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5.3.2课时2函数的最大（小）值
第一练 练好课本试题
【试题来源】来自人教A，人教B，苏教版，北师大版的课本试题，进行整理和组合；
【试题难度】本次训练试题基础，适合学完新知识后的训练，起到巩固和理解新知识的目的.
【目标分析】
1.会用导数法求函数的最值，培养数学运算，直观想象，如第1题.
2.会根据函数图象判断最大值最小值，锻炼数形结合能力，如第2题.
3.能够灵活函数的最值求参数的值，培养数学运算，如第4题.
4.能利用函数的最值解决实际问题，锻炼数学建模能力，运算求解能力，如第7，8题.
一、解答题
1．参考求函数极值的练习，求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：
（1），，
（2），
（3），
（4），．
2．某函数图象如图所示，它在上哪一点取得最大值？它是极大值点吗？在哪一点取得最小值？它是极小值点吗？

3．求函数在区间上的最大值和最小值.
4．设函数在区间上有最大值23，最小值3，求a，b的值．
5．判断下列说法是否正确，并说明理由：
(1)函数在某区间上的极大值不会小于它的极小值；
(2)函数在某区间上的最大值不会小于它的最小值；
(3)函数在某区间上的极大值就是它在该区间上的最大值；
(4)函数在某区间上的最大值就是它在该区间上的极大值．
6．1.已知函数，证明：当时，.
7．如图，矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线在x轴上方的曲线上，求矩形面积最大时的边长.
8．如图，有甲、乙两个工厂，甲厂位于笔直河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，位于离河岸40 km的B处，BD垂直于河岸，垂足为D且D与A相距50 km．两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂铺设水管的费用分别为每千米3a元和5a元，问：供水站C建在岸边何处才能使铺设水管的费用最省？
【易错题目】第3，4题
【复盘要点】求函数在给定区间上的最值，根据函数的最值求参数的值或范围.
【复盘训练】
9．已知为正实数，函数在上的最大值为4，则在上的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．2
10．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0，1)内有最小值，则a的取值范围是（ ）
A．[0，1) B．(0，1)
C．(－1，1) D．
11．函数在上的最大值是（ ）
A． B． C． D．
12．函数在区间上的最大值为10，其最小值为 ．
13．已知函数，若关于的不等式在上有实数解，则实数的取值范围是 .
14．若函数在区间内存在最小值，则实数的取值范围是 .
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．（1）最小值为，最大值为20；（2）最大值为54，最小值为；（3）最大值为22，最小值为；（4）最大值为，最小值为．
【分析】（1）求出函数的对称轴，讨论与区间的关系，可得最值；
（2）求出函数的导数，求出极值和端点处的函数值，可得最值；
（3）求出导数，求得极值和端点的函数值，可得最值；
（4）求出导数，求得区间，为递减，即可得到所求最值．
【详解】解：（1），，对称轴为，
可得的最小值为，
，，
即的最大值为20；
（2），的导数为，
令，可得，
， ，
，，
即有的最大值为54，最小值为；
（3），的导数为，
由，可得舍去），
， ，，
即有的最大值为22，最小值为；
（4）的导数为，
由，，可得，则在，单调递减，
即有的最大值为，最小值为．
2．在处取得最大值，它不是极大值点；在处取得最小值，它是极小值点.
【分析】根据给定的函数图象，求出函数的单调区间，确定极大值、极小值及最值作答.
【详解】令此函数为，观察函数图象，得函数的递增区间是，
递减区间是，因此函数在处都取得极大值，在处都取得极小值，
显然是函数的极大值，都小于，所以函数在处取得最大值，它不是极大值点，
而是函数的极小值，且都大于，所以函数在处取得最小值，它是极小值点.
3．，
【分析】由导函数的正负研究函数单调性，进而得到极值,比较极值和端点函数值的大小确定函数的最大值和最小值.
【详解】因为，，
所以.
令，得或，
当x变化时，，的变化情况如表所示.
x
＋ 0 0
单调递增 单调递减
所以，.
4．，
【分析】通过函数表达式求导数，由导数确定极值点，再根据最值求，，可以求得二组解，再进行讨论确定，的值.
【详解】因为
所以
令，则或
由于，
当时，；当时，
故在，取得最小值3
所以或者
所以，或者，
若，，则
而，不合题意，舍去；
若，，则
而
故，
5．(1)错误
(2)正确
(3)错误
(4)错误
【分析】根据极值和最值的定义依次判断各项即可.
【详解】（1）错误，理由如下：
极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，极大值可以小于极小值；
例如，
当时，；当时，；
则在上单调递增，在上单调递减，
是的极大值点，是的极小值点，
又，，
在区间上的极大值小于极小值.
（2）正确，理由如下：
最值反映的是函数在整个定义域内的性质，
记的定义域为，对于任意，恒成立，则为最大值；，则为的最小值；
函数在某区间上的最大值不会小于它的最小值.
（3）错误，理由如下：
函数的最值产生在极值点或区间端点处；
例如，，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
是的极大值点，的极大值为，又，
在上的最大值为.
（4）错误，理由如下：
函数的最值产生在极值点或区间端点处；
例如，，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
是的极大值点，的极大值为，又，
在上的最大值为，但不是的极大值点.
6．证明见解析
【分析】根据题意，当时，，故只需证明，进而利用导数方法证明函数的最小值大于0即可.
【详解】当时，，故只需证明.
.
易知在上单调递增（增+增）.
所以必定存在唯一一个零点，且，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以.
由，得，，
所以，
所以.
所以，当时，.
【点睛】本题确定出零点x0的范围之后，注意“，”，将x0代入函数解析式之后可以将式子化简，注意方法的总结和归纳.
7．当矩形面积最大时，矩形边AB长，BC长
【分析】先设出点坐标，进而表示出矩形的面积，通过求导可求出其最大面积.
【详解】设点，
那么矩形面积，.
令解得（负舍）.
所以S在（0，）上单调递增，在（，2）上单调递；..
所以当时，S有最大值.此时
答：当矩形面积最大时，矩形边AB长，BC长.
8．供水站C建在岸边A、D之间距甲厂20 km处.
【分析】根据题意建立数学模型，通过适当设定变元，构造相应的函数关系，通过求导，求出最值，可确定供水站的位置.
【详解】根据题意可知点C，在线段AD上某一适当位置时，才能使总运费最省，设C点距D点 x km，则BD=40，AC=50－x,
∴，
设铺设水管的总费用为y元，则
，
∴，
令，可得，
在上，y 只有一个极小值点，根据实际意义，函数在(km)处取得最小值，
此时(km),
故供水站C建在岸边A、D之间距甲厂20 km处，能使铺设水管的费用最省.
9．A
【分析】利用导数判断得在上单调递增，从而列式得解.
【详解】因为，为正实数，
所以恒成立，
所以在上单调递增，
所以函数在上的最大值为，即，
所以在上的最小值为.
故选：A.
10．B
【分析】对f(x)求导，然后对a分a≤0和a>0两种情况讨论函数的单调性，由单调性确定函数的最值.
【详解】由题意，＝3x2－3a＝3(x2－a),
当a≤0时，＞0，
∴f(x)在(0，1)内单调递增，无最小值.
当a＞0时，＝3(x－)( x＋),不妨只讨论时
当x＞，，f(x)为增函数，当0＜x＜时，, f(x)为减函数，
∴f(x)在x＝处取得最小值，
∴＜1，即0＜a＜1时，f(x)在(0，1)内有最小值.
故选：B.
11．C
【分析】求导后，根据导函数的正负确定函数的单调性，可知当时函数取最大值，代入得到结果.
【详解】由得：
当时，；当时，
函数在上单调递增；在上单调递减
当时，函数取最大值：
本题正确选项：
【点睛】本题考查利用导数求解函数的最值问题，属于基础题.
12．
【分析】先求导数，再令，解得，将极值点与端点比较，由最大值求出k，即可求解.
【详解】.
由得或.在上，单调递增，在上
单调递减，
又，
，
故，得，
所以.
故答案为：
13．
【分析】先将问题转化为，再利用导数求得，从而得解.
【详解】由题意可知，存在，使得，则．
因为，所以，
当时，，所以函数在上单调递增，
则，所以，
故实数的取值范围是.
故答案为：.
14．
【分析】先利用导数分析的性质，再结合在内存在最小值，得到关于的不等式，解之即可得解.
【详解】因为，所以，
令，得或，
令，得或；令，得，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极小值，
令，解得或，
若函数在内存在最小值，
则，解得.
故答案为：.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页5.3.2课时2函数的最大（小）值
第一课 解透课本内容
[课标要求]
1．能利用导数求某些函数的在给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值．
2．体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系．
[明确任务]
1．能利用导数求某些函数最大值、最小值．【数学运算】
2．体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系．能利用函数得最值求解相关问题．【逻辑推理，数学运算】
1．函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0．则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
2．函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0．则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
3．极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．
核心知识点1：函数的最值
对于函数，是函数的定义域，若对任意的，存在，使得，则称为函数的最小值；若对任意的，存在，使得，则称为函数的最大值．
一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么该函数在上必有最大值和最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得．
1．函数在闭区间上的最值
一般地，在区间上连续的函数在上必有最大值与最小值．
若函数在上单调递增，则为函数在区间上的最小值，为最大值；若函数在上单调递减，则为函数在区间上的最大值，为最小值．
例如，观察图中一个定义在闭区间上的函数的图象，图中与是极小值，是极大值．函数在上的最大值是，最小值是．
2．函数在开区间上的最值
（1）在区间上函数的图象是一条连续的曲线，在上不一定有最值．常见的有以下几种情况：
如图，图①中的函数在区间上有最大值而无最小值；
图②中的函数在区间上有最小值而无最大值；
图③中的函数在区间上既无最小值也无最大值；
图④中的函数在区间上既有最小值也有最大值．
（2）当连续函数在区间上只有一个导数为零的点时，若在这一点处有极大值（或极小值），则可以判定在该点处取得最大值（或最小值），这里也可以是无穷区间．
解读：
1．给定函数的区间必须是闭区间，在开区间内连续的函数不一定有最值．
2．在闭区间上的每一个点处必须连续，即函数图象不间断．
3．如果存在最大值（或最小值），那么最大值（或最小值）唯一，但是取最大值（或最小值）的点，可以有多个．
4．求函数最值的注意点
（1）我们讨论的函数是在闭区间图象连续不断，在开区间上可导的函数．在闭区间图象连续不断，保证函数有最大值和最小值；在开区间上可导，才能用导数求解．
（2）求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判定是关键．
（3）因为函数在内的全部极值，只能在的导数为零的点或导数不存在的点处取得（以下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后将函数在可疑点处的函数值与区间端点处的函数值进行比较，就能求得函数的最大值和最小值．
例1教材例6 求函数在区间上的最大值与最小值．
【解析】
【详解】因为，所以．
令，解得，或．
当x变化时，，的变化情况如表所示；
x 2
＋ 0 － 0 ＋
单调递增 单调递减 单调递增
因此，当时，有极大值，并且极大值为；
当时，有极小值，并且极小值为．
函数的图象如图所示．
在区间上，当时，函数有极小值，并且极小值为．
又由于，，
所以函数在区间上的最大值是4，最小值是．
上述结论可以从函数在区间上的图象（图5.3-16）得到直观验证．
归纳总结 求函数在区间上的最值的步骤
一般地，求函数在区间上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求函数在区间内的极值；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
【举一反三】
1．求函数（为正实数）的最值．
（2024上·浙江宁波·高二统考期末）
2．已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)当时，求函数的最大值．
核心知识点2：函数的极值与最值的区别与联系
极值与最值的关系：函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的，函数的最大值和最小值可以在极值点、不可导点或区间的端点处取得．极值最值，函数在区间上的最大值为极大值或中最大的一个，最小值为极小值、或中最小的一个．求函数最值时，易误认为极值点就是最值点，一定要比较端点函数值和极值之后再下结论．
解读：“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性，常用表示最大值，用表示最小值；而“极值”是局部概念，是比较极值点附近的函数值得出的，具有相对性．
②从个数上看，一个函数在其定义域上的最值若存在，就一定是唯一的，而极值可能多于一个，也可能没有．
例3．连续函数y＝f(x)在[a，b]上（ ）
A．极大值一定比极小值大
B．极大值一定是最大值
C．最大值一定是极大值
D．最大值一定大于极小值
【答案】D
【解析】
【详解】由函数的最值与极值的概念可知，y＝f(x)在[a，b]上的最大值一定大于极小值．
归纳总结 极值只能在区间内取得，最值则可以在导数等于零的点、区间端点处取得；有极值的函数未必有最值，有最值的函数未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在区间端点处取得必定是极值．
【举一反三】
3．已知在区间上的最大值就是函数的极大值，则m的取值范围是 ．
4．关于函数．下列说法中：①它的极大值为，极小值为；②当时，它的最大值为，最小值为；③它的单调减区间为；④它在点处的切线方程为，其中正确的有个
A． B． C． D．
5．在区间上的最大值是（ ）
A． B． C． D．0
6．函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)（ ）
A．有最大值，但无最小值
B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，但有最小值
D．既无最大值，也无最小值
（2023下·河南·高二校联考期中）
7．已知函数，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
8．若函数在上的最小值为4，则 ．
9．求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：
（1），
（2），
（3），
（4），
（2023下·河南·高二校联考期中）
10．已知函数在点处的切线方程为．
(1)求实数和的值；
(2)求在上的最大值（其中e是自然对数的底数）．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．最小值为，最大值为
【分析】利用导数判断出函数的单调性，再根据单调性求出最值即可.
【详解】，
所以函数在上单调递减，
所以.
2．(1)在上为增函数；在上为减函数；
(2)
【分析】
（1）直接利用函数的导数确定函数的单调区间．
（2）求导根据函数的单调性即可求解最值．
【详解】（1）
的定义域为，
当时，，，
当，解得：，
当，解得：．
在上为增函数；在上为减函数；
（2）
的定义域为，
，
当时，令，得，令时，得，
的递增区间为，递减区间为．
.
3．
【分析】先对函数求导，然后令导函数等于零，则解在区间内，从而得解.
【详解】因为，所以，
令，得.
由题意得，
故．
故答案为：.
4．D
【详解】∵函数
∴
由，解得x>2或x< 2，此时函数单调递增，
由，解得 2当x= 2时,函数f(x)取得极大值f( 2)=，当x=2时,函数f(x)取得极小值f(2)=，∴①结论正确；时，单调递增，它的最大值为，最小值为，∴②正确；∴它在点处的切线方程为，∴④正确，
故选D
5．B
【分析】求出函数的导数，判断导数正负，从而确定函数的单调性，求得极值.
【详解】由题意可得：，
当 时，，函数单调递增，
当 时，，函数单调递减，
故在x=1时取得极大值，也即最大值，最大值为，
故选：B.
6．D
【分析】利用导数得出函数的单调性，进而判断最值即可.
【详解】f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1，1)时，f′(x)<0，所以f(x)在(－1，1)上是单调递减函数，无最大值和最小值
故选：D.
7．C
【分析】
利用导数分析函数的单调性，求解最值即可.
【详解】，令，得，
当，，为减函数，
当，，为增函数，
又，则.
故选：C.
8．##
【分析】
求导，得到函数单调性，得到为在上的极小值和最小值，列出方程，求出答案.
【详解】
，，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以为在上的极小值，也是最小值，
故，解得.
故答案为：
9．（1）最大值为，最小值为；（2）最大值为，最小值为；（3）最大值为，最小值为；（4）最大值为，最小值为.
【分析】对各式进行求导，在给定区间内根据导数的符号确定单调区间，进而可得的极值，再结合端点值，即可得在区间内的最值.
【详解】（1），则，
∴时，，单调递减；时，，单调递增；
∴在上的极小值为，而，，
∴在上最大值为，最小值为.
（2），则时有，
∴时，，单调递增；时，，单调递减；时，，单调递增；
∴在上的极大值为，极小值为，而， ，
综上，在上最大值为，最小值为.
（3），则时有，
∴时，，单调递减；
∴在上最大值为，最小值为.
（4），则时有，
∴时，，单调递增；时，，单调递减；
∴在上的极大值为，而， ，
∴在上最大值为，最小值为.
10．(1)，
(2)
【分析】（1）对函数求导，根据导数的几何意义可求的值，再根据切线过切点求的值；
（2）根据导数与函数单调性的关系，分析函数在给定区间上的单调性，再求函数的最大值.
【详解】（1）
因为
所以，
由题意可得，，
解得:，.
（2）
由(1)可得，
所以，且，
易得，当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，，且，
即最大值为：.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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