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5.3.2课时3导数在解决实际问题中的应用
第一练 练好课本试题
【试题来源】来自人教A，人教B，苏教版，北师大版的课本试题，进行整理和组合；
【试题难度】本次训练试题基础，适合学完新知识后的训练，起到巩固和理解新知识的目的.
2.利用导数求解利润最大问题，锻炼数学建模能力，如第2题.
3.利用导数求解用料最省问题，培养数学建模，数学运算，如第4题.
一、解答题
1．将一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？
2．已知某商品进价为a元/件，根据以往经验，当售价是b元/件时，可卖出c件.市场调查表明，当售价下降10%时，销量可增加40%．现决定一次性降价，销售价为多少时，可获得最大利润？
3．将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，做成一个无盖方盒．
(1)试把方盒的容积V表示为x的函数；
(2)x多大时，方盒的容积V最大？
4．如图，用铁丝围成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为．为使所用材料最省，圆的直径应为多少？
5．用测量工具测量某物体的长度，由于工具的精度以及测量技术的原因，测得n个数据，，，…，．证明：用n个数据的平均值表示这个物体的长度，能使这n个数据的方差最小．
6．已知某商品进价为a元/件，根据以往经验，当售价是b元/件时，可卖出c件.市场调查表明，当售价下降10%时，销量可增加40%．现决定一次性降价，销售价为多少时，可获得最大利润？
【易错题目】第4题
【复盘要点】与平面几何图形有关的问题，不会根据题意列代数式.
【复盘训练】
7．某工厂需要建一个面积为的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，则要使砌墙所用材料最省，则堆料场的长和宽各为（ ）
A．16 m，16m B．32m，16m
C．32 m，8m D．16m，8m
（2024·全国·高二专题练习）
8．某同学为研究函数的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形和，点是边上的一个动点，设，则．请你参考这些信息，推知函数的极值点是 ；函数的值域是 ．

9．某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为，问x、y分别为多少时用料最省？
（2024上·上海·高一上海市宜川中学校考期末）
10．学校要建造一个面积为10000平方米的运动场. 如图，运动场由一个矩形和分别以、为直径的两个半圆组成. 跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其它地方均铺设草皮. 已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元.
(1)设半圆的半径（米），试建立塑胶跑道面积与的函数关系式；
(2)由于条件限制，问当取何值时，运动场造价最低 （精确到元）.
（2023上·上海浦东新·高三上海市建平中学校考阶段练习）
11．某中学为美化校园将一个半圆形边角地改造为花园．如图所示，为圆心，半径为千米，点、、都在半圆弧上，设，，其中．
(1)若在花园内铺设一条参观的线路，由线段、、三部分组成，求当取何值时，参观的线路最长；
(2)若在花园内的扇形和四边形内种满杜鹃花，求当取何值时，杜鹃花的种植总面积最大．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．两段铁丝的长度均为.
【分析】设一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为且，进而可得两个正方形的面积，利用导数求它的最小值，进而确定最小时两段铁丝的长度(两个正方形的周长)即可.
【详解】设一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为，
∴两个正方形的面积和，则，
∴时，
故当时，，单调递减；当时，，单调递增；
∴当时，的极小值也是最小值为，此时另一个正方形的边长也为.
综上，当两段铁丝的长度都为时，它们的面积和最小.
2．
【分析】设销售价为x，则降价相对于售价是b时，降低了个10%，从而销量提高了个40%，从而求得可获得的利润为y，求导，由导数求得函数最大值，此时取得的x的值即为销售价.
【详解】设销售价为x，可获得的利润为y，
则，
求导得，令，
解得，由知，，
当时，，函数单增；
当时，，函数单减；
因此是函数的极大值点，也是最大值点；
故当销售价为元/件时，可获得最大利润.
3．(1)
(2)
【分析】（1）根据长方体的体积公式进行求解即可；
（2）利用导数进行求解即可.
【详解】（1）由题意可知：无盖方盒的棱长分别为：，，，
所以方盒的容积；
（2）
解得：，
当时函数递减，当时函数递增，所以当时，盒的容积V最大.
4．
【分析】假设圆的半径为，矩形的长为，根据题目信息得到关系式，再将图形的周长表示出来得，最后构造函数，求导判断函数取得最小值时的值即可.
【详解】设圆的半径为，则半圆的面积为，
所以矩形的宽为，设矩形的长为，则矩形的面积为，
所以，即，
该图形的周长为，
令，所以，
令
解得：（舍负），
所以函数在上单调递减，在上单调递增
所以当即时，函数取得最小值.
即圆的直径时，所需材料最省.
5．证明见解析；
【分析】对方差求导，求得单调区间，在处取得最小值.
【详解】，
则当时，，
，，函数单减；，，函数单增；
方差在时，取得最小值.
6．
【分析】设销售价为x，则降价相对于售价是b时，降低了个10%，从而销量提高了个40%，从而求得可获得的利润为y，求导，由导数求得函数最大值，此时取得的x的值即为销售价.
【详解】设销售价为x，可获得的利润为y，
则，
求导得，令，
解得，由知，，
当时，，函数单增；
当时，，函数单减；
因此是函数的极大值点，也是最大值点；
故当销售价为元/件时，可获得最大利润.
7．B
【分析】求出新墙总长度的表达式，利用导数判断其单调性，确定最小值点，即可求得答案.
【详解】如图所示，设场地一边长为xm，则另一边长为m，
因此新墙总长度，则，
令，得或(舍去)，
当时，，当时，，
则L在上单调递减，在上单调递增，
∴是L的最小值点，此时，
故当堆料场的宽为16 m，长为32 m时，可使砌墙所用的材料最省.
故选：B
8．
【分析】结合图形分析可知当点为线段的中点时，三点共线，此时函数取得最小值，再结合函数的图象的对称轴为，当在点或点时，取得最大值，可得函数的值域.
【详解】显然当点为线段的中点时，三点共线，
此时，且函数取得最小值，
函数的图象的对称轴为，当在点或点时，取得最大值，
当时，函数单调递减，
，所以值域为；
当时，函数单调递增，，所以值域为，
所以函数的值域为．
故答案为：；.
9．
【分析】根据框架围成的总面积求出，进而表示出框架用料长度的表达式，求导，利用导数判断函数单调性，即可求得x、y分别为多少时用料最省.
【详解】依题意，上部等腰直角三角形的直角边长为，则有，
所以，
于是框架用料长度为，
则，令，即，
解得，(舍去)，
当时，；
当时，，
所以，当时，l取得最小值．
即当时，用料最省.
10．(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件，求出塑胶跑道面积表达式，并确定定义域；
（2）根据已知条件写出运动场造价的表达式，判断函数的单调性，求最小值即可.
【详解】（1）塑胶跑道面积
因为所以，故定义域为
（2）设运动场造价为元；
，令，
，当时，解得，
所以在上恒成立，所以在上为减函数，
所以函数在上为减函数，因为，
所以当时，运动场造价最低为626510元.
11．(1)
(2)
【分析】（1）根据题设用表示出、、，应用倍角余弦公式、换元法及二次函数性质求参观路线的最大长度对应的取值；
（2）利用扇形、三角形面积公式用表示出扇形、、的面积，再应用导数求种植总面积最大对应的取值.
【详解】（1）解：如下图，连接，则，
在中，，即，
同理可得，且，
所以参观路线的长度，
令，即.
当时取得最大值，此时，即时，参观路线最长.
（2）解：由题知：扇形的面积，
的面积，
的面积，
所以杜鹃花的种植总面积，
，
令得或（舍），因为，所以，，
当时，单调递增，当时，单调递减，
所以时，杜鹃花的种植总面积最大.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页5.3.2课时3导数在解决实际问题中的应用
第一课 解透课本内容
[课标要求]
能熟练应用导数在解决实际问题.
[明确任务]
能熟练应用导数在解决实际问题.【数学建模，数学运算，直观想象】
函数的最值
（1）在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
（2）若函数f（x）在[a，b]上单调递增，则f（a）为函数的最小值，f（b）为函数的最大值；若函数f（x）在[a，b]上单调递减，则f（a）为函数的最大值，f（b）为函数的最小值．
知识点 导数在解决实际问题中的应用
生活中经常会遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．用导数解决优化问题的实质是求函数的最值．
（1）解决优化问题需要具有一定的分析问题的能力，能够将实际问题转化为数学模型，其中主要的数学模型是函数模型，即将实际问题中要求的未知量列成关于其中一个变量的函数，再根据所列函数的性质求解．
（2）解决优化问题的途径之一是通过搜集大量的统计数据，并对数据进行整理和分析，建立与其相应的函数模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有力的工具．
注意 利用导数解决实际问题中的最值问题时应注意的事项
（1）在求实际问题的最大（小）值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合题意的自变量的范围应舍去．
（2）区间内只有一个点使时，如果函数在该点有极大（小）值，那么不与端点值比较，也可以知道这是最大（小）值．
（3）当问题涉及多个变量时，应根据题意分析它们的关系，找出它们之间的关系式，用尽可能少的变量表示所求量．
解读：①解决优化问题的关键是建立数学模型和目标函数，把问题情境转化为数学语言．在进行转化时应首先审题，分析结构，深刻认识问题的实际背景，确定主要矛盾，捉主元，找主线；其次是提出必要假设，把问题的主要关系式近似化、形式化，抽象成数学问题，再化归为常规问题，选择合适的数学方法来求解；最后检验得出所求问题的解．
②所谓建立函数关系，就是把“结论变量”写成“条件变量”的函数，即结论变量（条件变量），如果函数式中还有其他变量，那么需要通过辅助条件消去其他变量最后化为一个一元函数．
例1（教材例题）某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是，其中r（单位：）是瓶子的半径．已知每出售的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为．
（1）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
（2）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
解：由题意可知，每瓶饮料的利润是
，．
所以．
令，解得．
当时，；当时，．
因此，当半径时，，单调递增，即半径越大，利润越高；当半径时，，单调递减，即半径越大，利润越低．
（1）半径为时，利润最大．
（2）半径为时，利润最小，这时，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．
归纳总结 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
（1）审题：阅读题干，理解题干中文字表达的含义，分析实际问题中各量之间的关系．
（2）建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系．
（3）解模：把数学问题化归为求最值问题．
①求函数的导数，解导数值为0的方程；
②比较函数在区间端点和使导数值为0的点处的函数值的大小即得最大（小）值．
（4）根据实际问题的意义，写出答案．
注意：在将实际问题转化为数学问题时，要注意所设变量的取值范围．
【举一反三】（2023下·北京·高一清华附中校考期中）
1．为了丰富社区居民文化生活，某小区准备在一块空地上建一个社区活动中心.如图，该小区内有两条互相垂直的道路与，有一块空地.以O为坐标原点，直线与为坐标轴建立坐标系，曲线是函数图像的一部分，线段是函数图像的一部分.社区活动中心的平面图是梯形（其中，点M在曲线上，点N在线段上，和为两底边）.设梯形的高为x米，梯形的面积是平方米.
(1)求函数的解析式和定义域；
(2)为使得社区活动中心的占地面积最大，x等于多少米 并求出最大面积.
2．已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为
A．13万件 B．11万件
C．9万件 D．7万件
（2023下·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）
3．已知一长方体纸箱（有盖），底面为边长为的正方形，高为，表面积为12，当该纸箱的体积最大时，其底面边长为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
4．在周长为常数的所有矩形中，面积的最大值是
5．某厂生产某种产品件的总成本（万元），已知产品单价的平方与产品件数成反比，生产件这样的产品单价为万元，则产量定为 件时，总利润最大．
6．某种产品每件成本为6元,每件售价为元(),年销售万件,若已知与成正比,且售价为10元时,年销量为28万件.
(1)求年销售利润关于售价的函数关系式.
(2)求售价为多少时,年利润最大,并求出最大年利润.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．(1)，定义域为
(2)当(米)时，的最大值为.
【分析】（1）联立方程求得点坐标，根据题意得出，，利用梯形面积公式求解；
（2）利用导数，结合函数的单调性求解最值.
【详解】（1）由，解得，∴，
∵，
∴，又，
∴，定义域为.
（2），
，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以，当(米)时，取极大值也是最大值，最大值为.
2．C
【详解】解：令导数y′=-x2+81＞0，解得0＜x＜9；
令导数y′=-x2+81＜0，解得x＞9，
所以函数y=- x3+81x-234在区间（0，9）上是增函数，
在区间（9，+∞）上是减函数，
所以在x=9处取极大值，也是最大值，故选C．
3．B
【分析】根据长方体的表面积列方程，由此化简长方体的体积，利用导数求得体积最大时对应的底面边长.
【详解】依题意，，
由解得，
所以长方体的体积，
，
所以在区间上单调递增；
在区间上单调递减.
所以当时，长方体的体积取得最大值.
故选：B
4．
【分析】设矩形的长宽分别为，，可得，化为．利用基本不等式即可求解.
【详解】设矩形的长宽分别为，，面积为，则，化简得，
所以，当且仅当时取等号.
故答案为：.
5．
【分析】先设产品单价为，根据产品单价的平方与产品件数成反比，所以，由生产件这样的产品单价为万元，求出；再记生产件产品时，总利润为,
可得，用导数的方法研究其单调性，即可求出结果.
【详解】设产品单价为，因为产品单价的平方与产品件数成反比，所以,（其中为非零常数），
又生产件这样的产品单价为万元，所以，
故，所以，
记生产件产品时，总利润为,
所以,
则，
由，得；由，得，
故函数在上单调递增，在上单调递减，
因此当时，取最大值，即产量定为件时，总利润最大．
故答案为:
6．(1) (2) 售价为9元时,年利润最大,最大年利润为135万元
【详解】试题分析：（1）根据题中条件：“若已知与成正比，可设再依据售价为10元时，年销量为28万件求得k值，从而得出年销售利润y关于x的函数关系式．
（2）利用导数研究函数的最值，先求出y的导数，根据y′>0求得的区间是单调增区间，y′<0求得的区间是单调减区间，从而求出极值进而得出最值即可．
试题解析：
(1)设
售价为10元时, 年销量为28万件,
,解得
，
，
，
，
(2)

令,得(舍去),或
当时, ;当时, .
函数在上是递增的, 在上是递减的.
当时,取最大值,且
售价为9元时,年利润最大,最大年利润为135万元.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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