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2024年河南省郑州市中考模拟卷（一）
考试时间：100分钟；满分120分一、选择题（每小题3分，共30分）
1．的相反数是（　　）
A． B．2024 C． D．
2．如图桌上摆放这一个茶杯和一摞书，从上面看到的图形是（ ）
A． B． C． D．
3．2023年10月11日，我国首艘氢燃料电池动力示范船“三峡氢舟1”号在长江三峡起始点湖北宜昌首航．据测算，“三峡氢舟1”号相比传统燃油动力船舶，预计每年可减少二氧化碳排放343670千克．343670用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．年月日至1日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，中国与多个国家、多个国际组织签署了多份合约，携手实现经济共同发展．北京、莫斯科、雅典三地之间想建立一个货物中转仓，使其到三地的距离相等，如图所示则中转仓的位置应选在（ ）
A．三边垂直平分线的交点 B．三边中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点
5．下列式子成立的是（ ）
A． B．
C． D．
6．新高考“”选科模式是指除语文、数学、外语门科目以外，学生应在历史和物理门首选科目中选择科，在思想政治、地理、化学、生物学门再选科目中选择科．某同学从门再选科目中随机选择科，恰好选择化学和生物的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B．且 C． D．且
8．已知反比例函数在第二象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，在矩形中，，．连接，按下列方法作图；以点C为圆心，适当长为半径画弧．分别交于点E，F；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G；连接交于点H，则的面积是（ ）

A． B． C．1 D．
10．如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个动点，点C是y轴正半轴上的点，于点C．已知，．点B到原点的最大距离为（ ）
A．22 B．18 C．14 D．10
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．请写出一个y随x增大而减小且过原点的一次函数 ．
12．不等式组的解集是 ．
13．今年4月23日是第27个世界读书日，某校举行了演讲大赛，演讲得分按“演讲内容”占、“语言表达”占、“形象风度”占、“整体效果”占进行计算，小芳这四项的得分依次为，，，，则她的最后得分是 分．
14．如图，，是以为直径的半圆周的三等分点，，是直径上的任意一点，则阴影部分的面积等于 ．

15．如图，在矩形纸片中，，，边上有一点E，，将该纸片折叠，使点A与点E重合，折痕交于点M，交于点N，则线段的长是 ．

三、 解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（1）计算：；
（2）先化简：，再从，，1，2选择中一个合适的数作为的值代入求值．
17．广西是全国水果大省，是能实现水果自由的地方，更是沙糖桔的第一大产区．2024年伊始，伴随广西11车沙糖桔运往哈尔滨，一场特殊的“投桃报李”引发全国关注，沙糖桔一跃成为春节期间的网红水果．小明爸爸开的水果店准备购进一批沙糖桔，有两个商家可供选择，上初三的小明让爸爸各买一箱，标记为，准备运用所学的统计知识帮助爸爸进行选择，小明在，两箱水果中各随机取10个，逐一测量了它们的直径，测量结果如下（单位）；
数据统计表
抽取序号
箱沙糖桔直径
箱沙糖桔直径
统计量 平均数 众数 中位数
根据题目信息，回答下列问题：
(1)______，______，______；
(2)由折线图可知，______（填“＞”“＝”或“＜”）
(3)爸爸告诉小明沙榶桔一级果外观要求：大小均匀，直径在之间．请帮助小明用合适的统计量评价这两箱沙榶桔是否符合一级果要求，以及选择哪箱沙榶枯更好，并写出依据．
18．数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题．实践报告如下：
活动课题 遮阳篷前挡板的设计
问题背景 我们所在的社区服务中心在墙外安装了遮阳篷，结果发现夏日正午时纳凉面积不够．现在为使房前的纳凉区域增加到宽，计划在遮阳篷前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），如图1，现在要计算所需前挡板的宽度的长．
测量数据 抽象模型 我们实地测量了相关数据，并画出了侧面示意图，如图2，遮阳篷长为，其与墙面的夹角，其靠墙端离地高为．通过查阅资料，了解到本地夏日正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角）最小为，若假设此时房前恰好有宽的阴影，如图3，求出的长即可．
解决思路 经过讨论，我们准备按照如下步骤解决问题： （1）运用所学的三角函数的相关知识，构造直角三角形，先求出遮阳篷前端到墙面的距离； （2）继续构造直角三角形，求出为时，的长度．
运算过程 ．．．．．．．．
该报告运算过程还没有完成，请按照解决思路，帮助兴趣小组完成该部分．（结果精确到，参考数据：，，，
19．大连某中学为参加2024年哈尔滨冰雪节的同学购买了若干暖手宝和暖脚宝，网店组合报价为：购买3组暖脚宝和2组暖手宝共需340元；购买2组暖脚宝和1组暖手宝共需210元．
(1)你能否算出每组暖手宝和暖脚宝的价格各是多少元？
(2)经老师和需求使用的同学沟通后计划最多拿出3200元购买暖手宝和暖脚宝共50组，由于需要暖手宝的同学不足30组，请你规划一下有哪几种购买方案？
20．如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的横坐标为6．
(1)求k的值；
(2)结合图象，直接写出不等式的解集；
(3)点P是y轴上一点，连接 ， ，若，求点P的坐标．
21．如图，在中，，以为直径的⊙O分别与、交于点D、E，过点D作于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为3，，求阴影部分的面积．
22．冬天来了，晒衣服成了头疼的事情，聪明的小华想到一个好办法，在家后院地面（BD）上立两根等长的立柱AB、CD（均与地面垂直），并在立柱之间悬挂一根绳子．绳子的形状近似成了抛物线，如图1，已知BD=8米，绳子最低点离地面的距离为1米．
（1）求立柱AB的长度；
（2）由于挂的衣服比较多，为了防止衣服碰到地面，小华用一根垂直于地面的立柱MN撑起绳子（如图2），MN的长度为1.85米，通过调整MN的位置，使左边抛物线F1对应函数的二次项系数为，顶点离地面1.6米，求MN离AB的距离．
23．解答下列各题：
（1） [基础巩固]
如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD AB．
（2）[尝试应用]
如图2，在平行四边形ABCD中，F为AB上一点，E为BC延长线上一点， ∠AEF＝∠D．若AE＝6，BF＝5，求CD的长．
（3）[拓展提高]
如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝4EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝3，DF＝4，求菱形ABCD的边长．
参考答案与解析
1．B
【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此求解即可．
【详解】解：的相反数是2024，
故选：B．
2．A
【分析】本题考查了从三个不同方向看几何体，解题关键是根据题意看图，不要搞错方向．
【详解】解：书和茶杯从上面看到的图形的分别是长方形和圆，
故选：A．
3．A
【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【详解】解：，
故选：A
4．A
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质定理的逆定理，正确理解线段垂直平分线的性质定理逆定理是解答本题的关键．线段垂直平分线的性质定理逆定理：和线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．根据线段垂直平分线的性质定理逆定理进行推理，即可得到答案．
【详解】到北京和莫斯科距离相等的点在北京和莫斯科两地连线的垂直平分线上，到北京和雅典距离相等的点在北京和雅典两地连线的垂直平分线上，则中转仓的位置应选在的三边的垂直平分线的交点处．
故选：A．
5．A
【分析】本题考查了整式的混合运算．根据同底数幂乘法，负整数指数幂，积的乘方，完全平方公式的计算方法，即可得到答案．
【详解】解：A、，本选项符合题意；
B、，本选项不符合题意；
C、，本选项不符合题意；
D、，本选项不符合题意；
故选：A．
6．B
【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
表可得出所有等可能的结果数以及恰好选择化学和生物的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：列表如下：
思想政治 地理 化学 生物
思想政治 （思想政治，地理） （思想政治，化学） （思想政治，生物）
地理 （地理，思想政治） （地理，化学） （地理，生物）
化学 （化学，思想政治） （化学，地理） （化学，生物）
生物 （生物，思想政治） （生物，地理） （生物，化学）
共有12种等可能的结果，其中恰好选择化学和生物的结果有2种，
恰好选择化学和生物的概率为．
故选：B．
7．A
【分析】本题主要考查一元二次方程实数根判别式的意义；根据一元二次方程有两个不相等的实数根的判定方法结合具体的数值列式解答即可．
【详解】一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
，
该方程是一元二次方程，
，
的取值范围是且．
故选：A．
8．D
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数综合题，熟练掌握反比例函数和一次函数的性质是解题关键．根据反比例函数和一次函数的图象，可得，，进而得到函数的图象的对称轴在轴左侧，再根据反比例函数与一次函数的交点坐标，得到，进而得到函数与轴交点纵坐标大于1，即可判断图象．
【详解】解：反比例函数的图象经过二、四象限，
，
当时，，
，
函数的图象的对称轴在轴左侧，排除B选项；
反比例函数与一次函数有两个交点，一个交点横坐标为，一个交点纵坐标为，
，
，
当时，，即函数与轴交点纵坐标大于1，
D选项符合题意，
故选：D．
9．A
【分析】证明，，，如图，过H点作于M，可得，证明，求解，从而可得答案．
【详解】解：∵矩形中，，
∴，，，
如图，过H点作于M，

由作法得平分，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，而，
∴．
，
故选：A．
【点睛】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，角平分线的作图与角平分线的性质，证明是解本题的关键．
10．B
【分析】首先取AC的中点E，连接BE，OE，OB，可求得OE与BE的长，然后由三角形三边关系，求得点B到原点的最大距离．
【详解】解：取AC的中点E，连接BE，OE，OB，
∵∠AOC＝90°，AC＝16，
∴OE＝CEAC＝8，
∵BC⊥AC，BC＝6，
∴BE10，
若点O，E，B不在一条直线上，则OB＜OE+BE＝18．
若点O，E，B在一条直线上，则OB＝OE+BE＝18，
∴当O，E，B三点在一条直线上时，OB取得最大值，最大值为18．
故选：B
【点睛】此题考查了直角三角形斜边上的中线的性质以及三角形三边关系．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
11．（答案不唯一）
【分析】本题主要考查函数和图象的性质，熟悉相关的知识是解题的关键；根据y随x增大而减小且过原点，若此函数为正比例函数，则，即可求解．
【详解】解：∵函数y随x增大而减小且过原点；
若此函数为正比例函数；
∴；
则此函数可以为：；
故答案为：（答案不唯一）．
12．
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．先求出每个不等式的解集，再根据口诀确定不等式组的解集即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查的是加权平均数的求法，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键．根据加权平均数的定义列式计算可得．
【详解】解：她的最后得分是（分），
故答案为：．
14．
【分析】连接OC、OD，根据C，D是以为直径的半圆周的三等分点，可得，是等边三角形，将阴影部分的面积转化为扇形的面积求解即可．
本题考查了扇形面积的计算，解答本题的关键是将阴影部分的面积转化为扇形OCD的面积，难度一般．
【详解】解：连接、．

∵C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴,
∴，
∴．
故答案为：．
15．
【分析】过M作于H，连接，根据矩形的性质和判定证明四边形是矩形，得到，，再根据对称性质得，，设，则，，由勾股定理求得；设，则，在中，由勾股定理得，解方程得到，则由勾股定理得．
【详解】解：过M作于H，连接，则，

∵四边形是矩形，，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，，
由折叠性质得，
设，则，，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴；
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
在中，由勾股定理得，
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的判定与性质、折叠性质、勾股定理，熟练掌握相关知识的联系与运用，正确作出辅助线求得的长是解答的关键．
16．（1）6；（2），1
【分析】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，实数运算，零指数幂，负整数指数幂，一元一次不等式的整数解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先进行分式的混合运算，然后选择合适的数，代入化简后的式子进行计算即可解答．
【详解】解：（1）
；
（2）
，
要使有意义，需满足且，
解得：不等于，
当时，原式．
17．(1)，，
(2)
(3)这两箱沙榶桔符合一级果要求，选择箱沙榶枯更好，依据见解析（答案不唯一）
【分析】（1）根据平均数，中位数，众数的定义求解；
（2）根据折线统计图可得波动越小的方差越小；
（3）根据方差大小，作出决策，答案不唯一，言之有理即可．
【详解】（1）解：；
箱沙糖桔直径数据从小到大排列为
；
故答案为：，，．
（2）根据折线统计图可得，
故答案为：．
（3）根据表格数据可得知，这两箱沙榶桔符合一级果要求，
选择箱沙榶枯更好，由于，大小均匀，
∴选择箱沙榶枯更好（答案不唯一）
18．（1）遮阳篷前端到墙面的距离约为（2）挡沿部分的约为．
【分析】本题考查了锐角三角函数的应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的相关知识．
（1）作于，由，，可得，即可求解；
（2）作于，于，延长交于，则，可得四边形、四边形是矩形，在中，由，求出，根据，求出，然后根据，求出，最后由线段的和差即可求解．
【详解】解：（1）如图，作于，

，．
在中，，即，
，
答：遮阳篷前端到墙面的距离约为；
（2）解：如图，作于，于，延长交于，则，

四边形、四边形是矩形，
由（1）得，
，
在中，，即，
，
由题意得：，
，
在中，，即，
，
，
答：挡沿部分的长约为．
19．(1)购买暖脚宝每组需80元，购买暖手宝每组需50元；
(2)共有3种购买方案，①购买暖脚宝21组，暖手宝29组；②购买暖脚宝22组，暖手宝28组；③购买暖脚宝23组，暖手宝27组．
【分析】此题考查二元一次方程组的实际应用、一元一次不等式组的实际应用．
（1）将暖脚宝和暖手宝的进价设为未知量，列出二元一次方程组求解即可；
（2）设购买暖脚宝m组，则购买暖手宝组，由资金最多3200元，需要暖手宝的同学不足30组，列一元一次不等式组求解即可．
【详解】（1）解：设购买暖脚宝每组需x元，购买暖手宝每组需y元，由题意得：
，
解得：，
答：购买暖脚宝每组需80元，购买暖手宝每组需50元；
（2）解：设购买暖脚宝m组，则购买暖手宝组，由题意得：
，
解得：，
∴，
∵m为整数，
∴m为21或22或23，
∴共有3种购买方案，①购买暖脚宝21组，暖手宝29组；②购买暖脚宝22组，暖手宝28组；③购买暖脚宝23组，暖手宝27组．
20．(1)
(2)或
(3)或
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式．
（1）把A的横坐标为6代入，可得点的坐标，再根据待定系数法，即可得到反比例函数的表达式；
（2）依据函数图象，即可得到不等式的解集；
（3）设，依据，列方程求解即可得到点的坐标．
【详解】（1），
∴，
∴
（2）∵点A与点B是关于原点成中心对称
∴，
∴不等式的解集为：或
（3）设，依题意得：
∴或
21．(1)见详解
(2)
【分析】（1）连接，根据，，得出，证明，根据平行线的性质进一步证明，根据切线的判定求出即可；
（2）连接，，过O作于M，求出、的长和的度数，分别求出和扇形的面积，即可求出答案；
【详解】（1）证明：连接，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵过点O，
∴是的切线．
（2）连接，过O作于M，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积；
【点睛】本题主要考查了切线的判定，平行线的判定以及性质，三角形内角和定理，垂径定理，勾股定理，直角三角形的性质，扇形的面积等知识点，正确作出辅佐线是解题的关键．
22．（1）AB=2.6米；（2）MN与AB的距离为3米.
【详解】试题分析：（1）由题意可得抛物线顶点坐标为（4，1），所以抛物线解析式为y=（x－4）2+1，要求AB的长度，令x=0即可，求出函数值即可；（2）首先根据题意设出抛物线F1的解析式为y=（x+h）2+1.6，再将A的坐标代入函数解析式即可求出h，最后令y=1.85，解出x即可求出MN离AB的距离.
试题解析：
（1）由题意得，抛物线顶点坐标为（4，1），
所以抛物线解析式为：y=（x－4）2+1，
令x=0，y=×16+1=2.6.
所以AB=2.6；
（2）设抛物线F1解析式为：y=（x+h）2+1.6，
∵A（0，2.6），
∴2.6=h2+1.6，
解得h=±2，正值舍去，
∴h=－2，
∴F1解析式为：y=（x－2）2+1.6，
令y=1.85，1.85=（x－2）2+1.6，
解得x1=1（舍去），x2=3，
所以MN与AB的距离为3米.
点睛：本题关键在于找出抛物线上的点的坐标，正确地设出二次函数的解析式，利用待定系数法求出抛物线解析式.
23．（1）见解析；（2）9；（3）5
【分析】（1）证明，利用对应边相似求解．
（2）证明，设，利用对应边关系列出方程求解．
（3）延长，交于点，证明，表示对应关系，再利用．
【详解】解：（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴．
设，
∵，
∴，
∴，即．
解得（舍去）．
∴，即；
（3）如图，延长，交于点，
∵四边形是菱形，
∴∥，，
∵∥，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵
∴，
∴．
∴菱形的边长为5．
【点睛】本题考查了相似三角形的运用以及菱形的性质，利用相似比求解即可．

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