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第五章综合
第一练 考点强化训练
【试题来源】来自人教A，人教B，苏教版，北师大版的课本试题，进行整理和组合；
【试题难度】本次训练试题基础，适合学完新知识后的训练，起到巩固和理解新知识的目的.
【目标分析】
1.理解导数的概念，导数的几何意义，培养数学抽象，直观想象，如第1题；
2.会求函数的导数，锻炼数学运算能力，如第7题；
3.能够灵活应用导数法求函数的单调性问题，培养数学抽象，如第5，6题；
4.能利用导数法求解极值、最值问题，锻炼运算求解能力，逻辑推理能力，如第8题.
一、填空题
（2024上·浙江金华·高二校联考期末）
1．如果函数在处的导数为1，那么（ ）
A．1 B． C． D．
（2024·全国·高二假期作业）
2．已知函数，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
（2024上·全国·高三校联考竞赛）
3．如果可导曲线在点的切线方程为，其中，则（ ）
A． B．
C． D．无法确定
（2023·全国·模拟预测）
4．若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
（2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）
6．若函数单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
（2024下·云南保山·高二校考开学考试）
7．已知函数，其导函数记为，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
（2023下·湖南株洲·高二株洲二中校考期中）
8．已知，函数的导函数为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．单调递增区间为
C．的极大值为1 D．方程有两个不同的解
（2023上·江苏镇江·高二江苏省镇江第一中学校考期末）
9．已知函数在区间上单调递增，则实数m的取值范围是 ．
（2024·四川德阳·统考模拟预测）
10．已知函数在处取得极大值，则的取值范围是 .
（2024上·浙江金华·高三统考期末）
11．已知函数在定义域上不是单调函数．
(1)求实数的取值范围；
(2)若在定义域上的极大值为，极小值为，求的取值范围．
（2024下·内蒙古赤峰·高三校考开学考试）
12．已知函数．
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
【易错题目】第9题
【复盘要点】函数在某个区间上的单调性
【典例】（2024上·福建福州·高二福州高新区第一中学（闽侯县第三中学）校联考期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依题意，在区间上恒成立，分离参数可得实数a的最大值.
【详解】由题意，
因为函数在区间上单调递减，
所以在区间上恒成立，即，
令，则，
又，所以，所以在为减函数，
所以，
所以，即实数a的最大值是.
故选：C
【复盘训练】
（2024上·河北·高三校联考期末）
13．设函数且在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2024下·湖南永州·高二永州市第一中学校考开学考试）
14．若对任意的，且，都有成立，则的最大值为（ ）
A． B．1 C．e D．
（2024下·全国·高二专题练习）
15．若是区间上的单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．
（2024上·陕西汉中·高三统考期末）
16．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是 ．
（2024上·重庆·高二重庆一中校考期末）
17．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为 .
（2024上·上海静安·高三统考期末）
18．记，若存在实数，满足，使得函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是 .
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】根据导数的定义可直接得到答案.
【详解】因为函数在处的导数为1，
根据导数的定义可知，
故选：A.
2．C
【分析】画出函数的图象，观察与连线的斜率即得.
【详解】作出函数的图象，如图所示.

由图可知曲线上各点与坐标原点的连线的斜率随着的增大而减小.
由，得，即.
故选：C.
3．C
【分析】利用导数的几何意义求解.
【详解】解：切线方程的斜截式为，斜率，
所以.
故选：C
4．D
【分析】根据题意，由导数的几何意义表示出切线方程，然后列出不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】设切点为，由已知得，则切线斜率，
切线方程为．
∵直线过点，∴，
化简得．∵切线有2条，
∴，则的取值范围是，
故选：D
5．C
【解析】求出导函数，然后由确定减区间．
【详解】函数定义域是，
由已知，
当时，，时，，所以减区间是．
故选：C．
6．D
【分析】由恒成立，分离常数，利用基本不等式求得的取值范围.
【详解】依题意，即对任意恒成立，
即恒成立，因为（当且仅当时取“=”），
所以.
故选：D
7．B
【分析】根据给定条件，变形函数并求出，再探讨导函数的奇偶性作答.
【详解】函数定义域为，
令，则的定义域为，，
又，故是奇函数，
所以，故，
所以.
故选：B.
8．AB
【分析】
利用导数研究函数的单调性与极值，先求出的导数，再逐项分析即可.
【详解】函数的定义域为 , 求导得.
对于A，，A正确.
对于B，由解得，函数的单调递增区间为，B正确.
对于C，当时, ，当时, ，则函数在上递减，在上递增，当时, 取得极小值, 无极大值， C错误.
对于D，显然函数在上递减，在上递增, ，则方程有唯一解，D错误.
故选: AB.
9．
【分析】求出函数的导数，问题转化为在上恒成立，令，利用导数求出的最大值即可.
【详解】，
若函数在区间上单调递增，则在上恒成立，
即在上恒成立，即在上恒成立，
令，∴，
当时，，，则，
∴在区间上单调递增，∴，
∴，则实数m的取值范围是.
故答案为：.
10．
【分析】由以及导数、极大值等知识对问题进行分析，利用构造函数法，结合导数来求得的取值范围.
【详解】的定义域是，
，
由于函数在处取得极大值，
所以，
且在上单调递增，
在上单调递减，
所以单调递减，
所以，
所以，构造函数，显然，
，所以在区间上单调递增，
在区间上单调递减，
所以是的极大值也即是最大值，
所以，也即的取值范围是.
故答案为：
11．(1)
(2)．
【分析】（1）先求得，然后根据二次函数在区间上有正有负列不等式，由此求得的取值范围.
（2）根据（1）将表示为仅含的形式，利用换元法、构造函数法，结合导数来求得的取值范围．
【详解】（1）函数的定义域为，，
由得：，设．
∵函数不是单调函数，∴在有正实根，
又，设的两根为，，
则由可得：有两个不相等的正实根，且．
（2）由（1）可知：
，
．
令，所以，
因为，
所以，
故．
【点睛】方法点睛：利用导数研究含参数的函数在区间上的单调性，首先要注意先求得函数的定义域，求导后，根据参数的位置以及题目所给函数单调性相关的条件，可以直接利用二次函数的性质来列不等式来求解，也可以考虑分离常数法来进行求解.
12．(1)
(2)
【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；
（2）恒成立，即，利用导数求出函数的最小值即可.
【详解】（1）若，则，，故，
所以曲线在处的切线方程为，即；
（2）恒成立，即，
又，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，所以.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
13．A
【分析】根据单调性与导数的关系可得在上恒成立，进而即可求解.
【详解】依题意，在上恒成立，
记，则在上恒成立，
在上单调递增，所以只需，解得，
故选：A．
14．A
【分析】
将已知不等式变形为，令，将问题转化为在上单调递增，利用导数可求得单调性，由此可得的最大值.
【详解】由可得，
由,且,所以，即，
令，则在上单调递增，
所以，令，则,
当时，，此时在上单调递增；
当时，，此时在上单调递减；
所以，故.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题解题关键是将恒成立的不等式变形为同一函数不同函数值之间大小关系的比较问题，通过构造函数的方式，将问题转化为函数在区间内单调的问题.
15．C
【分析】求导，分析导函数的正负得到原函数的单调性，再由已知建立关于的不等式组，解出即可．
【详解】由题意，，
令，解得，令，解得或，
所以在上单调递减，在，上单调递减，
若函数在区间上单调，
则或或，解得或或，
即或.
故选：C.
16．
【分析】利用导数转化为恒成立问题，分离参数法求解即可.
【详解】定义域为，而，由已知得函数在区间内存在单调递增区间，则在上有解，化简得，令，由幂函数性质得在上单调递增，，则.
故答案为：
17．,．
【分析】
由在上单调递减，得在上恒成立，构造函数，求导确定函数的最值，只需，即可得出答案．
【详解】，
因为在上单调递减，所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，，
，
当时，，所以，故在恒成立，
所以，
所以，
所以的取值范围为,．
18．
【分析】由题意推出在区间内有解，分离参数，构造函数，结合函数单调性，求出函数最值，即可求得答案.
【详解】由题意知在区间内有解，
即，即在区间内有解，
设，则该函数在上单调递减，在上单调递增，
且，故在上的最大值为，
故，即实数的取值范围是，
故答案为：
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页第五章综合
第一课 归纳本章考点
[课标要求]
1.熟记导数的概念，求导公式、法则，并能熟练应用.
2.理解导数的几何意义，会求在某点处或过某点的切线方程.
3.能熟练应用导数求解函数的单调性、极值与最值问题.
[明确任务]
1.熟记导数的概念，求导公式、法则，并能熟练应用.【数学抽象，数学运算】
2.理解导数的几何意义，会求在某点处或过某点的切线方程.【数学运算，直观想象】
3.能熟练应用导数求解函数的单调性、极值与最值问题.【数学运算，直观想象，逻辑推理】
考点1： 导数的概念
导数的定义：如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f（x）在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f（x）在x＝x0处的导数（也称为瞬时变化率），记作f′（x0）或y′|x＝x0，即f′（x0）＝＝.
温馨提示　在导数定义中增量Δx的形式是多种多样的，但不论Δx选择哪一种形式，相应的Δy也必须选择对应的形式，即深刻理解定义，牢固掌握概念形式.
例1设f（x）是可导函数，且 ＝2，则f′（x0）＝ （　　）
A． B．－1　
C．0 D．－2
【答案】B
【解析】因为 ＝－2 ＝－2f′（x0）＝2
所以f′（x0）＝－1，故选B．
归纳总结 用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤：
（1）求函数的增量Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）；
（2）求平均变化率＝；
（3）取极限，得导数f ′（x0）＝ .
【举一反三】
1．利用导数的定义，求在处的导数f ′(1).
考点2：导数的计算
1．几个常用函数的导数
函数 导数 函数 导数
f（x）＝c f′（x）＝0 f（x）＝x f′（x）＝1
f（x）＝x2 f′（x）＝2x f（x）＝ f′（x）＝－
2．基本初等函数的导数公式
函数 导数 函数 导数
f（x）＝c f′（x）＝0 f（x）＝ax f′（x）＝axln a （a>0）
f（x）＝xα（α∈Q*） f′（x）＝αxα－1 f（x）＝ex f′（x）＝ex
f（x）＝sin x f′（x）＝cosx f（x）＝logax f′（x）＝ （a>0且a≠1）
f（x）＝cos x f′（x）＝－inx f（x）＝ln x f′（x）＝
3.导数的运算法则
和差的导数 [f（x）±g（x）]′＝f′（x）±g′（x）
积的导数 [f（x）·g（x）]′＝f′（x）g（x）＋f（x）·g′（x）
商的导数 []′＝ （g（x）≠0）
例2（2024上·河南开封·高二校联考期末）已知函数的导函数为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对等式两边求导，求导的时候注意是个常数，求导之后令即可得出答案.
【详解】因为，所以，令，则，．
故选：C
归纳总结
1.求简单函数的导函数的基本方法：
（1）用导数的定义求导，但运算比较繁琐；
（2）用导数公式求导，可以简化运算过程，降低运算难度.解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式.
2.一般地，对于由函数y＝f（u）和u＝g（x）复合而成的函数y＝f（g（x）），它的导数与y＝f（u），u＝g（x）的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
【举一反三】（2024下·湖南岳阳·高二湖南省平江县第一中学校考开学考试）
2．已知，则 .
【举一反三】
3．设，则（ ）
A． B．
C． D．
【举一反三】
4．若函数，则此函数图象在点处的切线的倾斜角范围为 （填锐角、钝角或直角）.
考点3：导数的几何意义
导数的几何意义：函数y＝f（x）在x＝x0处的导数f′（x0）就是切线的斜率k0，即k0＝＝f′（x0）.
（1）若f′（x0）＝0，则函数在x＝x0处切线斜率k＝0；
（2）若f′（x0）>0，则函数在x＝x0处切线斜率k＞0，函数在x＝x0附近单调递增，且f′（x0）越大，说明函数图象变化得越快；
（3）若f′（x0）<0，则函数在x＝x0处切线斜率k<0，函数在x＝x0附近单调递减，且越大，说明函数图象变化得越快.
例3（1）（2023上·河南·高三专题练习）函数的图象在点处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
（2）如果曲线y＝f（x）的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，则切线的方程为 ．
【答案】（1）B （2）4x－y－18＝0或4x－y－14＝0
【解析】（1）因为，所以，所以切点为，又，
由导数的几何意义知函数的图象在点处的切线斜率，
故得函数的图象在点处的切线方程是，即为．
故选：B
（2）因为切线与直线y＝－＋3垂直，所以切线的斜率k＝4.
设切点坐标为（x0，y0），则f ′（x0）＝3x＋1＝4，
所以x0＝±1，所以，或.
所以切点坐标为（1，－14）或（－1，－18），切线方程为y＝4x－18或y＝4x－14.
即4x－y－18＝0或4x－y－14＝0.
归纳总结
（1）求曲线在某点的切线方程，求导得k＝f′（x），点斜式写方程即可.
（2）过点（x1，y1）的曲线y＝f（x）的切线方程的求解步骤
①设切点（x0，f（x0））；②求导：k＝f′（x0）；③由点斜式写出切线方程；④把已知点（x1，y1）代入切线方程求解x0；⑤将x0回代到③中，得切线方程.
【举一反三】
（2024上·黑龙江牡丹江·高二牡丹江一中校考期末）
5．已知函数，则在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【举一反三】
6．已知直线为曲线过点的切线. 则直线的方程为 .
考点4：函数的单调性
定义在区间（a，b）内的函数y＝f（x）：
f′（x）的正负 f（x）的单调性
f′（x）>0 单调递增
f′（x）<0 单调递减
例4（2023·全国·高三专题练习）函数的一个单调递增区间为，，则减区间是（ ）
A． B． C． D．，
【答案】B
【分析】求导，分类讨论和时，函数的单调性，利用导数判断函数的单调性即可得解.
【详解】函数，则，
当时，恒成立，函数在其定义域内是递增．
当时，令，解得：，
当时，，函数是递增．
函数的一个单调递增区间为，故得：，解得：，
在时，，函数是递减．
故选：B．
【点睛】思路点睛：本题考查函数的单调性与导数的联系，利用，判断函数的单调增区间，利用，判断函数的单减区间，考查学生的分析能力．
归纳总结 利用导数求函数f（x）的单调区间的一般步骤为：
（1）确定函数f（x）的定义域；
（2）求导数f ′（x）；
（3）在函数f（x）的定义域内解不等式f ′（x）>0和f ′（x）<0；
（4）根据（3）的结果确定函数f（x）的单调区间．
【举一反三】（2024上·江苏宿迁·高二统考期末）
7．函数的单调增区间为 .
考点5：函数的极值
函数y＝f（x）在点x＝a的函数值f（a）比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′（a）＝0；而且在点x＝a的左侧f′（x）＜0，右侧f′（x）＞0，则把a叫做函数y＝f（x）的极小值点，f（a）叫做函数y＝f（x）的极小值.
函数y＝f（x）在点x＝b的函数值f（b）比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′（b）＝0；而且在点x＝b的左侧f′（x）＞0，右侧f′（x）＜0，则把b叫做函数y＝f（x）的极大值点，f（b）叫做函数y＝f（x）的极大值.
例5（2024上·山西忻州·高二统考期末）函数的极大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求导，再根据极大值与导数的关系即可得到答案.
【详解】，当时，，
当时，.
所以的极大值为.
故选：B.
归纳总结 函数极值和极值点的求解步骤：
（1）确定函数f（x）的定义域；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用方程f′（x）＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列出表格；
（4）明确f′（x）在方程的根左右两侧值的符号，从而判断f（x）在这个根处取极值的情况.
【举一反三】（2023上·江苏淮安·高三金湖中学校联考期中）
8．已知函数，若不等式的解集为且，则函数的极小值是（ ）
A． B．0 C． D．
【举一反三】（2024上·四川·高三校联考期末）
9．函数的极大值为 ．
考点6：函数的最值
函数y＝f（x）在闭区间[a，b]上取得最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f（x）的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
例6（2024下·全国·高二专题练习）已知为正实数，函数在上的最大值为4，则在上的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．2
【答案】A
【分析】利用导数判断得在上单调递增，从而列式得解.
【详解】因为，为正实数，
所以恒成立，
所以在上单调递增，
所以函数在上的最大值为，即，
所以在上的最小值为.
故选：A.
归纳总结 求可导函数y＝f（x）在[a，b]上的最大（小）值步骤如下：
（1）求f（x）在开区间（a，b）内所有极值点；
（2）计算函数f（x）在极值点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
【举一反三】（2023上·黑龙江齐齐哈尔·高三统考期末）
10．若为函数的极值点，则函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【举一反三】（2023上·河南·高三专题练习）
11．已知函数，则的最小值为 .
（2024下·全国·高二专题练习）
12．已知函数，则在处的导数＝（ ）
A． B．
C． D．
（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）
13．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
（2024下·内蒙古赤峰·高三校考开学考试）
14．已知函数有极值，则（ ）
A．1 B．2 C． D．3
（2023上·江苏徐州·高二校考阶段练习）
15．已知函数在上不是单调函数，则实数的取值范围为 ．
（2023下·贵州贵阳·高二贵阳一中校考阶段练习）
16．已知函数，若恒成立，则实数的范围是 .
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．
【分析】利用导数的定义，先求出的值，然后求，化简可得结果
【详解】解：
，
∴，
∴
.
2．
【分析】先求导可得，代入，求得.
【详解】因为，
所以，所以，
解得，
故答案为:.
3．B
【分析】根据复合函数求导法则可求得，代入即可得到结果.
【详解】，.
故选：B.
4．钝角
【分析】对函数求导，求出，由此即可判断切线的倾斜角范围.
【详解】，
，
,,,，
故函数图象在点处的切线的倾斜角范围为，为钝角.
故答案为：钝角.
5．D
【解析】利用导数的几何意义可求得切线斜率，求得切点坐标后，利用直线点斜式方程可整理得到切线方程.
【详解】解： ，
求导得：，
，
又，
在处的切线方程为，即.
故选：D.
6．或
【分析】
设切点为，由导数的几何意义求得切线方程，代入点坐标求出，再回代得切线方程．
【详解】∵，∴.
设直线与曲线相切于点，则直线的斜率为，
∴过点的切线方程为，
即，又点在切线上，
∴，整理得，
∴，
解得或；
∴所求的切线方程为或.
故答案为：或.
7．
【分析】
首先求函数的导数，再结合导函数的单调性和零点，即可求解函数的增区间.
【详解】函数，，
单调递增，单调递减，所以单调递增，
当时，，所以当时，，
所以函数的单调递增区间是.
故答案为：
8．C
【分析】依题意可得，利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的极小值.
【详解】因为不等式的解集为且，
所以，且为的二重根，
所以，
则，
则当或时，当时，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极小值，
即.
故选：C
9．##
【分析】利用导数求解极值即可.
【详解】，当时，，当时，．
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为．
故答案为：
10．C
【分析】先由为函数的极值点求得a，再利用导数法求解.
【详解】，
因为是函数的极值点，
所以，则，
所以，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以．
故选：C
11．
【分析】通过导数求得函数的最值（值域），进一步通过换元法求二次函数最值即可.
【详解】因为，所以，令可得，
令可得，令可得，
所以当时，取得最小值，
所以函数的值域为.
令（），
则，
显然在上单调递增，所以当时，取得最小值.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：关键是首先通过导数求得函数的值域为，由此即可顺利得解.
12．C
【分析】
利用导数的定义计算即可.
【详解】当自变量在处的改变量为时，平均变化率
.
可以看出，当无限接近于0时，无限接近于，
因此.
故选：C.
13．A
【分析】先由导数求切线的斜率，再求出切点，结合点斜式方程写出即可.
【详解】由，得，
所以，又，
故曲线在点处的切线的方程为，即.
故选：A.
14．B
【分析】先求出函数的导函数；再求出极值点，代入函数解方程即可.
【详解】由题目条件可得：函数的定义域为，.
令，得；
令，得.
所以函数在区间上单调递减，在上单调递增.
则是函数的极小值点，
故，解得.
故选：B
15．
【分析】分析可知，函数在内存在极值点，根据导函数在上单调递增可得出关于实数的不等式组，解之即可.
【详解】因为，则，
因为函数在上不是单调函数，则函数在内存在极值点，
又因为函数在上是增函数，
所以，，解得，
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
16．
【分析】在时，探讨一次函数性质结合恒成立条件确定a的范围，当时，利用导数求出最小值作答.
【详解】当时，则有一次函数在上单调递减，有，解得，
当时，，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
因此，即，解得，
所以实数的范围是.
【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以探讨函数的最值，借助函数最值转化解决问题.
答案第1页，共2页
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