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北京市西城区2024届高三一模数学试卷
数 学
2024.4
本试卷共 6 页， 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知全集，集合，，则
（A） （B）
（C） （D）
（2）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是
（A） （B）
（C） （D）
（3）在的展开式中，常数项为
（A） （B）
（C） （D）
（4）已知抛物线与抛物线关于直线对称，则的准线方程是
（A） （B）
（C） （D）
（5）设，，，其中，则
（A） （B）
（C） （D）
（6）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸 上小正方形的边长为，则 （A） （B） （C） （D） （7）已知函数 若存在最小值，则的最大值为
（A） （B）
（C） （D）
（8）在等比数列中，．则“”是“”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
（9）关于函数，给出下列三个命题： ① 是周期函数； ② 曲线关于直线对称； ③ 在区间上恰有个零点． 其中真命题的个数为
（A） （B）
（C） （D）
（10）德国心理学家艾 宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据 实验数据绘制出“遗忘曲线”．“遗忘曲线”中记忆率随时间（小时）变化的 趋势可由函数近似描述，则记忆率为时经过的时间约为 （参考数据：，）
（A）小时 （B）小时
（C）小时 （D）小时
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）若复数满足，则_______．
（12）已知．使成立的一组的值为_______，
_______．
（13）双曲线的渐近线方程为_______；若与圆交
于四点，且这四个点恰为正方形的四个顶点，则_______．
（14）在数列中，．数列满足．若是公差
为的等差数列，则的通项公式为_______，的最小值为_______．
（15）如图，正方形和矩形所在的平面互相垂直．点在正方形及其
内部运动，点在矩形及其内部运动．设，给出下列四个结论：
① 存在点，使；
② 存在点，使；
③ 到直线和的距离相等的点有无数个；
④ 若，则四面体体积的最大值为．
其中所有正确结论的序号是_______．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题14分）
如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，，
为的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．
（17）（本小题13分）
在中，．
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积．
条件①：边上中线的长为；
条件②：；
条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
（18）（本小题13分）
米气步枪是国际射击联合会的比赛项目之一，资格赛比赛规则如下：每位选手采用立姿射击发子弹，总环数排名前的选手进入决赛．三位选手甲、乙、丙的资格赛成绩如下：
环数 环 环 环 环 环
甲的射击频数
乙的射击频数
丙的射击频数
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的射击成绩相互独立．
（Ⅰ）若丙进入决赛，试判断甲是否进入决赛，说明理由；
（Ⅱ）若甲、乙各射击次，估计这次射击中出现个“环”和个“环”的概率；
（Ⅲ）甲、乙、丙各射击次，用分别表示甲、乙、丙的次射击中大于
环的次数，其中．写出一个的值，使．
（结论不要求证明）
（19）（本小题15分）
已知椭圆的一个顶点为，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设为原点．直线与椭圆交于两点（不是椭圆的顶点），与直线
交于点．直线分别与直线交于点．求证：．
（20）（本小题15分）
已知函数．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处切线的斜率；
（Ⅱ）当时，讨论的单调性；
（Ⅲ）若集合有且只有一个元素，求的值．
（21）（本小题15分）
对正整数，设数列，．是行列
的数阵，表示中第行第列的数，，且同时满足下列三个条件：① 每行恰有三个；② 每列至少有一个；③ 任意两行不相同．
记集合或中元素的个数为．
（Ⅰ）若，，求的值；
（Ⅱ）若对任意，中都恰有行满足第列和第列的数均为．
（ⅰ）能否满足？说明理由；
（ⅱ）证明：．
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（ 1 ）B （ 2 ）D （ 3 ）A （ 4 ）C （ 5 ）C
（ 6 ）A （ 7 ）A （ 8 ）B （ 9 ）D （10）C
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（11） （12） （答案不唯一）
（13） （14）
（15）① ③ ④
三、解答题（共6小题，共85分）
（16）（共14分）
解：（Ⅰ）连接，设，连接． ………1分
因为在三棱柱中，四边形是平行四边形，
所以为的中点． ………2分
因为为的中点，
所以． ………3分
又因为平面，平面，
所以平面． ………5分
（Ⅱ）因为，，
所以平面． ………6分
所以．
又，所以两两相互垂直．
如图建立空间直角坐标系．………7分
则，，，．
所以，．
设平面的法向量为，则　即
令，则，．于是． ………10分
因为平面，
所以是平面的一个法向量． ………11分
所以． ………13分
由题设，二面角的平面角为钝角，
所以二面角的余弦值为． ………14分
（17）（共13分）
解：（Ⅰ）由，得． ………1分
在中，由正弦定理得． ………3分
因为，
所以． ………4分
又， ………5分
所以． ………6分
（Ⅱ）选条件①：边上中线的长为． ………7分
设边中点为，连接，则，．
在中，由余弦定理得，………9分
即．
整理得．
解得或（舍）． ………11分
所以的面积为． ………13分
选条件③：． ………7分
在中，由余弦定理得， ………9分
即．
整理得．
解得或． ………11分
当时，的面积为．
当时，的面积为． ………13分
（18）（共13分）
解：（Ⅰ）甲进入决赛，理由如下：
丙射击成绩的总环数为，
甲射击成绩的总环数为．
因为，所以甲进入决赛． ………3分
（Ⅱ）根据题中数据，“甲命中环”的概率可估计为；
“甲命中环” 的概率可估计为；
“乙命中环” 的概率可估计为；
“乙命中环” 的概率可估计为． ………5分
所以这次射击中出现个“环”和个“环”的概率可估计为：
． ………10分
（Ⅲ）和．（写出一个即可） ………13分
（19）（共15分）
解：（Ⅰ）由题设， ………3分
解得．
所以椭圆的方程为． ………5分
（Ⅱ）由题设，直线的斜率存在，设其方程为．
则,直线的方程为． ………6分
由 得． ………7分
由，得．
设，，则，． ………8分
直线的方程为． ………9分
联立直线和得．
解得． ………11分
同理可得．
所以． ………12分
因为
所以，即点和点关于原点对称．
所以． ………15分
（20）（共15分）
解：（Ⅰ）当时，，
所以． ………2分
所以．
所以曲线在点处切线的斜率为． ………4分
（Ⅱ）当时，，的定义域为．
． ………6分
因为，
所以时，；时，．
所以的单调递增区间为；单调递减区间为． ………9分
（Ⅲ）．
当时，的定义域为．
所以，在上单调递增．
因为，所以不合题意． ………11分
当时，的定义域为．
因为时，；时，．
所以的单调递增区间为；单调递减区间为．
所以． ………13分
设，则，
因为时，；时，，
所以的单调递减区间为；单调递增区间为．
所以．
所以集合有且只有一个元素时． ………15分
（21）（共15分）
解：（Ⅰ）记．
因为， ………3分
所以． ………4分
（Ⅱ）（ⅰ）不满足，理由如下：
假设满足．
因为的每行恰有三个，故中满足的的个数共有个．
另一方面，从中任选两列共有种可能，且对任意两列，都恰有行使得
这两列的数均为1，故中满足的的个数共有个．
所以．
当时，得，此方程无解．
所以不满足． ………9分
（ⅱ）由（ⅰ）可得，即．
下面考虑满足，但的的个数：
对中满足和的行，每行恰有两组使且，
所以满足，但的的个数为．
………11分
设数列中有项为，项为．
满足，但的的个数为．
所以满足，但的的个数为． ………13分
所以．
所以
． ………15分
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