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备考2024中考二轮数学《高频考点冲刺》（全国通用）
专题6 一元二次方程根的判别式问题
考点扫描☆聚焦中考
一元二次方程根的判别式问题，是近几年各地中考的必考内容，多数以选择题、填空题的形式考查，个别地区有解答题出现；考查的知识点有判断一元二次方程根的情况、求字母的值或取值范围、根与系数的关系；预计2024年各地命题热点还是判断一元二次方程根的情况、求字母的值或取值范围、根与系数的关系.
考点剖析☆典型例题
例1 （2023 滨州）一元二次方程x2+3x﹣2＝0根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能判定
例2（2023 辽宁）若关于x的一元二次方程x2﹣x+k+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是 　　．
例3（2023 乐山）若关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0两根为x1、x2，且x1＝3x2，则m的值为（　　）
A．4 B．8 C．12 D．16
例4（2023 湖北）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0．
（1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
（2）设该方程的两个实数根为a，b，若（2a+b）（a+2b）＝20，求m的值．
考点过关☆专项突破
类型一 判断一元二次方程根的情况
1．（2023 吉林）一元二次方程x2﹣5x+2＝0根的判别式的值是（　　）
A．33 B．23 C．17 D．
2．（2023 广元）关于x的一元二次方程2x2﹣3x+＝0根的情况，下列说法中正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定
3．（2023 泸州）关于x的一元二次方程x2+2ax+a2﹣1＝0的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根
D．实数根的个数与实数a的取值有关
4．（2023 广安）已知a、b、c为常数，点P（a，c）在第四象限，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断
5．（2023 内江）对于实数a，b定义运算“ ”为a b＝b2﹣ab，例如：3 2＝22﹣3×2＝﹣2，则关于x的方程（k﹣3） x＝k﹣1的根的情况，下列说法正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定
类型二 确定一元二次方程中字母系数的值或取值范围
1．（2023 眉山）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）
A． B．m＞3 C．m≤3 D．m＜3
2．（2023 聊城）若一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是（　　）
A．m≥﹣1 B．m≤1 C．m≥﹣1且m≠0 D．m≤1且m≠0
3．（2023 北京）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（　　）
A．﹣9 B． C． D．9
4．（2023 兰州）关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则b2﹣2（1+2c）＝（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
5．（2023 广州）已知关于x的方程x2﹣（2k﹣2）x+k2﹣1＝0有两个实数根，则的化简结果是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣1﹣2k D．2k﹣3
6．（2023 贵州）若一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个相等的实数根，则k的值是 　　．
7．（2023 济南）关于x的一元二次方程x2﹣4x+2a＝0有实数根，则a的值可以是 　　（写出一个即可）．
8．（2023 遂宁）我们规定：对于任意实数a、b、c、d有[a，b]*[c，d]＝ac﹣bd，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：[3，2]*[5，1]＝3×5﹣2×1＝13．
（1）求[﹣4，3]*[2，﹣6]的值；
（2）已知关于x的方程[x，2x﹣1]*[mx+1，m]＝0有两个实数根，求m的取值范围．
9．（2023 荆州）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+4）x+k﹣6＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k＝1时，用配方法解方程．
10．（2023 杭州）设一元二次方程x2+bx+c＝0．在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①b＝2，c＝1；
②b＝3，c＝1；
③b＝3，c＝﹣1；
④b＝2，c＝2．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
类型三 根的判别式和根与系数的关系相结合
1．（2023 湖北）已知一元二次方程x2﹣3x+k＝0的两个实数根为x1，x2，若x1x2+2x1+2x2＝1，则实数k＝　　．
2．（2023 衡阳）已知关于x的方程x2+mx﹣20＝0的一个根是﹣4，则它的另一个根是 　　．
3．（2023 鄂州）若实数a、b分别满足a2﹣3a+2＝0，b2﹣3b+2＝0，且a≠b，则+＝　　．
4．（2023 天津）若x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，则（　　）
A．x1+x2＝6 B．x1+x2＝﹣6 C．x1x2＝ D．x1x2＝7
5．（2022 湖北）若关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4m﹣1＝0有两个实数根x1，x2，且（x1+2）（x2+2）﹣2x1x2＝17，则m＝（　　）
A．2或6 B．2或8 C．2 D．6
6．（2023 泸州）若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（　　）
A． B． C． D．
7．（2022 呼和浩特）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式﹣2022x1+的值是（　　）
A．4045 B．4044 C．2022 D．1
8．（2023 南充）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣3m2+m＝0．
（1）求证：无论m为何值，方程总有实数根；
（2）若x1，x2是方程的两个实数根，且+＝﹣，求m的值．
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备考2024中考二轮数学《高频考点冲刺》（全国通用）
专题6 一元二次方程根的判别式问题
考点扫描☆聚焦中考
一元二次方程根的判别式问题，是近几年各地中考的必考内容，多数以选择题、填空题的形式考查，个别地区有解答题出现；考查的知识点有判断一元二次方程根的情况、求字母的值或取值范围、根与系数的关系；预计2024年各地命题热点还是判断一元二次方程根的情况、求字母的值或取值范围、根与系数的关系.
考点剖析☆典型例题
例1 （2023 滨州）一元二次方程x2+3x﹣2＝0根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能判定
【答案】A
【点拨】利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【解析】解：由题意得，Δ＝32﹣4×1×（﹣2）＝17＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若Δ＝b2﹣4ac＞0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＝0，则方程有两个相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＜0，则方程没有实数根．
例2（2023 辽宁）若关于x的一元二次方程x2﹣x+k+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是 　k≤﹣　．
【答案】k≤﹣．
【点拨】根据根的判别式的意义得到Δ＝（﹣1）2﹣4（k+1）≥0，然后解不等式即可．
【解析】解：根据题意得Δ＝（﹣1）2﹣4×（k+1）≥0，
解得k≤﹣．
故答案为：k≤﹣．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
例3（2023 乐山）若关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0两根为x1、x2，且x1＝3x2，则m的值为（　　）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】C
【点拨】首先根据根与系数的关系得出x1+x2＝8，再根据x1＝3x2，求得x1，x2，进一步得出x1x2＝m求得答案即可．
【解析】解：∵一元二次方程x2﹣8x+m＝0的两根为x1，x2，
∴x1+x2＝8，
∵x1＝3x2，
解得x1＝6，x2＝2，
∴m＝x1x2＝6×2＝12．
故选：C．
【点睛】本题考查了根与系数的关系．二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
例4（2023 湖北）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0．
（1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
（2）设该方程的两个实数根为a，b，若（2a+b）（a+2b）＝20，求m的值．
【答案】见解析
【点拨】（1）要证明方程都有两个不相等的实数根，即证明Δ＝b2﹣4ac＞0即可；
（2）利用根与系数的关系得a+b＝2m+1，ab＝m2+m，再将（2a+b）（a+2b）＝20变形可得2（a+b）2+ab＝20，将a+b，ab的代入可得关于m的一元二次方程，求解即可．
【解析】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4（m2+m）
＝4m2+4m+1﹣4m2﹣4m
＝1＞0，
∴无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：∵该方程的两个实数根为a，b，
∴a+b＝＝2m+1，ab＝＝m2+m，
∵（2a+b）（a+2b）
＝2a2+4ab+ab+2b2
＝2（a2+2ab+b2）+ab
＝2（a+b）2+ab，
∴2（a+b）2+ab＝20，
∴2（2m+1）2+m2+m＝20，
整理得：m2+m﹣2＝0，
解得：m1＝﹣2，m2＝1，
∴m的值为﹣2或1．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式的应用、根与系数的关系，熟练掌握根的判别式与根与系数的关系是解题关键．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，，．
考点过关☆专项突破
类型一 判断一元二次方程根的情况
1．（2023 吉林）一元二次方程x2﹣5x+2＝0根的判别式的值是（　　）
A．33 B．23 C．17 D．
【答案】C
【点拨】根据一元二次方程根的判别式Δ＝b2﹣4ac即可求出值．
【解析】解：x2﹣5x+2＝0，
∵a＝1，b＝﹣5，c＝2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×2＝25﹣8＝17．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是掌握根的判别式．
2．（2023 广元）关于x的一元二次方程2x2﹣3x+＝0根的情况，下列说法中正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定
【答案】C
【点拨】先确定a、b、c的值，再计算b2﹣4ac即可．
【解析】解：∵a＝2，b＝﹣3，c＝，
∴b2﹣4ac＝9﹣12＝﹣3＜0，
∴方程没有实数根．
故选：C．
【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程中根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，方程无解．
3．（2023 泸州）关于x的一元二次方程x2+2ax+a2﹣1＝0的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根
D．实数根的个数与实数a的取值有关
【答案】C
【点拨】先计算一元二次方程根的判别式，根据根的判别式得结论．
【解析】解：∵Δ＝（2a）2﹣4×1×（a2﹣1）
＝4a2﹣4a2+4
＝4＞0．
∴关于x的一元二次方程x2+2ax+a2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握“根的判别式与方程的解的关系”是解决本题的关键．
4．（2023 广安）已知a、b、c为常数，点P（a，c）在第四象限，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断
【答案】A
【点拨】先利用第四象限点的坐标特征得到ac＜0，则判断Δ＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解析】解：∵点P（a，c）在第四象限，
∴a＞0，c＜0，
∴ac＜0，
∴方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
5．（2023 内江）对于实数a，b定义运算“ ”为a b＝b2﹣ab，例如：3 2＝22﹣3×2＝﹣2，则关于x的方程（k﹣3） x＝k﹣1的根的情况，下列说法正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定
【答案】A
【点拨】根据运算“ ”的定义将方程（k﹣3） x＝k﹣1转化为一般式，由根的判别式Δ＝（k﹣1）2+4＞0，即可得出该方程有两个不相等的实数根．
【解析】解：∵（k﹣3） x＝k﹣1，
∴x2﹣（k﹣3）x＝k﹣1，
∴x2﹣（k﹣3）x﹣k+1＝0，
∴Δ＝[﹣（k﹣3）]2﹣4×1×（﹣k+1）＝（k﹣1）2+4＞0，
∴关于x的方程（k﹣3） x＝k﹣1有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点睛】本题考查了根的判别式和实数的运算，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解决问题的关键．
类型二 确定一元二次方程中字母系数的值或取值范围
1．（2023 眉山）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）
A． B．m＞3 C．m≤3 D．m＜3
【答案】D
【点拨】根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，对照四个选项即可得出结论．
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（m﹣2）＝12﹣4m＞0，
解得：m＜3．
故选：D．
【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
2．（2023 聊城）若一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是（　　）
A．m≥﹣1 B．m≤1 C．m≥﹣1且m≠0 D．m≤1且m≠0
【答案】D
【点拨】根据一元二次方程的定义及根的判别式列得不等式并计算即可．
【解析】解：∵一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，
∴Δ＝22﹣4m≥0，且m≠0，
解得：m≤1且m≠0，
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义及根的判别式，特别注意二次项系数不能为0．
3．（2023 北京）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（　　）
A．﹣9 B． C． D．9
【答案】C
【点拨】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac，建立关于m的等式，即可求解．
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4m＝0，
解得m＝．
故选：C．
【点睛】此题考查了根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：（1）Δ＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0 方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0 方程没有实数根．
4．（2023 兰州）关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则b2﹣2（1+2c）＝（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
【答案】A
【点拨】由一元二次方程有两个相等的实数根得Δ＝b2﹣4ac＝0，得到b2﹣4c＝0，再将其代入所求式子中计算即可求解．
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4c＝0，
∴b2＝4c，
∴b2﹣2（1+2c）
＝b2﹣4c﹣2
＝0﹣2
＝﹣2．
故选：A．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程的根与Δ＝b2﹣4ac的关系是解题关键．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．
5．（2023 广州）已知关于x的方程x2﹣（2k﹣2）x+k2﹣1＝0有两个实数根，则的化简结果是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣1﹣2k D．2k﹣3
【答案】A
【点拨】首先根据关于x的方程x2﹣（2k﹣2）x+k2﹣1＝0有两个实数根，得判别式Δ＝[﹣（2k﹣2）]2﹣4×1×（k2﹣1）≥0，由此可得k≤1，据此可对进行化简．
【解析】解：∵关于x的方程x2﹣（2k﹣2）x+k2﹣1＝0有两个实数根，
∴判别式Δ＝[﹣（2k﹣2）]2﹣4×1×（k2﹣1）≥0，
整理得：﹣8k+8≥0，
∴k≤1，
∴k﹣1≤0，2﹣k＞0，
∴
＝﹣（k﹣1）﹣（2﹣k）
＝﹣1．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质，理解一元二次方程根的判别式是解答此题的关键．
6．（2023 贵州）若一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个相等的实数根，则k的值是 　　．
【答案】．
【点拨】结合已知条件，利用根的判别式及一元二次方程的定义即可求得答案．
【解析】解：∵一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4k×1＝0，且k≠0，
解得：k＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义及其根的判别式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
7．（2023 济南）关于x的一元二次方程x2﹣4x+2a＝0有实数根，则a的值可以是 　1　（写出一个即可）．
【答案】1．
【点拨】根据方程有实数根，得到根的判别式大于等于0求出a的范围，写出一个即可．
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+2a＝0有实数根，
∴Δ＝16﹣8a≥0，
解得：a≤2，
则a的值可以是1．
故答案为：1．
【点睛】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．
8．（2023 遂宁）我们规定：对于任意实数a、b、c、d有[a，b]*[c，d]＝ac﹣bd，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：[3，2]*[5，1]＝3×5﹣2×1＝13．
（1）求[﹣4，3]*[2，﹣6]的值；
（2）已知关于x的方程[x，2x﹣1]*[mx+1，m]＝0有两个实数根，求m的取值范围．
【答案】见解析
【点拨】（1）用新定义运算法则列式计算；
（1）先根据新定义得到x（mx+1）﹣m（2x﹣1）＝0，再把方程化为一般式，接着根据题意得到Δ＝（1﹣2m）2﹣4m m≥0且m≠0，解不等式即可．
【解析】解：（1）[﹣4，3]*[2，﹣6]＝﹣4×2﹣3×（﹣6）＝10；
（2）根据题意得x（mx+1）﹣m（2x﹣1）＝0，
整理得mx2+（1﹣2m）x+m＝0，
∵关于x的方程[x，2x﹣1]*[mx+1，m]＝0有两个实数根，
∴Δ＝（1﹣2m）2﹣4m m≥0且m≠0，
解得m且m≠0．
【点睛】本题属于新定义题型，考查一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，根据题意得到关于m的不等式是解题的关键．
9．（2023 荆州）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+4）x+k﹣6＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k＝1时，用配方法解方程．
【答案】（1）k＞﹣且k≠0；
（2）x1＝3+，x2＝3﹣．
【点拨】（1）结合已知条件，根据一元二次方程的定义及根的判别式即可求得k的取值范围；
（2）将k＝1代入方程，利用配方法解方程即可．
【解析】解：（1）∵关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+4）x+k﹣6＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（2k+4）2﹣4k（k﹣6）＞0，且k≠0，
解得：k＞﹣且k≠0；
（2）当k＝1时，
原方程为x2﹣（2×1+4）x+1﹣6＝0，
即x2﹣6x﹣5＝0，
移项得：x2﹣6x＝5，
配方得：x2﹣6x+9＝5+9，
即（x﹣3）2＝14，
直接开平方得：x﹣3＝±
解得：x1＝3+，x2＝3﹣．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式及配方法解一元二次方程，（1）中需特别注意二次项的系数不为0．
10．（2023 杭州）设一元二次方程x2+bx+c＝0．在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①b＝2，c＝1；
②b＝3，c＝1；
③b＝3，c＝﹣1；
④b＝2，c＝2．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
【答案】见解析
【点拨】先根据这个方程有两个不相等的实数根，得b2＞4c，由此可知b、c的值可在②③中选取，然后求解方程即可．
【解析】解：∵使这个方程有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4c，
∴②③均可，
选②解方程，则这个方程为：x2+3x+1＝0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝；
选③解方程，则这个方程为：x2+3x﹣1＝0，
∴x1＝，x2＝．
【点睛】本题主要考查的是根据一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程中根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，方程无解．
类型三 根的判别式和根与系数的关系相结合
1．（2023 湖北）已知一元二次方程x2﹣3x+k＝0的两个实数根为x1，x2，若x1x2+2x1+2x2＝1，则实数k＝　﹣5　．
【答案】﹣5．
【点拨】把两根之和与两根之积代入已知条件中，求得k的值，再根据根的判别式求得k的取值范围．最后综合情况，求得k的值．
【解析】解：∵一元二次方程x2﹣3x+k＝0的两个实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝3，x1 x2＝k，
∵x1x2+2x1+2x2＝1，
∴k+2×3＝1，
解得k＝﹣5，
又∵方程有两个实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4k≥0，
解得k≤，
综合以上可知实数k＝﹣5．
故答案为：﹣5．
【点睛】此题考查一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
2．（2023 衡阳）已知关于x的方程x2+mx﹣20＝0的一个根是﹣4，则它的另一个根是 　5　．
【答案】5
【点拨】设方程的另一个解为t，则利用根与系数的关系得﹣4t＝﹣20，然后解一次方程即可．
【解析】解：设方程的另一个解为t，
根据根与系数的关系得﹣4t＝﹣20，
解得t＝5，
即方程的另一个根为5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．
3．（2023 鄂州）若实数a、b分别满足a2﹣3a+2＝0，b2﹣3b+2＝0，且a≠b，则+＝　　．
【答案】．
【点拨】先根据题意可以把a、b看作是一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个实数根，利用根与系数的关系得到a+b＝3，ab＝2，再根据+＝进行求解即可．
【解析】解：∵a、b分别满足a2﹣3a+2＝0，b2﹣3b+2＝0，
∴可以a、b看作是一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个实数根，
∴a+b＝3，ab＝2，
∴+＝＝．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式的求值，一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
4．（2023 天津）若x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，则（　　）
A．x1+x2＝6 B．x1+x2＝﹣6 C．x1x2＝ D．x1x2＝7
【答案】A
【点拨】根据一元二次方程根与系数的关系进行判断即可．
【解析】解：∵x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，
∴x1+x2＝6，x1x2＝﹣7，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，应掌握：设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，则，．
5．（2022 湖北）若关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4m﹣1＝0有两个实数根x1，x2，且（x1+2）（x2+2）﹣2x1x2＝17，则m＝（　　）
A．2或6 B．2或8 C．2 D．6
【答案】A
【点拨】利用根与系数的关系表示出x1x2与x1+x2，已知等式整理后代入计算即可求出m的值．
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4m﹣1＝0有两个实数根x1，x2，
∴Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣4m﹣1）≥0，即m≥﹣，且x1x2＝m2﹣4m﹣1，x1+x2＝2m，
∵（x1+2）（x2+2）﹣2x1x2＝17，
∴x1x2+2（x1+x2）+4﹣2x1x2＝17，即2（x1+x2）+4﹣x1x2＝17，
∴4m+4﹣m2+4m+1＝17，即m2﹣8m+12＝0，
解得：m＝2或m＝6．
故选：A．
【点睛】此题考查了根的判别式，以及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根与系数的关系是解本题的关键．
6．（2023 泸州）若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【点拨】先设出菱形两条对角线的长，利用根与系数的关系及对角线与菱形面积的关系得等式，再根据菱形的边长与对角线的关系求出菱形的边长．
【解析】解：设菱形的两条对角线长分别为a、b，
∵菱形的面积＝两条对角线积的一半，
∴ab＝11即ab＝22．
∴由题意，得．
∴菱形的边长＝
＝
＝
＝
＝
＝．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了根与系数的关系及菱形的性质，掌握菱形对角线与菱形的面积、边长间的关系，根与系数的关系及等式的变形是解决本题的关键．
7．（2022 呼和浩特）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式﹣2022x1+的值是（　　）
A．4045 B．4044 C．2022 D．1
【答案】A
【点拨】把x＝x1代入方程表示出﹣2022＝x1，代入原式利用完全平方公式化简，再根据根与系数的关系求出所求即可．
【解析】解：把x＝x1代入方程得：﹣x1﹣2022＝0，即﹣2022＝x1，
∵x1，x2是方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣2022，
则原式＝x1（﹣2022）+
＝+
＝（x1+x2）2﹣2x1x2
＝1+4044
＝4045．
故选：A．
【点睛】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
8．（2023 南充）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣3m2+m＝0．
（1）求证：无论m为何值，方程总有实数根；
（2）若x1，x2是方程的两个实数根，且+＝﹣，求m的值．
【答案】（1）见解析；
（2）m＝1或m＝．
【点拨】（1）由判别式Δ＝（4m﹣1）2≥0，可得答案；
（2）根据根与系数的关系知x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝﹣3m2+m，由+＝﹣进行变形直接代入得到5m2﹣7m+2＝0，求解可得．
【解析】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4×1×（﹣3m2+m）
＝4m2﹣4m+1+12m2﹣4m
＝16m2﹣8m+1
＝（4m﹣1）2≥0，
∴方程总有实数根；
（2）解：由题意知，x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝﹣3m2+m，
∵+＝＝＝﹣，
∴，整理得5m2﹣7m+2＝0，
解得m＝1或m＝．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判别式．
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