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5.3.2课时3导数在解决实际问题中的应用
第二练 强化考点训练
【试题来源】来自名校、重点市区的月考、期中、期末的优质试题.
【试题难度】难度中等，配合第二课的题型训练，加强考点的理解和扩展.
【目标分析】
1.利用导数求解立体几何中的最值问题，培养直观想象，数学建模，如第2，3题.
2.利用导数求解利润最大问题，锻炼数学建模能力，如第7题.
3.利用导数求解用料最省问题，培养数学建模，数学运算，如第12题.
1．在某城市的发展过程中,交通状况逐渐受到更多的关注,据有关统计数据显示,从上午6时到9时,车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用函数表示为: ,则在这段时间内,通过该路段用时最多的时刻是（ ）
A．6时 B．7时
C．8时 D．9时
（2023下·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）
2．一个矩形铁皮的长为，宽为，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，若记小正方形的边长为，小盒子的容积为，则（ ）
A．当时，V取得最小值 B．当时，V取得最大值
C．当时，V取得最小值 D．当时，V取得最大值
（2023上·安徽合肥·高三合肥一六八中学校考阶段练习）
3．如图，在边长为的正三角形的三个角处各剪去一个四边形.这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等，如图①.若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器，如图②.则这个容器的容积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
（2023·山西临汾·校考模拟预测）
4．已知圆锥的母线长为4，当圆锥的体积最大时，其表面积为（ ）
A． B．
C． D．
（2023上·广东广州·高三统考阶段练习）
5．对一个质地均匀的实心圆锥体工件进行加工，已知该工件底面半径为12cm，高为8cm，加工方法为挖掉一个与该圆锥体工件同底面共圆心的内接圆柱.若要使加工后工件的质量最轻，则圆柱的半径应设计为（ ）
A． B． C． D．
（2023下·甘肃天水·高二天水市第一中学校考阶段练习）
6．从商业化书店到公益性城市书房，再到“会呼吸的文化森林”--图书馆，建设高水平 现代化 开放式的图书馆一直以来是大众的共同心声，现有一块不规则的地，其平面图形如图1所示，（百米），建立如图2所示的平面直角坐标系，将曲线AB看成函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分，若在此地块上建立一座图书馆，平面图为直角梯形（如图2），则图书馆占地面积（万平方米）的最大值为（ ）

A．2 B． C． D．
（2023下·四川绵阳·高二统考期中）
7．当下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生课外学习的一种趋势，假设某网校套题的每日销售量（单位：千套）与销售价格（单位：元/套）满足关系式，其中，为常数．已知当销售价格为元/套时，每日可售出千套．假设该网校的员工工资、办公损耗等所有开销折合为每套题元（只考虑售出的套数），要使得该网校每日销售套题所获得的利润最大，则销售价格应确定为（ ）
A．元/套 B．元/套 C．元/套 D．元/套
（2023上·福建泉州·高三福建省泉州第一中学校考阶段练习）
8．生态学研究发现：当种群数量较少时，种群数量近似呈指数增长；而当种群数量达到某个值后，增长率就会随种群数量的增加而逐渐减小，逻辑斯谛模型（，，均为正数）可以用来刻画这种现象，其中是初始时刻种群数量，是种群的内秉增长率，是环境容纳量，表示时刻的种群数量.下列说法正确的是（ ）
A．若，则存在，；
B．若，则存在，；
C．若，则对任意，的导函数恒大于；
D．若，则的导函数在有最大值．
（2024上·江苏南京·高二校联考期末）
9．某个体户计划同时销售A，B两种商品，当投资额为x千元时，在销售A，B商品中所获收益分别为千元与千元，其中，，如果该个体户准备共投入5千元销售A，B两种商品，为使总收益最大，则B商品需投 千元．
（2024·湖南长沙·统考一模）
10．已知正四棱锥的顶点均在球的表面上.若正四棱锥的体积为1，则球体积的最小值为 .
（2024上·湖南·高二湖南师大附中校考期末）
11．用总长为的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一边比另一边的长多，那么高为多少时容器的容积最大？最大容积是多少？
（2024上·江苏宿迁·高二统考期末）
12．某学校为创建高品质示范高中，准备对校园内某一墙角进行规划设计.如图所示，墙角线和互相垂直，墙角内有一景观，到墙角线、的距离分别为20米、10米，学校欲过景观修建一条直线型走廊，其中的两个端点分别在这两墙角线上.

(1)为了使三角形花园的面积最小，应如何设计直线型走廊？
(2)考虑到修建直线型走廊的成本，怎样设计，才能使走廊的长度最短？
（2023上·福建福州·高三福建省福州第一中学校考期中）
13．福州某公园有一个半圆形荷花池（如图所示），为了让游客深入花丛中体验荷花美景，公园管理处计划在半圆形荷花池中设计栈道观景台和栈道、、、，观景台在半圆形的中轴线上（如图，与直径垂直，与不重合），通过栈道把荷花池连接起来，使人行其中有置身花海之感．已知米，，栈道总长度为．

(1)求关于的函数关系式．
(2)若栈道的造价为每米千元，问：栈道长度是多少时，栈道的建设费用最小？并求出该最小值．
【易错题目】第4，5，10题
【复盘要点】与立体几何有关的最值问题
（2023上·江苏淮安·高三统考开学考试）
【典例】球是圆锥的内切球，若球的半径为，则圆锥体积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】取圆锥的轴截面，设，可得出，，利用锥体的体积公式可得出圆锥的体积为，令，，利用导数求出函数的最小值，即可得出圆锥体积的最小值.
【详解】如下图所示：
取圆锥的轴截面，设，则，
则，则，
所以，该圆锥的体积为
，
令，令，其中，
则，当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，当时，取最小值，即.
故选：C.
【复盘训练】
（2023·全国·模拟预测）
14．已知六棱锥的所有顶点都在半径为2的球的球面上，当六棱锥的体积最大时，其侧棱长为（ ）
A． B． C． D．
（2024·陕西咸阳·校考模拟预测）
15．已知正四棱锥内接于表面积为的球，则此四棱锥体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
（2024下·山东德州·高三统考开学考试）
16．已知球的半径为2，三棱锥的顶点为，底面的三个顶点均在球的球面上，则该三棱锥的体积最大值为（ ）
A． B． C． D．2
（2023下·广东广州·高二统考期末）
17．用半径为的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器．当该容器的容积最大时，扇形的圆心角 ．
（2023·河南·模拟预测）
18．已知正四棱锥的底面边长为，高为，且，该四棱锥的外接球的表面积为，则的取值范围为 ．
（2023上·上海闵行·高二校联考期中）
19．高二学农期间，某高中组织学生到工厂进行实践劳动.在设计劳动中，某学生欲将一个底面半径为，高为的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.
(1)求该圆柱的侧面积的最大值；
(2)求该圆柱的体积的最大值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】根据导数判断单调性，求解最值即可.
【详解】，令，得 (舍去)或.当时, ,当时, ,所以当时, 有最大值.
故选：C.
2．B
【分析】求出小盒子的容积，通过求导判断函数的极值情况即可求解.
【详解】小盒子的容积为，
则，令，解得或（舍），
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得极大值也是最大值，无极小值，故B正确.
故选：B.
3．C
【分析】设出容器的高，求出容器容积的函数关系，利用导数求出最大值即得.
【详解】设容器的高为，则容器底面正三角形的边长为，
则三棱柱形容器容积，
求导得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以当时，.
故选：C
4．C
【分析】根据题意，设圆锥的底面圆的半径为，高为，求得圆锥的体积为，令，求得，求得函数的单调性，得到时，圆锥的体积取得最大值，再结合圆锥的侧面积和圆的面积公式，即可求解.
【详解】设圆锥的底面圆的半径为，高为，则，
则圆锥的体积为，
令，可得，令，解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，当时，取得最大值，即圆锥的体积取得最大值，
此时，圆锥的表面积为.
故选：C.
5．A
【分析】设挖去的圆柱的底面半径为，高为，再设圆柱的轴截面为矩形，底面圆心为，连接，根据，求得，得到圆柱的体积为，求得，得到函数的单调性和最大值，进而得到结论.
【详解】设挖去的圆柱的底面半径为，高为，取圆锥的轴截面，如图所示，
设圆柱的轴截面为矩形，底面圆的圆心为，连接，交于点，
因为，则，即，解得，其中，
则圆柱的体积为，其中，
可得，
令，解得或（舍去），
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，函数取的最大值，最大值为，
所以，当时，工件的质量最轻.
故选：A.

6．D
【分析】先根据，求出，直线的方程，然后设后得到，点坐标进而得，再利用导数求最值.
【详解】因，故，由题意
直线的方程为：，即，
将代入得，得，
所以，
因在直线上，可设，
因在上，故，,
所以，，，
直角梯形的面积，
即，
，
令得，又，所以在区间上单调递增，
令得或，又，所以在区间上单调递减，
故当时，取得最大值为，
故选：D
7．B
【分析】根据题意确定的值，然后求出该网校每日销售套题所获得的利润的解析式，利用导数求解最大值即可.
【详解】因为当时，，所以，解得.
每日的销售量，
所以该网校每日销售套题所获得的利润为
，
从而，令，得.
在区间上，单调递增；
在区间上，单调递减；
在区间上，单调递增，
而，
因为，所以当时，该网校每日销售套题所获得的利润最大.
故选：B.
8．ACD
【分析】对A：代入数据解方程即可得；对B：计算即可得；对C：求导计算即可得；对D：构造，求导后计算函数的单调性即可得最值.
【详解】对于A：，解得，，正确；
对于B：，，故，
，故，即，错误；
对于C：，，
故对任意，的导函数恒大于，正确；
对于D ：令，
则，，
令得，解得，
令得，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
那么的导函数在上存在极大值，也是最大值，正确.
故选：ACD．
【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数求函数的最值，函数的应用，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中构造新函数，求导得到函数的的单调区间进而求最值是解题的关键.
9．##1.5
【分析】列出利润关于投资B商品x千元的函数，利用导数判断函数的单调性，再求函数的最大值及对应的x的值.
【详解】设投入经销B商品x千元，则投入经销A商品的资金为千元，所获得的收益千元，
则，
可得，
当时，可得，函数单调递增；
当时，可得，函数单调递减；
所以当时，函数取得最大值，最大值为.
故答案为：
10．##
【分析】由底面外接圆的半径、正四棱锥的高以及外接球的半径的关系，结合已知条件可得，故只需求出外接球半径的最小值即可.
【详解】设球的半径为，正四棱锥的高、底面外接圆的半径分别为，.
如图，球心在正四棱锥内时，由，可得，
即（*）.

球心在正四棱锥外时，亦能得到（*）式.
又正四棱锥的体积为，则，代入（*）式可得.
通过对关于的函数求导，即，
易得函数在单调递减，在单调递增，
则.从而，球的体积的最小值.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：关键是首先得到，从而通过导数求得外接球半径的最小值即可顺利得解.
11．当长方体容器的高为时，容积最大，最大容积为.
【分析】设底面的一边的长为，求出另一边的长为，以及高，表示出体积，利用导数求出最大值即可.
【详解】设底面的一边的长为，另一边的长为.
因为钢条长为，所以，长方体容器的高为.
设容器的容积为，
则，
，
解得（舍去），，
当时，，在单调递增；
当时，，在单调递减；
因此，是函数在内的极大值点，也是最大值点.
此时长方体容器的高为.
所以，当长方体容器的高为时，容积最大，最大容积为.
12．(1)，，此时
(2)，，此时最短.
【分析】（1）首先表示直线方程，并求点的坐标，并表示三角形的面积，结合基本不等式，即可求解；
（2）根据（1）的结果表示，同时构造函数，并利用导数判断函数的单调性，并求函数的最值.
【详解】（1）如图，以，所在直线为轴和轴建立平面直线坐标系，

并由条件可知，点，
设直线的方程，
当时，，当时，，
即，，
,
当时，即时，等号成立，
所以面积的最大值为平方米；
此时直线的方程为，即，，
此时
（2）由（1）可知，，
，
设，，
，，
令，则，
当时，，函数在区间单调递减，
当时，，函数在区间单调递增，
所以当时，函数取得最小值，
所以当，，此时最短.
13．(1)，
(2)栈道长度是时建设费用最小，最小值为千元
【分析】（1）根据三角函数的概念分别求、、的长度即可；
（2）求出的导函数，得到函数的单调性，进而即可求出最值.
【详解】（1）因为在半圆形的中轴线上，，米，，
所以，，
所以，
所以栈道总长度
，.
（2）由（1）得，，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以当，即时，栈道的建设费用最小，
建设费用最小值为千元.
14．A
【分析】由该六棱锥为正六棱锥时，其体积最大结合体积公式得出，利用导数得出体积最大值，进而得出侧棱长.
【详解】由题意知，六棱锥的底面六边形的顶点在同一个截面圆上．
易知当六边形为正六边形时，其面积最大．要使六棱锥的体积最大，则该六棱锥为正六棱锥．
不妨设正六边形的边长为，六棱锥的高为，
则正六边形的外接圆的半径为．
由球的性质可知，，则，
所以正六棱锥的体积．
设，则．
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减．
当时，取得最大值，即时，取得最大值，此时，
所以正六棱锥的侧棱长．
故选：A．
【点睛】关键点睛：当圆内接多边形为正多边形时，多边形的面积最大；当球的内接多棱锥为正多棱锥（如上题）时，该多棱锥的体积最大．
15．A
【分析】设出正四棱锥的高，然后将正四棱锥的体积表示为关于的函数，利用导数确定的单调性，从而可求的最大值，则体积最大值可知.
【详解】设为底面的中心，则三点共线，连接，
因为球的表面积为，所以球的半径，
设四棱锥的高为，
则，
所以正四棱锥的体积，
令，则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以当时，取得最大值，即该四棱锥体积的最大值为.
故选：A.
16．C
【分析】设三棱锥底面外接圆半径为，可得为正三角形时面积最大，三棱锥的高，求得三棱锥的体积，再利用不等式求出体积的最大值.
【详解】如图，设点为三棱锥底面外接圆的圆心，半径为，
则棱锥的高，
设圆内接三角形的任意一条弦，如图，，其中是高，要使内接三角形面积最大，必垂直与，
即，设弦对应的圆心角为，则，，
因此，，
，，，
当，即时，，所以面积单调递增，当，
即时，，所以面积单调递减，
所以当，即时，最大，此时，
因此，半径为的圆内接为正三角形时，面积最大，

此时，
，
当且仅当，即时等号成立.
故选：C.

【点睛】关键点睛：本题关键是平面几何知识：半径为的圆，其内接三角形面积最大是当时正三角形时.
17．
【分析】设圆锥底面半径为，高为 ，那么，再根据，代入得到 ，利用导数求得函数的最大值，以及和，而圆心角.
【详解】设圆锥的底面半径为，高为，体积为，则，
因此，
则，令 ，解得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时容积最大，
把代入，得
由，得，
即圆心角为时容积最大.
故答案为：
18．
【分析】作出辅助线，找到球心的位置，列出方程，求出半径与的关系式，利用导函数得到其单调性和最值情况，得到表面积的取值范围.
【详解】连接相交于点，连接，则⊥平面，
球心在上，连接，则，，
因为正四棱锥的底面边长为，所以，
在直角三角形上，由勾股定理得，
即，，解得，
由，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以在取得极小值，也是最小值，此时，
又当和时，，
所以，则.
故答案为：
19．(1)
(2)
【分析】（1）设圆柱的半径为，高为，由题意得，用表示，计算圆柱的侧面积，利用基本不等式求出侧面积的最大值．
（2）写出圆柱的体积解析式，利用导数求出圆柱体的最大体积．
【详解】（1）设圆柱的半径为，高为，
则由题意可得，解得，
所以圆柱的侧面积为，，
因为，
当且仅当，即时取“”，所以圆柱的侧面积最大值为．
（2）圆柱的体积为，
求导，得，
令，解得或（不合题意，舍去），
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
当时，取最大值，
所以圆柱体的最大体积为．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页5.3.2课时3导数在解决实际问题中的应用
第二课 归纳核心考点
题型一 面积、体积最值问题
例1 用长为、宽为的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转，再焊接而成（如图所示）．问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？
【思路分析】
【解】设容器的高为，容器的容积为，
则．
所以．
令，得或（舍去）．（提示：注意不要忽视所设函数的定义域）
当时，，即单调递增；
当时，，即单调递减．
因此，在内，函数只有当时取得最大值，其最大值．
因此当容器的高为时，容器的容积最大，最大容积为．
【方法总结】（1）求几何体面积或体积的最值问题，关键是分析几何体的结构特征，根据题意选择适当的自变量建立面积或体积的函数，然后再利用导数求最值．
（2）实际问题中函数定义域的确定方法：
①根据图形确定定义域，如本题中长方体的长、宽、高都大于零；
②根据问题的实际意义确定定义域，如人数必须为整数、销售量不小于零等．
【变式训练1-1】
[山东菏泽2022高二期中]
1．把一个周长为12的长方形围成一个圆柱，当该圆柱的体积最大时圆柱高为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练1-2】
[山东枣庄滕州一中2023高二月考]
2．长征五号B运载火箭是专门为中国载人航天工程空间站建设而研制的一款新型运载火箭，是中国近地轨道运载能力最大的新一代运载火箭，长征五号有效载荷整流罩外形是冯·卡门外形（原始卵形）+圆柱形，由两个半罩组成，某学校航天兴趣小组制作整流罩模型，近似一个圆柱和圆锥组成的几何体，如图所示，若圆锥的母线长为6，且圆锥的高与圆柱高的比为，则该模型的体积最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-3】
[广东茂名第一中学2023高二期中]
3．如图，某几何体的形状类似胶囊，两头都是半球，中间是圆柱，其中圆柱的底面半径与半球的半径相等（半径大于1分米）.若该几何体的表面积为平方分米，其体积为立方分米，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型二 用料（费用）最省问题
例2 某网球中心欲建造数块连成片的网球场，用128万元购买土地10000平方米，该中心每块球场的建筑面积为1000平方米，球场的总建筑面积的每平方米的平均建设费用与球场数有关，当该中心建球场块时，每平方米的平均建设费用（单位：元）可近似地用来表示．为了使该球场每平方米的综合费用最省（综合费用是建设费用与购地费用之和），该网球中心应建几个球场？
【思路分析】先求球场总建筑面积的每平方米的购地费用，再利用综合费用是建设费用与购地费用之和建立函数．
由题可知，且（提示：注意定义域为正整数），球场总建筑面积的每平方米的购地费用为（元）．
因为每平方米的平均建设费用（单位：元）可近似地用来表示，
所以每平方米的综合费用（单位：元）为（，且）．
令，
则的图象为图象上横坐标为整数的点，所以．
令，则，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，函数取得极小值，且为最小值，即取得最小值．
故该网球中心应建8个球场，此时每平方米的综合费用最省．
【方法总结】实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题一般都需要利用导数求解相应函数的最小值．根据求出极值点（注意根据实际意义舍去不合适的极值点）后，函数在该点附近满足左减右增，则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值．
【变式训练2-1】
[吉大附中实验学校2023高二月考]
4．已知泳池深度为，其容积为，如果池底每平方米的维修费用为元．设入水处的较短池壁长度为，且据估计较短的池壁维修费用与池壁长度成正比，且比例系数为，较长的池壁总维修费用满足代数式，则当泳池的总维修费用最低时的值为 ．
【变式训练2-2】
[山东济宁邹城2022高二期中]
5．某城镇在规划的一工业园区内架设一条16千米的高压线，已知该段线路两端的高压线塔已经搭建好，余下的工程只需要在已建好的两高压线塔之间等距离的再修建若干座高压电线塔和架设电线．已知建造一座高压线电塔需2万元，搭建距离为x千米的相邻两高压电线塔之间的电线和人工费用等为万元，所有高压电线塔都视为“点”，且不考虑其他因素，记余下的工程费用为y万元．
(1)试写出y关于x的函数关系式．
(2)问：需要建造多少座高压线塔，才能使工程费y有最小值？最小值是多少？（参考数据：）
题型三 利润最大（成本最低）问题
例3某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量（万件）与年广告费（万元）之间的函数关系为，已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品需再投入32万元．若每件产品售价为“年平均每件成本的”与“年平均每件所占广告费的”之和，则
（1）试将年利润（万元）表示为年广告费（万元）的函数．如果年广告费投入100万元，那么企业是亏损还是盈利？
（2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？
（1）由题意，每年销售万件，成本共计为万元，年销售收入为，
由年利润年收入年成本年广告费，得
，
所求的函数解析式为．
当时，，年广告费投入100万元时，企业亏损．
（2）令，
得．
令，则（舍去）或．
又当时，单调递增；
当时，单调递减，的极大值为．
又在区间上只有一个极值点，．
故当年广告费投入7万元时，企业年利润最大．
【方法总结】（1）利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润=收入-成本”或“利润=每件产品利润销售件数”建立函数解析式，再用导数求最大值．
（2）解答此类问题时，要认真理解相应的概念，如：成本、利润、单价、销售量、广告费等，以免因概念不清而导致解题错误．
【变式训练3-1】
6．为积极响应李克强总理在山东烟台考察时提出“地摊经济”的号召，某个体户计划在市政府规划的摊位同时销售 两种小商品.当投资额为千元时，在销售 商品中所获收益分别为千元与千元，其中，，如果该个体户准备共投入5千元销售 两种小商品，为使总收益最大，则商品需投入（ ）
A．4千元 B．3千元 C．2千元 D．1千元
【变式训练3-2】
[安徽宿州2023高二期中]
7．某企业在2023年全年内计划生产某种产品的数量为x百件，生产过程中总成本w（x）（万元）是关于x（百件）的一次函数，且，．预计生产的产品能全部售完，且当年产量为x百件时，每百件产品的销售收入（万元）满足．
(1)写出该企业今年生产这种产品的利润（万元）关于年产量x（百件）的函数关系式；
(2)今年产量为多少百件时，该企业在这种产品的生产中获利最大？最大利润是多少？
（参考数据：，，，）
易错点 含参数的函数求最值时，注意极值与参数取值的关系
典例　甲、乙两地相距s km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c km/h，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（km/h）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元．
（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（km/h）的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
【错解】（1）依题意得汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为y＝a·＋bv2·＝s，所求函数及其定义域为y＝s，v∈（0，c]．
（2）由题意知s、a、b、v均为正数，
由y′＝s＝0得v＝±，又0【错因分析】第（2）问中与c未进行比较大小而直接得出结论，故错误．
【正解】①若≤c，则v＝是使y的导数为0的点，且当v∈时，y′≤0；v∈时，y′≥0.所以当v＝时，全程运输成本y最小．
②若>c，v∈（0，c]，此时y′<0，即y在（0，c]上为减函数．
所以当v＝c时，y最小．
综上可知，为使全程运输成本y最小．
当≤c时，行驶速度v＝；当>c时，行驶速度v＝c.
【易错警示】分类讨论时应不重不漏，最后应有小结
针对训练1-1
8．做成一个无盖的长方体铁盒，要求长方体的高度与底面正方形的边长的比值不超过常数，那么取何值时，容积有最大值？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】设出底面半径，表示高，得出体积，利用导数求出体积最大值即可得出.
【详解】设圆柱的底面半径为，则高为，可得，
则该圆柱的体积，
则，
令，解得，令，解得，
所以当时，圆柱体积取得最大，此时圆柱的高为.
故选：B.
2．C
【分析】设出圆锥的高，由圆锥与圆柱的体积公式列式，由导数判断单调性后求解最值，
【详解】设圆锥的高为，则圆柱的高为，底面圆半径为，
则该模型的体积，
令，则，由得，
当时，当时，
则在上单调递增，在上单调递减，
当时，，
故选：C
3．A
【分析】设圆柱的底面半径与高分别为分米，分米，可得该几何体的表面积求出，再求该几何体的体积，利用导数判断单调性可得答案.
【详解】设圆柱的底面半径与高分别为分米，分米，则该几何体的表面积平方分米，则，所以该几何体的体积，
则，
当时，，则在上单调递增，而，，故的取值范围是.
故选：A.
4．
【分析】将池壁的总维修费用表示为关于的函数，利用导数可求得的单调性，结合单调性可得最小值点，从而得到结果.
【详解】由题意知：池底面积为，则池底维修费用为（元）；
表示较短池壁长，，解得：，
池壁的总维修费用表达式为，
，
令，解得：，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得最小值，即此时泳池的总维修费用最低.
故答案为：.
5．(1)
(2)需建19座高压线塔可使得余下的工程费用最低，且最小值为44.72万元
【分析】（1）由已知可得工程费用包括建造高压线电塔所需费用和搭建距离为x千米的相邻两高压电线塔之间的电线和人工费用的总和，即可列出函数关系式；
（2）利用导数求解函数的单调性，然后求出最小值即可.
【详解】（1）（1）由题意知，需要新建的高压线塔为座．
所以，
即．
（2）由（1），得，
令得或（舍去）．
由，得；由，得，
所以函数y在区间上单调递减；在区间上单调递增．
所以当时，函数y取得最小值，
且，
此时应建高压线塔为（座）．
故需建19座高压线塔可使得余下的工程费用最低，且最小值为44.72万元．
6．B
【分析】列出利润关于投资B商品千元的函数，利用导数判断函数单调性，再计算函数最大值及对应的的值即可
【详解】解：设投入经销B商品千元（），则投入经销A商品的资金为千元，所以获得的收益千元，则
（），
，
当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减；
所以当时，函数取得最大值，
所以当投入经销B商品的资金为2千元，投入经销A商品的资金为3千元时，此时总收益最大，
故选：B
【点睛】此题考查利用导数研究函数的单调性、最值，建立数学模型是解题的关键，属于中档题
7．(1)
(2)当产量为7百件时，该企业在这种生产中获利最大且最大利润为51万元
【分析】（1）根据利用等于销售收入减去生产成本即可求解；
（2）利用导函数与单调性的关系讨论利润函数的单调性以及最值.
【详解】（1）设
由，可得，解得，
所以，
依题意得，
．
（2）由（1）得，，
则，
令，得，，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，有，
答：当产量为7百件时，该企业在这种生产中获利最大且最大利润为51万元．
8．答案见解析
【分析】由题设得，求出长方体的体积，求出导数，解出导数零点，分、两种情况求解即可.
【详解】由题设，得，
根据长方体体积公式可得：，，
则，
∵，则由，得，
当，即时，由，得，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，；
当，即时，，
因而函数在区间上单调递增．
∴当时，取得最大值，
综上所述，当时，时，取得最大值；
当时，时，取得最大值.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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