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(共74张PPT)
专题六　解析几何
微专题43
非对称韦达定理
圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点内容，非对称韦达定理的应用在高考中经常出现，常以解答题的形式压轴出现，难度较大.
考情分析
思维导图
内容索引
典型例题
热点突破
典例1　
考点一　两根之比型
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知y1>0，y2<0.
非对称处理方法一
非对称处理方法二
非对称处理方法三
【注】　方法三是逐个消掉y1，y2，其实就是代入消元法.
跟踪训练1　
易得P(0,1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由双曲线C与直线l相交于两个不同的点，
且1－a2≠0.
典例2　
考点二　系数不等型
设A(x1，y1)，B(x2，y2).
引入待定系数λ，使得y2－1＝λ(y1－1)，
易得λ＝－7，即y2－1＝－7(y1－1).
设直线l：x－2＝m(y－1)，与抛物线C：y2＝4x联立可得y2－4my＋4m－8＝0，
则y1＋y2＝4m，y1y2＝4m－8，
方法二　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l：x－2＝m(y－1)，
与抛物线C：y2＝4x联立可得y2－4my＋4m－8＝0，
则y1＋y2＝4m，y1y2＝4m－8.
代入上面两式，得y1＋y2＝－6y1＋8＝4m，
解得m＝2或m＝－1.
跟踪训练2　
解得b2＝4或b2＝8(舍去).
消去y，得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－8＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2).
因为T(1,0)，则直线l的方程为y＝k(x－1).
因为MN∥l，所以直线MN的方程为y＝kx，
消去y得(2k2＋1)x2＝8，
因为MN∥l，
在y＝k(x－1)中，令x＝0，则y＝－k，所以P(0，－k)，
②
③
代入③式，整理得50k4－83k2－34＝0，
典例3　如图，设F为椭圆C： 的右焦点，过点(2,0)的直线l与椭圆C交于A，B两点.
(1)若点B为椭圆C的上顶点，求直线AF的方程；
考点三　分式上、下不对称型
故直线AF的方程为y＝x－1.
设直线AB的方程为x＝my＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
得(m2＋2)y2＋4my＋2＝0，则Δ>0.
y1，y2的系数出现了不对称，可用如下处理手法.
非对称处理方法一　(y1y2转化为y1＋y2)
由(*)两式相除，可得y1＋y2＝－2my1y2，
【注】　y1＋y2，y1y2中，把y1y2转化成y1＋y2.
非对称处理方法二　(y1，y2保留y1)
【注】　y1，y2保留一个，分子、分母统一保留y1，故在分母处配y1＋y2.
非对称处理方法三　(y1，y2保留y2)
【注】　y1，y2保留一个，分子、分母统一保留y2，故在分子处配y1＋y2.
非对称处理方法四　(暴力求根)
【注】　首先结合韦达定理化去y1y2，然后暴力求根代入y1，y2，将分子、分母都用含m的式子表示，逐步消元得到结果.
跟踪训练3　如图，在平面直角坐标系Oxy中，已知椭圆C： 的左、右顶点分别为A，B，过右焦点F的直线与椭圆C交于点P，Q(点P在x轴的上方).设直线AP，BQ，BP的斜率分别为k1，k2，k3.
(1)求证：k2k3为定值；
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线PQ的方程为x＝my＋1，代入椭圆方程，
得(4＋3m2)y2＋6my－9＝0，
(2)是否存在常数λ，使得k1＝λk2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.
假设存在常数λ，使得k1＝λk2，
方法一　(消y1)
方法二　(积化和)
方法三　(和化积)
方法四　(升幂)
当直线PQ的斜率存在时，设PQ：y＝k(x－1)，
方法五　(换k)
在解决直线与圆锥曲线的位置关系的问题中，在遇到直线与圆锥曲线联立转化为一元二次方程，得到韦达定理后，发现不能直接应用韦达定理，这类问题叫做“非对称韦达问题”，处理这类问题常用两种方法，一是和积转换法，二是配凑半代换法.
总结提升
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∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|＝|NM|.
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因为b2＝a2－c2＝3c2＝3，
所以c＝1，a＝2，
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(2)设A，B分别为椭圆C的左、右顶点，若过点P(4,0)且斜率不为0的直线l与椭圆C交于M，N两点，直线AM与BN相交于点Q.证明：点Q在定直线上.
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方法一　设直线MN：x＝ty＋4，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
可得(3t2＋4)y2＋24ty＋36＝0，
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由对称性可知，点Q在垂直于x轴的直线上，
②
①
所以点Q在直线x＝1上.
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方法二　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，Q(x3，y3)，x1，x2，x3两两不等，
因为P，M，N三点共线，
②
①
整理得2x1x2－5(x1＋x2)＋8＝0.
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将①与②两式相除得
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解得x3＝4(舍去)或x3＝1(因为直线BQ与椭圆相交，故x3≠4)，
所以Q在定直线x＝1上.
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(2)设E的左、右顶点分别为A，B，过点 的直线l与E交于C，D两点，记直线AC的斜率为k1，直线BD的斜率为k2，________.(从以下①②③三个问题中任选一个填到横线上并解答).
①求直线AC和BD交点的轨迹方程；
②是否存在常数λ，使得k1＝λk2恒成立？
③过点C作关于x轴的对称点C′，连接C′D得到直线l1，试探究：直线l1是否恒过定点.
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选择①.
化简整理，得4(t2＋9)y2＋12ty－27＝0，
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所以直线AC和BD交点的轨迹方程是直线x＝6.
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选择②.
化简整理，得4(t2＋9)y2＋12ty－27＝0，
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选择③.
则C′(x1，－y1)，
化简整理，得4(t2＋9)y2＋12ty－27＝0，
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设直线C′D与x轴交于点M，由对称性可知，kCM＋kDM＝0，
则y1(x2－m)＋y2(x1－m)＝0，
所以y1(x2－m)＋y2(x1－m)＝x1y2＋x2y1－m(y1＋y2)
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即－9t＋(3－2m)·(－t)＝0，解得m＝6，
所以直线C′D恒过定点M(6,0).

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