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3.1排列与组合同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．某中学高三14班有50名学生，其中男生20人，女生30人，现采取分层随机抽样的方式从该班选取5名学生，再从选取的5名学生中随机选取3名学生参加学校的演讲比赛，则既有男生又有女生的选取方式有（ ）
A．6种 B．7种 C．8种 D．9种
2．已知一个等腰直角，空间中取不同的两点，（不计顺序），使得这两点与，，可组成正四棱锥，且，，三点不能同时在底面上，则有（ ）种不同的方案数.
A．3 B．6 C．9 D．12
3．有2男2女共4名大学毕业生被分配到三个工厂实习，每人必须去一个工厂且每个工厂至少去1人，且工厂只接收女生，则不同的分配方法种数为（ ）
A．12 B．14 C．22 D．24
4．某电影院中有如图所示A至J共10个座位，现有一对夫妇带领2个孩子（一男孩和一女孩）观看电影《八角笼中》，要求妈妈和女儿不坐在同一行也不坐在同一列，爸爸和儿子不坐在同一行也不坐在同一列，则不同的就座方法总数为（ ）
A B C D E
F G H I J
A．480 B．960 C．1040 D．1120
5．甲、乙等6人去三个不同的景区游览，每个人去一个景区，每个景区都有人游览，若甲、乙两人不去同一景区游览，则不同的游览方法的种数为（ ）
A．342 B．390 C．402 D．462
6．设集合，，那么集合中满足的元素的个数为（ ）
A．60 B．100 C．120 D．130
7．每天从甲地到乙地的飞机有5班，高铁有10趟，动车有6趟，公共汽车有12班.某人某天从甲地前往乙地，则其出行方案共有（ ）
A．22种 B．33种 C．300种 D．3 600种
8．随着国潮的兴起，大众对汉服的接受度日渐提高．目前中国大众穿汉服的场景主要有汉服活动、艺术拍摄、传统节日、旅游观光、舞台表演、日常活动、婚庆典礼7类．某自媒体博主准备从图片网站上精选8张中国大众穿汉服的照片，要求每类场景至多选2张，则不同的选择方案的种数为（ ）
A．252 B．162 C．357 D．324
二、多选题
9．5名学生站成一排，若学生甲不站两端，则不同站法共有（ ）
A．种 B．种
C．种 D．种
10．平面内有两组平行线，一组有10条，另一组有7条，且这两组平行线相交，则（ ）
A．这两组平行线有70个交点 B．这两组平行线可以构成140条射线
C．这两组平行线可以构成525条线段 D．这两组平行线可以构成945个平行四边形
11．现有带有编号的五个球及四个不同的盒子，则下列表述正确的有（ ）
A．全部投入4个不同的盒子里，允许有空盒，共有种放法
B．全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法
C．将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入），共有种放法
D．全部投入2个不同的盒子里，每盒至少一个，共有种放法
12．下列说法中正确的是（ ）
A．今有2只红球、3只黄球，同色球不加以区分，将这5只球排成一列，有 20种不同的方法
B．某足球联赛共有12支球队参加，每队都要与其余各队在主、客场分别比赛1次，共要进行132场比赛
C．由1，2，3，4，5，6，7这7个数字构成的7位正整数中，有且仅有两个偶数相邻的个数是2880
D．为了迎接2024连云港园博园灯会，灯会入口处安装了5个彩灯，他们闪亮的顺序不固定，每个彩灯只能闪亮红橙黄绿蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一次闪烁.在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒，如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是1200秒
三、填空题
13．因演出需要，身高互不相等的8名演员要排成一排成一个“波浪形”，即演员们的身高从最左边数起：第一个到第三个依次递增，第三个到第六个依次递减，第六、七、八个依次递增，则不同的排列方式有 种．
14．某公司人事部安排小张、小胡等6名工作人员去4个不同的岗位工作，其中每个岗位至少一人，每个人只去一个岗位工作，且小张、小胡这2人不在同一岗位工作，则不同的安排方法有 .
15．为落实好乡村振兴计划，某机关工会将李莉，王红等5名工作人员分配到3个乡村去指导工作，要保证每个乡村至少有一名工作人员做指导，其中李莉和王红必须在同一村指导工作，则不同的分配方案种数为 （用数字作答）.
16．在如图所示的三棱锥中，现有红、黄、蓝、绿4种不同的颜色供选择，要求相邻两个顶点不能涂相同颜色，则不同的涂色方法共有 ．
四、解答题
17．为庆祝3.8妇女节，某中学准备举行教职工排球比赛，赛制要求每个年级派出十名老师分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛．
(1)高二年级一共有多少不同的分组方案？
(2)若甲，乙两位男老师和丙，丁，戊三位女老师组成的队伍顺利夺得冠军，在领奖合影时从左到右站成一排，丙不宜站最右端，丁和戊要站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？
18．某班级周六的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语共6节课．
(1)如果数学和语文必须排在一起，则有多少种不同的排法？
(2)语文必须排第一课，物理和数学不能排一起，则不同的排法有多少种？
(3)如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排法？
(4)如果数学必须比语文先上，语文比英语先上（三课不一定连续上），则共有多少种不同的排法？
(5)原定的6节课已经排好，学校临时通知要增加生物、化学、地理3节课，若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，那么共有多少种不同的排法？
（答题要求：写上必要的文字说明，先列式，后计算）
19．近日，国家艺术基金（一般项目）2024年度资助项目名单公示，河北省共有27个项目入选，拟予立项.这27个项目分为青年艺术创作人才资助项 大型舞台剧和作品创作资助项目 美术创作资助项目 传播交流推广资助项目 小型剧（节）目和作品创作资助项目 艺术人才培训资助项目这6类，且这6类项目的项目数依次为8，7，4，4，2，2.某机构计划从这27个项目中选出6个项目进行针对性调研
(1)若要求从美术创作资助项目和传播交流推广资助项目中选出6个项目，且选出的美术创作资助项目数不小于传播交流推广资助项目数，共有多少种不同的选法？
(2)若要求从青年艺术创作人才资助项 大型舞台剧和作品创作资助项目 小型剧（节）目和作品创作资助项目 艺术人才培训资助项目这4类项目中选出6个项目（这4类项目都要有），且从青年艺术创作人才资助项 艺术人才培训资助项目中选出的项目数之和与从大型舞台剧和作品创作资助项目 小型剧（节）目和作品创作资助项目中选出的项目数之和相等，共有多少种不同的选法？
20．某大学A学院共有学生千余人，该学院体育社团为了解学生参与跑步运动的情况，按性别分层抽样，已知A学院男生与女生人数之比为，从该学院所有学生中抽取若干人作为样本，对样本中的每位学生在5月份的累计跑步里程进行统计，得到下表．
跑步里程s（）
男生 9 10 6
女生 6 6 4 2
用样本频率估计总体概率，
(1)求a的值，并估计从A学院所有学生中抽取一人，该学生5月份累计跑步里程（）在中的概率；
(2)从A学院所有男生中随机抽取2人，从A学院所有女生中随机抽取2人，估计这4人中恰有2人在5月份的累计跑步里程不低于的概率；
(3)该大学B学院男生与女生人数之比为，B学院体育社团为了解学生参与跑步运动的情况，也按性别进行分层抽样已知A学院和B学院的样本数据整理如下表．
5月份累计跑步里程平均值（单位：）
学院性别 A B
男生 50 59
女生 40 45
设A学院样本中学生5月份累计跑步里程平均值为，B学院样本中学生5月份累计跑步里程平均值为，是否存在，使得 如果存在，求的最大值；如果不存在，说明理由．
21．水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱．
(1)随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率；
(2)进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱；
(3)抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】利用分层抽样先计算出男生女生抽取的人数，再根据已知条件分类求出组合数之和即可.
【详解】由题知男生和女生的人数比例是，则从50名学生中选5名学生，
选到的男生有2（名），女生有（名），再从中随机选取3名，
既有男生又有女生的情况有2种，
情况一：1名男生2名女生，有（种）选取方式；
情况二：2名男生1名女生，有（种）选取方式，
故一共有（种）选取方式.
故选：D．
2．A
【分析】先假设点为的顶点，再分类讨论点是否为正四棱锥的顶点，结合正四棱锥的结构特征即可得解.
【详解】不妨设是等腰直角的两腰，则点为的顶点，
若以为正四棱锥的顶点，
则底面正方形可以为边, 如图1，共两种,
也可以为对角线，如图2，共一种，
若不以为正四棱锥的顶点时，由于，
故不管以哪个点为正四棱锥的顶点，都不可能组成正四棱锥，
综上，一共有三种不同的方案数.
故选：A.
3．B
【分析】按工厂接收的女生人数分两类，求出每类情况数，相加后得到答案.
【详解】按工厂接收的女生人数分类，
第一类：工厂仅接收1名女生，从2名女生中选1人，有种选择，
再把剩余的3人分为两组，和两工厂进行全排列，有种选择，
故有种分配方法；
第二类：工厂接收2名女生，则剩余的两个男生和两个工厂进行全排列，
有种分配方法．
综上，不同的分配方法有种．
故选：
4．C
【分析】根据题意，先排女性再排男性，由分步计数原理计算可得答案.
【详解】第一步：先让妈妈和女儿就座，第一行选一个位置，则第二行有4个位置可选择，故妈妈和女儿的就座方法数为；
第二步：让爸爸和儿子就座，不妨设妈妈和女儿分别选A，H，
则爸爸和儿子有BF，BI，BJ，CF，CG，CI，CJ，DF，DG，DJ，EF，EG，EI，
共13种选择，爸爸和儿子的顺序可换，故爸爸和儿子的就座方法数为；
根据分步乘法计数原理，共有（种）.
故选：C．
5．B
【分析】先分组再分配，先将人分成组，有、、三种分组可能，结合条件甲、乙两人不去同一景区游览，每种情况都先求出所有游览方法总数，减去甲乙去同一景区的方法总数，三种情况再求和即可.
【详解】去三个不同的景区游览，每个人去一个景区，每个景区都有人去游览，
则三个景区的人数有3种情况：①1，1，4型，则不同种数为；
②1，2，3型，则不同种数为；
③2，2，2型，则不同种数为．
所以共有种.
故选：B
6．D
【分析】明确集合中满足的含义，结合组合数的计算，即可求得答案.
【详解】由题意知集合中满足的元素的个数，
即指中取值为-1或1的个数和为1或2或3，
故满足条件的元素的个数为（个），
故选：D
7．B
【分析】利用分类加法计数原理计算即得.
【详解】从甲地到乙地不同的方案数为.
故选：B.
8．C
【分析】由题意确定不同的选法，结合组合数的运算即可求解.
【详解】从7类场景中选8张照片，且每类场景至多选2张，也可以不选，
则不同选法有，，，，
所以不同的选择方案的种数为.
故选：C．
9．BC
【分析】特殊元素优先排列，后排另外四名学生或由两端位置特殊，先考虑位置.
【详解】学生甲不站两端，则可选择中间三个位置，即有种站法，
剩余四名学生有四个位置可选，共种站法，
故共有种不同站法；
或先从其余四名学生中选出两人站在两端，有种站法，
剩余三名学生有三个位置可选，共种站法，
故共有种不同站法；
故选：BC.
10．ACD
【分析】根据给定条件，利用两个计数原理，结合组合应用问题逐项分析计算得解.
【详解】对于A，两组平行线相交有个交点，A正确；
对于B，一个交点可以引出4条射线，则可以构成条射线，B错误；
对于C，10条平行线中的每一条有条线段，7条平行线中的每一条有条线段，
则可以构成条线段，C正确；
对于D，10条平行线中的每2条平行线与7条平行线中的每2条平行线可以构成一个平行四边形，
则可以构成个平行四边形，D正确.
故选：ACD
11．ABC
【分析】根据分步乘法原理以及分组分配问题的解法，一一求解各选项中的球的放法，即可判断出答案.
【详解】对于A，五个球全部投入4个不同的盒子里，允许有空盒，
每个球都有4种投法，故共有种放法，A正确；
对于B，五个球全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，
则有2个球投入一个盒中，此时共有种不同的放法，B正确；
对于C，将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入），
先选出4个球，再选出一个盒子，共有种放法，C正确；
对于D，全部投入2个不同的盒子里，每盒至少一个，
先选出2个盒子，由种选法，再将5个球分成2组，若2组球个数比为，
则有种分法，若2组球个数比为，则有种分法，再将2组球放入2个盒子，
故此时共有种放法，D错误，
故选：ABC
12．BC
【分析】在个不同位置中选个位置排红球，在剩下的个不同位置排黄球，由分步乘法计数原理可判断A；在个队中任取个队，按主、客场进行比赛可判断B；先排这四个奇数，从这三个偶数中取两个看成一个整体，再将该整体同另外一个偶数按插空法排，由分步乘法计数原理可判断C；求出要实现所有不同的闪烁，需要的时间可判断D.
【详解】解：对选项A，分两步完成，第一步：在个不同位置中选个位置排红球，共种排法,
第二步：在剩下的个不同位置排黄球，共种排法,
故将这只球排成一列，有种不同的方法，故A错误．
对选项B， 根据题意，个队中,每队都要与其余各队在主、客场分别比赛一次,
需要在个队中任取个队，按主、客场进行比赛即可,
则有场，故B正确．
对于C，先排这四个奇数，共有种排法；
从这三个偶数中取两个看成一个整体,有种方法,
再将该整体同另外一个偶数按插空法排列有种排法,
两个偶数之间有种排法，故共有种,故C正确．
对于D，由题意知共有个不同的闪烁，
每个闪烁时间为秒，共秒；
每两个闪烁之间的间隔为秒，共秒．
那么需要的时间至少是秒，故D错误．
故选：BC.
13．181
【分析】依题意，重点要先排好3号位和6号位，余下的分类讨论分析即可.
【详解】依题意作图如下：
上面的数字表示排列的位置，必须按照上图的方式排列，其中3号位必须比12456要高，
1是1，2，3中最低的，6是3，4，5，6，7，8排列里最低的，3是1，2，3，4，5，6中排列最高的，8是6，7，8中最高的，
设8个演员按照从矮到高的顺序依次编号为1，2，3，4，5，6，7，8，
则 3号位最小是6，最大是8，下面分类讨论：
①第3个位置选6号，则7，8号放入最后两个位置是确定的，
所以先从1，2，3，4，5号中选两个放入前两个位置，
余下的3个号中放入4，5，6号顺序是确定的只有一种情况，此时共种情况；
②第3个位置选7号，则8号是确定的，放最后一个位置，
先从1，2，3，4，5，6号中选两个放入前两个位置，
余下的4个号中最小的放入6号位置，剩下3个选2个放入4，5两个位置，
余下的号放入7号位置，此时共种情况；
③第3个位置选8号：先从1，2，3，4，5，6，7号中选两个放入前两个位置，
余下的5个号中最小的放入6号位置，剩下4个选2个放入4，5两个位置，
余下的2个号放入最后两个位置，此时共种情况；
由分类计数原理可得共有种排列方式；
故答案为：181
14．1320
【分析】各组人数按、分类，先求出所有的方法总数，再求出小张、小胡这2人在同一岗位工作的方法总数，即可得出答案.
【详解】将6人分组有两种情况：、形式，
共有：种，
其中小张、小胡这2人在同一岗位工作的有以下情况：
当各组人数按分组：
小张、小胡必在3人组，从其余4人选1人与小张、小胡捆绑，有种，
此4组人任意安排到4个岗位，有种方法，故共有种；
当各组人数按分组：
小张、小胡必在其中一个2人组，从其余4人选2人为另一2人组，有种
此4组人任意安排到4个岗位，有种方法，故共有种；
小张、小胡这2人在同一岗位工作的安排方法有种.
所以种.
故答案为：1320.
15．36
【分析】根据题意可分为一个乡村分配3人，其余各村分配1人和一个乡村分配1人，2个乡村各分配2人的2种分配方案，从而可求解.
【详解】一个乡村分配3人，其余各村分配1人的分配方案有（种）；
一个乡村分配1人，2个乡村各分配2人的分配方案有（种）
.依据分类加法计数原理可知不同的分配方案种数为.
故答案为：.
16．
【分析】利用分步乘法计数原理即可得解.
【详解】依题意，先涂点，有种颜色可供选择；
再涂点，有种颜色可供选择；
接着涂点，有种颜色可供选择；
最后涂点，只有种颜色可供选择；
综上，利用分步乘法计数原理，不同的涂色方法共有.
故答案为：.
17．(1)120种；
(2)36种.
【分析】（1）利用分类加法计数原理，结合平均分组问题列式计算.
（2）按相邻问题及有位置限制问题，利用分步乘法计数原理列式计算即得.
【详解】（1）两组都是3女2男的情况有（种）：
一组是1男4女，另一组是3男2女的情况有（种），
所以总情况数为（种），故一共有120种不同的分组方案.
（2）视丁和戊为一个整体，与甲、乙任取1个站最右端，有种，
再排余下两个及丙，有种，而丁和戊的排列有种，
所以不同排列方式的种数是.
18．(1)240；
(2)72；
(3)504；
(4)120；
(5)504.
【分析】（1）利用捆绑法可解；
（2）利用插空法可解；
（3）对数学是否排在第一节分类讨论即可；
（4）定序问题利用除法可得；
（5）分步将3科插入空位可解.
【详解】（1）第一步，先将数学和语文排在一起，有种排法；
第二步，将数学和语文看成一个整体，与历史、物理、体育、英语一起全排，有种排法，
所以，数学和语文必须排在一起共有种排法.
（2）第一步，先排语文，有1种排法；
第二步，将历史、体育、英语排成一排，有种排法；
第三步，在第二步产生的4个空位中插入物理和数学，有种排法.
所以，总的排法有种排法.
（3）第一类，第一节排数学，其余五节任意排，有种排法；
第二类，第1步，从历史、语文、物理、英语中选一科排在第一节，有4种排法，
第2步，再从剩下的4个学科（不包括数学）中选一科排在最后一节，有4种排法，
第3步，中间4节任意排，有种排法，
所以，总的排法有.
综上，满足条件的排法有种.
（4）数学、语文、英语的上课顺序共有种，满足条件的顺序只有1种，
故满足条件的排法有种.
（5）第一步，先在7个空位中选择一个空位排生物，有7种；
第二步，在排入生物之后产生的8个空位选择一个空位排化学，有8种；
第三步，在排入化学之后产生的9个空位选择一个空位排地理，有9种.
所以，总的排法有种.
19．(1)22种；
(2)3136种
【分析】（1）首先分类，再结合组合数公式，即可求解；
（2）利用分类和分步计数原理，再结合组合数公式，即可求解.
【详解】（1）第一类，从美术创作资助项目中选出4个项目，从传播交流推广资助项目中选出2个项目，共有种不同的选法.
第二类，从美术创作资助项目中选出3个项目，从传播交流推广资助项目中选出3个项目，共有种不同的选法.
故共有种不同的选法.
（2）第一步，从青年艺术创作人才资助项 艺术人才培训资助项目中选出3个项目，共有种不同的选法.
第二步，从大型舞台剧和作品创作资助项目 小型剧（节）目和作品创作资助项目选出3个项目，共有种不同的选法.
故共有种不同的选法.
20．(1)，概率为
(2)
(3)存在满足条件的，且的最大值为
【分析】（1）先根据男女比即可求出，再根据古典概型即可求出所求概率；
（2）先分别求出在A学院所有男生中任取人，跑步里程不低于的概率及在A学院所有女生中任取人，跑步里程不低于的概率，再根据乘法公式求解即可；
（3）设学院女生人数为，则男生人数为，求出，，即可得到不等式，解得即可.
【详解】（1）依题意，解得，
所以在中的概率为；
（2）学院所抽取的学生中男生有人，
其中5月份的累计跑步里程不低于有人，
女生有人，
其中5月份的累计跑步里程不低于有人，
所以在A学院所有男生中任取人，跑步里程不低于的概率为，
在A学院所有女生中任取人，跑步里程不低于的概率为，
所以4人中恰有2人累计跑步里程不低于的概率为
；
（3）设B学院女生有人，则男生有人，
，
，
依题意，即，
显然，解得，所以的最大值为.
21．(1)
(2)一级果抽取6箱，二级果抽取2箱
(3)方差克，平均数克，预估平均质量为克
【分析】（1）利用组合知识和超几何分布求概率公式求出答案；
（2）利用分层抽样的定义进行求解；
（3）根据公式计算出总体样本平均质量和方差，并预估平均质量.
【详解】（1）设A事件为恰好选到一级果和二级果各一箱，
样本空间的样本点的个数，
A事件的样本点的公式，
所以；
（2）因为一级果箱数：二级果箱数，
所以8箱水果中有一级果抽取箱，二级果抽取箱；
（3）设一级果平均质量为，方差为，二级果质量为，方差为，
总体样本平均质量为，方差为，
因为，，，，
所以克，
克．
预估平均质量为克．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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