坐标系，点A、B的坐标分别表示为（5，0°）、（4，300°），则点C的坐标表示为　 　．
类型三 坐标与图形性质
1．（2022 铜仁市）如图，在矩形ABCD中，A（﹣3，2），B（3，2），C（3，﹣1），则D的坐标为（　　）
A．（﹣2，﹣1） B．（4，﹣1） C．（﹣3，﹣2） D．（﹣3，﹣1）
2．（2022 丽水）三个能够重合的正六边形的位置如图．已知B点的坐标是（﹣，3），则A点的坐标是 　 　．
3．（2021 西宁）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（2，﹣1），若AB∥y轴，且AB＝9，则点B的坐标是 　 　．
4．（2021 德州）在平面直角坐标系xOy中，以点O为圆心，任意长为半径画弧，交x轴正半轴于点A，交y轴于点B，再分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧在y轴右侧相交于点P，连接OP，若OP＝2，则点P的坐标为 　 　．
5．（2020 新疆）如图，在x轴，y轴上分别截取OA，OB，使OA＝OB，再分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交于点P．若点P的坐标为（a，2a﹣3），则a的值为　　．
类型四 坐标与图形变化（对称、平移、旋转）
1．（2023 怀化）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于x轴对称的点P′的坐标是（　　）
A．（﹣2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（2，3）
2．（2023 临沂）某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花，如图所示．若A，B两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x，y轴的平面直角坐标系内，若点A的坐标为（﹣6，2），则点B的坐标为（　　）
A．（6，2） B．（﹣6，﹣2） C．（2，6） D．（2，﹣6）
3．（2023 黄石）如图，已知点A（1，0），B（4，m），若将线段AB平移至CD，其中点C（﹣2，1），D（a，n），则m﹣n的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
4．（2022 绥化）如图，线段OA在平面直角坐标系内，A点坐标为（2，5），线段OA绕原点O逆时针旋转90°，得到线段OA'，则点A'的坐标为（　　）
A．（﹣5，2） B．（5，2） C．（2，﹣5） D．（5，﹣2）
5．（2023 海南）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为（6，0），将△ABO绕着点B顺时针旋转60°，得到△DBC，则点C的坐标是（　　）
A．（3，3） B．（3，3） C．（6，3） D．（3，6）
6．（2022 海南）如图，点A（0，3）、B（1，0），将线段AB平移得到线段DC，若∠ABC＝90°，BC＝2AB，则点D的坐标是（　　）
A．（7，2） B．（7，5） C．（5，6） D．（6，5）
7．（2023 通辽）如图，在平面直角坐标系中，已知点P（0，1），点A（4，1），以点P为中心，把点A按逆时针方向旋转60°得到点B，在M1（﹣1，﹣），M2（﹣，0），M3（1，﹣1），M4（2，2）四个点中，直线PB经过的点是（　　）
A．M1 B．M2 C．M3 D．M4
8．（2023 营口）在平面直角坐标系中，将点M（3，﹣4）向左平移5个单位长度，得到点M′，则点M′的坐标是 　 　．
9．（2020 达州）如图，点P（﹣2，1）与点Q（a，b）关于直线l（y＝﹣1）对称，则a+b＝　 　．
10．（2023 内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，点B坐标（8，4），连接OB，将OB绕点O逆时针旋转90°，得到OB'，则点B′的坐标为 　 　．
11．（2022 毕节市）如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点A1（1，1）；把点A1向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点A2（﹣1，3）；把点A2向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点A3（﹣4，0）；把点A3向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点A4（0，﹣4），…；按此做法进行下去，则点A10的坐标为 　 　．
12．（2021 聊城）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y轴上，B，D两点坐标分别为B（﹣4，6），D（0，4），线段EF在边OA上移动，保持EF＝3，当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标为 　 　．
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备考2024中考二轮数学《高频考点冲刺》（全国通用）
专题7 位置与坐标问题
考点扫描☆聚焦中考
位置与坐标问题在近几年中考中常以选择题、填空题的形式考查，属于基础题；主要涉及的知识点包括点的坐标特征、位置的确定、坐标与图形性质、坐标与图形的变化（对称、平移、旋转）等；考查的热点主要涉及以上各知识点.
考点剖析☆典型例题
例1 （2023 丽水）在平面直角坐标系中，点P（﹣1，m2+1）位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【点拨】依据m2+1＞0，即可得出点P（﹣1，m2+1）在第二象限．
【解析】解：∵m2+1＞0，
∴点P（﹣1，m2+1）在第二象限．
故选：B．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征和平方的非负性，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
例2（2023 连云港）画一条水平数轴，以原点O为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，过原点O按逆时针方向依次画出与正半轴的角度分别为30°、60°、90°、120°、…、330°的射线，这样就建立了“圆”坐标系．如图，在建立的“圆”坐标系内，我们可以将点A、B、C的坐标分别表示为A（6，60°）、B（5，180°）、C（4，330°），则点D的坐标可以表示为 　（3，150°）　．
【答案】（3，150°）．
【点拨】在该坐标系中，某点的坐标用两个参数来描述：一个是该点与原点的距离，另一个是原点与该点所在的射线与x轴正半轴之间的夹角．
【解析】解：∵点D与圆心的距离为3，射线OD与x轴正方向之间的夹角为150°，
∴点D的坐标为（3，150°）．
故答案为：（3，150°）．
【点睛】该题较简单，主要考查在不同坐标系中点的表示方法．
例3（2022 吉林）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，0），点B在y轴正半轴上，以点B为圆心，BA长为半径作弧，交x轴正半轴于点C，则点C的坐标为 　（2，0）　．
【答案】（2，0）．
【点拨】由图象可得OB与圆的直径重合，由BO⊥AC及垂径定理求解．
【解析】解：由图象可得OB与直径重合，
∵BO⊥AC，
∴OA＝OC，
∵A（﹣2，0），
∴C（2，0），
故答案为：（2，0）．
【点睛】本题考查与圆的有关计算，解题关键是掌握垂径定理及其推论．
例4（2023 聊城）如图，在直角坐标系中，△ABC各点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，3），C（﹣4，4）．先作△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1，再把△A1B1C1平移后得到△A2B2C2．若B2（2，1），则点A2坐标为（　　）
A．（1，5） B．（1，3） C．（5，3） D．（5，5）
【答案】B
【点拨】先根据轴对称的性质求出A1，B1，C1的坐标，根据平移的性质即可求出A2的坐标．
【解析】解：∵A（﹣2，1），B（﹣1，3），C（﹣4，4）关于x轴对称的点的坐标为A1（﹣2，﹣1），B1（﹣1，﹣3），C1（﹣4，﹣4），
又∵B2（2，1），
∴平移规律为向右平移3个单位，向上平移4个单位，
∴点A2坐标为（﹣2+3，﹣1+4），即（1，3）．
故选：B．
【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，坐标与图形变化﹣平移，解决本题的关键是掌握轴对称的性质和平移的性质．
考点过关☆专项突破
类型一 点的坐标特征
1．（2023 盐城）在平面直角坐标系中，点A（1，2）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【点拨】根据点A（1，2）横坐标和纵坐标的符号即可判断点A所在的象限．
【解析】解：∵点A（1，2）的横坐标和纵坐标均为正数，
∴点A（1，2）在第一象限．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中，点的坐标的特征是解答此题的关键．
2．（2023 内蒙古）若实数m，n是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，且m＜n，则点（m，n）所在象限为（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【点拨】依据题意，由m，n是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，故m+n＝2＞0，mn＝﹣3＜0，从而判断m，n的符号可以得解．
【解析】解：由题意，∵m，n是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，
∴m+n＝2＞0，mn＝﹣3＜0．
∴m，n异号，且m，n中绝对值较大的为正．
又m＜n，
∴m＜0，n＞0．
∴（m，n）在第二象限．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了点的坐标特征，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键．
3．（2022 河池）如果点P（m，1+2m）在第三象限内，那么m的取值范围是（　　）
A．﹣＜m＜0 B．m＞﹣ C．m＜0 D．m＜﹣
【答案】D
【点拨】根据点P在第三象限，即横纵坐标都是负数，据此即可列不等式组求得m的范围．
【解析】解：根据题意得，
解①得m＜0，
解②得m＜．
则不等式组的解集是m＜﹣．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，点的坐标特征．解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解题规律是：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
4．（2023 大庆）已知a+b＞0，ab＞0，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（　　）
A．（a，b） B．（﹣a，b） C．（﹣a，﹣b） D．（a，﹣b）
【答案】D
【点拨】因为ab＞0，所以a、b同号，又a+b＞0，所以a＞0，b＞0，观察图形判断出小手盖住的点在第四象限，然后解答即可．
【解析】解：∵a+b＞0，ab＞0，
∴a＞0，b＞0，
A、（a，b）在第一象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意；
B、（﹣a，b）在第二象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意；
C、（﹣a，﹣b）在第三象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意；
D、（a，﹣b）在第四象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
5．（2023 巴中）已知a为正整数，点P（4，2﹣a）在第一象限中，则a＝　1　．
【答案】1
【点拨】根据平面直角坐标系中第一象限内的点的横、纵坐标都为正数，得到2﹣a＞0，即可求出a的取值范围，再根据a为正整数即可得到a的值．
【解析】解：∵点P（4，2﹣a）在第一象限，
∴2﹣a＞0，
∴a＜2，
又a为正整数，
∴a＝1．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，熟知：第一象限内的点的坐标特征是（+，+），第二象限内的点的坐标特征是（﹣，+），第三象限内的点的坐标特征是（﹣，﹣），第四象限内的点的坐标特征是（+，﹣）．
6．（2023 衡阳）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，﹣2）所在象限是第 　三　象限．
【答案】三．
【点拨】根据第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣），可得答案．
【解析】解：点P（﹣3，﹣2）在第三象限，
故答案为：三．
【点睛】此题主要考查了点的坐标，关键是掌握四个象限内点的坐标符号．
7．（2023 衢州）在如图所示的方格纸上建立适当的平面直角坐标系，若点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（2，2），则点C的坐标为 　（1，3）　．
【答案】（1，3）．
【点拨】根据A、B两点的坐标确定平面直角坐标系的位置，即可得C点的坐标．
【解析】解：如图：由A的坐标为（0，1），点B的坐标为（2，2），坐标可确定原点位置和坐标系：
由图可得C（1，3），故答案为：（1，3）．
【点睛】本题考查平面直角坐标系与点的位置，属于基础题．
类型二 坐标确定位置
1．（2023 台州）如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“車”所在位置的坐标为（﹣2，2），则“炮”所在位置的坐标为（　　）
A．（3，1） B．（1，3） C．（4，1） D．（3，2）
【答案】A
【点拨】直接利用“車”位于点（﹣2，2），得出原点的位置，进而得出答案．
【解析】解：如图所示：“炮”所在位置的坐标为：（3，1）．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键．
2．（2023 贵州）如图，是贵阳市城市轨道交通运营部分示意图，以喷水池为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，若贵阳北站的坐标是（﹣2，7），则龙洞堡机场的坐标是 　（9，﹣4）　．
【答案】（9，﹣4）．
【点拨】确定平面直角坐标系，即可确定龙洞堡机场的坐标．
【解析】解：由题中条件确定点O即为平面直角坐标系原点，
龙洞堡机场的坐标为（9，﹣4）；
故答案为：（9，﹣4）．
【点睛】本题考查根据已知条件确定平面直角坐标系，解题的关键是明确平面直角坐标系x轴、y轴的正方向以及确定点的坐标．
3．（2022 烟台）观察如图所示的象棋棋盘，若“兵”所在的位置用（1，3）表示，“炮”所在的位置用（6，4）表示，那么“帅”所在的位置可表示为 　（4，1）　．
【答案】（4，1）
【点拨】直接利用已知点坐标得出原点位置进而得出答案．
【解析】解：如图所示：
“帅”所在的位置：（4，1），
故答案为：（4，1）．
【点睛】本题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题的关键．
4．（2021 山西）如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿，将其放在平面直角坐标系中，表示叶片“顶部”A，B两点的坐标分别为（﹣2，2），（﹣3，0），则叶杆“底部”点C的坐标为 　（2，﹣3）　．
【答案】（2，﹣3）．
【点拨】根据A，B的坐标确定出坐标轴的位置，点C的坐标可得．
【解析】解：∵A，B两点的坐标分别为（﹣2，2），（﹣3，0），
∴得出坐标轴如图所示位置：
∴点C的坐标为（2，﹣3）．
故答案为：（2，﹣3）．
【点睛】本题主要考查了用坐标确定位置，和由点的位置得到点的坐标．依据已知点的坐标确定出坐标轴的位置是解题的关键．
5．（2020 泰州）以水平数轴的原点O为圆心，过正半轴Ox上的每一刻度点画同心圆，将Ox逆时针依次旋转30°、60°、90°、…、330°得到11条射线，构成如图所示的“圆”坐标系，点A、B的坐标分别表示为（5，0°）、（4，300°），则点C的坐标表示为　（3，240°）　．
【答案】（3，240°）
【点拨】直接利用坐标的意义进而表示出点C的坐标．
【解析】解：如图所示：点C的坐标表示为（3，240°）．
故答案为：（3，240°）．
【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确理解坐标的意义是解题关键．
类型三 坐标与图形性质
1．（2022 铜仁市）如图，在矩形ABCD中，A（﹣3，2），B（3，2），C（3，﹣1），则D的坐标为（　　）
A．（﹣2，﹣1） B．（4，﹣1） C．（﹣3，﹣2） D．（﹣3，﹣1）
【答案】D
【点拨】先根据A、B的坐标求出AB的长，则CD＝AB＝6，并证明AB∥CD∥x轴，同理可得AD∥BC∥y轴，由此即可得到答案．
【解析】解：∵A（﹣3，2），B（3，2），
∴AB＝6，AB∥x轴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝6，AB∥CD∥x轴，
同理可得AD∥BC∥y轴，
∵点C（3，﹣1），
∴点D的坐标为（﹣3，﹣1），
故选：D．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，矩形的性质，熟知矩形的性质是解题的关键．
2．（2022 丽水）三个能够重合的正六边形的位置如图．已知B点的坐标是（﹣，3），则A点的坐标是 　（，﹣3）　．
【答案】（，﹣3）
【点拨】根据正六边形的性质可得点A和点B关于原点对称，进而可以解决问题．
【解析】解：因为点A和点B关于原点对称，B点的坐标是（﹣，3），
所以A点的坐标是（，﹣3），
故答案为：（，﹣3）．
【点睛】本题考查了正六边形的性质，中心对称图形，解决本题的关键是掌握关于原点对称的点的坐标特征．
3．（2021 西宁）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（2，﹣1），若AB∥y轴，且AB＝9，则点B的坐标是 　（2，8）或（2，﹣10）　．
【答案】（2，8）或（2，﹣10）．
【点拨】线段AB∥y轴，A、B两点横坐标相等，又AB＝9，B点可能在A点上边或者下边，根据距离确定B点坐标．
【解析】解：∵AB与y轴平行，
∴A、B两点的横坐标相同，
又AB＝9，
∴B点纵坐标为：﹣1+9＝8，或﹣1﹣9＝﹣10，
∴B点的坐标为：（2，8）或（2，﹣10）；
故答案为：（2，8）或（2，﹣10）．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，要掌握平行于y轴的直线上的点横坐标相等，再根据两点相对的位置及两点距离确定点的坐标．
4．（2021 德州）在平面直角坐标系xOy中，以点O为圆心，任意长为半径画弧，交x轴正半轴于点A，交y轴于点B，再分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧在y轴右侧相交于点P，连接OP，若OP＝2，则点P的坐标为 　（2，2）或（2，﹣2）　．
【答案】（2，2）或（2，﹣2）．
【点拨】由作图知点P在第一象限或第四象限角平分线上，从而得出m2+m2＝（2）2，解之可得．
【解析】解：如图，
由作图知点P在第一象限或第四象限角平分线上，
∴设点P的坐标为（m，±m）（m＞0），
∵OP＝2，
∴m2+m2＝（2）2，
∴m＝2，
∴P（2，2）或（2，﹣2），
故答案为（2，2）或（2，﹣2）．
【点睛】此题主要考查了每个象限内点的坐标特点，以及角平分线的性质，关键是掌握各象限角平分线上的点的坐标特点：|横坐标|＝|纵坐标|．
5．（2020 新疆）如图，在x轴，y轴上分别截取OA，OB，使OA＝OB，再分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交于点P．若点P的坐标为（a，2a﹣3），则a的值为　3　．
【答案】3
【点拨】根据作图方法可知点P在∠BOA的角平分线上，由角平分线的性质可知点P到x轴和y轴的距离相等，可得关于a的方程，求解即可．
【解析】解：∵OA＝OB，分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交于点P，
∴点P在∠BOA的角平分线上，
∴点P到x轴和y轴的距离相等，
又∵点P的坐标为（a，2a﹣3），
∴a＝2a﹣3，
∴a＝3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了角平分线的作法及其性质在坐标与图形性质问题中的应用，明确题中的作图方法及角平分线的性质是解题的关键．
类型四 坐标与图形变化（对称、平移、旋转）
1．（2023 怀化）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于x轴对称的点P′的坐标是（　　）
A．（﹣2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（2，3）
【答案】D
【点拨】根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y），进而得出答案．
【解析】解：点P（2，﹣3）关于x轴对称的点P′的坐标是（2，3）．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确掌握关于x轴对称点的坐标特点是解题关键．
2．（2023 临沂）某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花，如图所示．若A，B两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x，y轴的平面直角坐标系内，若点A的坐标为（﹣6，2），则点B的坐标为（　　）
A．（6，2） B．（﹣6，﹣2） C．（2，6） D．（2，﹣6）
【答案】A
【点拨】关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，据此可得答案．
【解析】解：若A，B两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x，y轴的平面直角坐标系内，若点A的坐标为（﹣6，2），则点B的坐标为（6，2）．
故选：A．
【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
3．（2023 黄石）如图，已知点A（1，0），B（4，m），若将线段AB平移至CD，其中点C（﹣2，1），D（a，n），则m﹣n的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【答案】B
【点拨】根据A，C两点的坐标可得出平移的方向和距离进而解决问题．
【解析】解：∵线段CD由线段AB平移得到，
且A（1，0），C（﹣2，1），B（4，m），D（a，n），
∴m﹣n＝0﹣1＝﹣1．
故选：B．
【点睛】本题考查坐标与图象的变化，熟知平移过程中图象上的每一个点的平移方向和距离均相同是解题的关键．
4．（2022 绥化）如图，线段OA在平面直角坐标系内，A点坐标为（2，5），线段OA绕原点O逆时针旋转90°，得到线段OA'，则点A'的坐标为（　　）
A．（﹣5，2） B．（5，2） C．（2，﹣5） D．（5，﹣2）
【答案】A
【点拨】过点A作AB⊥x轴于点B，过点A′作A′C⊥x轴于点C，利用旋转的性质和全等三角形的判定与性质解答即可．
【解析】解：过点A作AB⊥x轴于点B，过点A′作A′C⊥x轴于点C，如图，
∵A点坐标为（2，5），
∴OB＝2，AB＝5．
由题意：∠AOA′＝90°，OA＝OA′．
∴∠AOB+∠A′OC＝90°．
∵∠A′OC+∠A′＝90°，
∴∠A′＝∠AOB．
在△A′OC和△OAB中，
，
∴△A′OC≌△OAB（AAS）．
∴A′C＝OB＝2，OC＝AB＝5，
∴A′（﹣5，2）．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了图形的旋转与坐标的变化，点的坐标的特征，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
5．（2023 海南）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为（6，0），将△ABO绕着点B顺时针旋转60°，得到△DBC，则点C的坐标是（　　）
A．（3，3） B．（3，3） C．（6，3） D．（3，6）
【答案】B
【点拨】作CM⊥x轴于M，再利用旋转的性质求出BC＝OB＝6，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BM，利用勾股定理列式求出CM，然后求出点C的横坐标，再写出点C的坐标即可．
【解析】解：作CM⊥x轴于M，
∵点B的坐标为（6，0），
∴BC＝OB＝6，
∵∠OBC＝60°，
∴BM＝，CM＝＝3，
∴OM＝OB﹣BM＝6﹣3＝3，
∴C（3，3）．
故选：B．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，解直角三角形，求出OM、CM的长度是解题的关键．
6．（2022 海南）如图，点A（0，3）、B（1，0），将线段AB平移得到线段DC，若∠ABC＝90°，BC＝2AB，则点D的坐标是（　　）
A．（7，2） B．（7，5） C．（5，6） D．（6，5）
【答案】D
【点拨】过点D作DE⊥y轴于点E，利用点A，B的坐标表示出线段OA，OB的长，利用平移的性质和矩形的判定定理得到四边形ABCD是矩形；利用相似三角形的判定与性质求得线段DE，AE的长，进而得到OE的长，则结论可得．
【解析】解：过点D作DE⊥y轴于点E，如图，
∵点A（0，3）、B（1，0），
∴OA＝3，OB＝1．
∵线段AB平移得到线段DC，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
∴∠BAD＝90°，BC＝AD．
∵BC＝2AB，
∴AD＝2AB．
∵∠BAO+∠DAE＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝∠EAD．
∵∠AOB＝∠AED＝90°，
∴△ABO∽△DAE．
∴．
∴DE＝2OA＝6，AE＝2OB＝2，
∴OE＝OA+AE＝5，
∴D（6，5）．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了图形的变化与坐标的关系，平移的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
7．（2023 通辽）如图，在平面直角坐标系中，已知点P（0，1），点A（4，1），以点P为中心，把点A按逆时针方向旋转60°得到点B，在M1（﹣1，﹣），M2（﹣，0），M3（1，﹣1），M4（2，2）四个点中，直线PB经过的点是（　　）
A．M1 B．M2 C．M3 D．M4
【答案】B
【点拨】根据含30°角的直角三角形的性质可得B（2，1+2 ），利用待定系数法可得直线PB的解析式，依次将M1，M2，M3，M4四个点的一个坐标代入y＝x+1中可解答．
【解析】解：∵点A（4，1），点P（0，1），
∴PA⊥y轴，PA＝4，
由旋转得：∠APB＝60°，AP＝PB＝4，
如图，过点B作BC⊥y轴于C，
∴∠BPC＝30°，
∴BC＝2，PC＝2 ，
∴B（2，1+2 ），
设直线PB的解析式为：y＝kx+b，
则，
∴，
∴直线PB的解析式为：y＝x+1，
当x＝﹣1时，y＝﹣+1，
∴点M1（﹣1，﹣）不在直线PB上，
当x＝﹣时，y＝﹣1+1＝0，
∴M2（﹣，0）在直线PB上，
当x＝1时，y＝+1，
∴M3（1，）不在直线PB上，
当x＝2时，y＝2+1，
∴M4（2，2）不在直线PB上．
故选：B．
【点睛】本题考查的是图形旋转变换，待定系数法求一次函数的解析式，确定点B的坐标是解本题的关键．
8．（2023 营口）在平面直角坐标系中，将点M（3，﹣4）向左平移5个单位长度，得到点M′，则点M′的坐标是 　（﹣2，﹣4）　．
【答案】（﹣2，﹣4）．
【点拨】根据平移规律即可得到点M′的坐标．
【解析】解：将点M（3，﹣4）向左平移5个单位长度，得到点M′，则点M′的坐标是（3﹣5，﹣4），即（﹣2，﹣4）．
故答案为：（﹣2，﹣4）．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，先确定出平移规律是解题的关键．
9．（2020 达州）如图，点P（﹣2，1）与点Q（a，b）关于直线l（y＝﹣1）对称，则a+b＝　﹣5　．
【答案】﹣5
【点拨】利用轴对称的性质求出点Q的坐标即可．
【解析】解：∵点P（﹣2，1）与点Q（a，b）关于直线l（y＝﹣1）对称，
∴a＝﹣2，b＝﹣3，
∴a+b＝﹣2﹣3＝﹣5，
故答案为﹣5．
【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣对称，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
10．（2023 内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，点B坐标（8，4），连接OB，将OB绕点O逆时针旋转90°，得到OB'，则点B′的坐标为 　（﹣4，8）　．
【答案】（﹣4，8）．
【点拨】分别过点B、B′向x轴作垂线，垂足分别为M、N．
利用AAS证明Rt△OMB≌Rt△B′NO，根据对应边相等求解；
【解析】解：分别过点B、B′向x轴作垂线，垂足分别为M、N．
∵∠BOB′＝90°，
∴∠BOM+∠B′ON＝90°．
又∵∠BOM+∠OBM＝90°，
∴∠B′ON＝∠OBM．
在Rt△OMB和Rt△B′NO中，
，
∴Rt△OMB≌Rt△B′NO（AAS），
∴B′N＝OM＝8，ON＝BM＝4，
∴点B′的坐标为（﹣4，8）．
【点睛】本题考查坐标与图形的变化﹣旋转，利用图形之间长度与角的关系解题是本题的关键．
11．（2022 毕节市）如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点A1（1，1）；把点A1向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点A2（﹣1，3）；把点A2向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点A3（﹣4，0）；把点A3向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点A4（0，﹣4），…；按此做法进行下去，则点A10的坐标为 　（﹣1，11）　．
【答案】（﹣1，11）．
【点拨】根据题目规律，依次求出A5、A6……A10的坐标即可．
【解析】解：由图象可知，A5（5，1），
将点A5向左平移6个单位、再向上平移6个单位，可得A6（﹣1，7），
将点A6向左平移7个单位，再向下平移7个单位，可得A7（﹣8，0），
将点A7向右平移8个单位，再向下平移8个单位，可得A8（0，﹣8），
将点A8向右平移9个单位，再向上平移9个单位，可得A9（9，1），
将点A9向左平移10个单位，再向上平移10个单位，可得A10（﹣1，11），
故答案为：（﹣1，11）．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，规律型问题，解题的关键是学会探究规律，属于中考常考题型．
12．（2021 聊城）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y轴上，B，D两点坐标分别为B（﹣4，6），D（0，4），线段EF在边OA上移动，保持EF＝3，当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标为 　（﹣，0）　．
【答案】（﹣，0）．
【点拨】在BC上截取BH＝3，可证四边形BHEF是平行四边形，可得BF＝EH，由对称性可得DE＝D'E，则四边形BDEF的周长＝EH+ED'+BD+EF，由EF和BD是定值，则当EH+D'E有最小值时，四边形BDEF的周长有最小值，即当点E，点H，点D'共线时，EH+D'E有最小值，利用待定系数法可求HD'解析式，即可求解．
【解析】解：在BC上截取BH＝3，作点D关于x轴的对称点D'，连接D'H交AO于点E，
∴BH＝EF＝3，BC∥AO，
∴四边形BHEF是平行四边形，
∴BF＝EH，
∵点D与点D'关于x轴对称，
∴DE＝D'E，点D'坐标为（0，﹣4），
∵四边形BDEF的周长＝EF+BF+BD+DE，
∴四边形BDEF的周长＝EH+ED'+BD+EF，
∵EF和BD是定值，
∴当EH+D'E有最小值时，四边形BDEF的周长有最小值，
∴当点E，点H，点D'共线时，EH+D'E有最小值，
∵点B（﹣4，6），
∴点H（﹣1，6），
设直线D'H的解析式为y＝kx+b，
则，
解得：，
∴直线D'H的解析式为y＝﹣10x﹣4，
∴当y＝0时，x＝﹣，
∴点E（﹣，0），
故答案为：（﹣，0）．
【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，坐标与图形，平行四边形的判定和性质，一次函数的性质等知识，确定点E的位置是解题的关键．
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