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专题8 导数中有关距离最值问题
【上海市宝山区2024届高三上学期期末教学质量监测（一模）数学试题】设点在直线上，点在曲线上，线段的中点为，为坐标原点，则的最小值为 .
通过转化可得的最小值为到距离平方的最小值，利用导数求出切线即可得．
由题可设，，则
则
即，
即的最小值为到距离平方的最小值，
其中点在曲线上，在直线上，
的最小值为在曲线上与直线平行的切线的切点到直线的距离，
设切点为，
因为曲线导数，则，解得，所以切点为，
所以，所以.
（22-23高三上·河南·期末）
1．若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为 .
作出直线关于的对称直线，由中位线定理将所求距离转化为在曲线上与直线平行的切线的切点到直线的距离，利用导数得出切点，从而得出答案.
直线关于的对称直线，
在上，在上，与关于原点对称，，
的最小值为在曲线上与直线平行的切线的切点到直线的距离，
设切点为，
因为曲线导数，则，解得，所以切点为，
所以切点到直线的距离最小值为
，所以．
故答案为：．
（浙江省浙南名校联盟2023-2024学年高二下学期返校联考数学试题）
2．已知点是直线上一点，点是椭圆上一点，设点为线段的中点，为坐标原点，若的最小值为，则椭圆的离心率为 .
（23-24高三上·山东青岛·期末）
3．已知动点P，Q分别在圆和曲线上，则的最小值为 ．
先得出中点的轨迹，再由点到直线的距离公式得出，进而由导数得出的最大值，从而得出.
设，
则，所以，同理
因为在直线上，所以，
得，
即，
即中点的轨迹为直线：，
所以到此直线的距离最小，即
，
令，所以，
当时，单调递增；
当时，单调递减，
所以，所以，
所以
（2018·陕西·一模）
4．已知函数和直线，若点是函数图象上的一点，则点 到直线的距离的最小值为 ．
（重庆市南开中学校2021-2022学年高二下学期5月月考数学试题）
5．设点在直线上，点在曲线上，线段的中点为为坐标原点，则的取小值为 .
（2020届福建省漳州市高三下学期（线上）适应性测试数学（文科）试题）
6．已知P是曲线上的点，Q是曲线上的点，曲线与曲线关于直线对称，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，则的最小值为 ．
（2020·浙江温州·二模）
7．已知点是直线上的动点，点是抛物线上的动点.设点为线段的中点，为原点，则的最小值为 .
（2017·云南昆明·一模）
8．设点分别是曲线和直线上的动点, 则两点间的距离的最小值是 ．
（19-20高三上·黑龙江大庆·阶段练习）
9．已知分别为函数，上两点，则两点的距离的最小值是 ．
（2020·全国·一模）
10．已知函数，点为函数图象上一动点，则到直线距离的最小值为 .
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．##
【分析】
由题意得，在点的切线和直线平行时，点到直线的距离最小，用导数法求出切点坐标，再用点到直线的距离公式即可求解.
【详解】
由题意，点是曲线上任意一点，
则在点的切线和直线平行时，点到直线的距离最小，
设，则的定义域为，，
直线的斜率为，
令，解得或（舍），
因为，所以点，
此时点到直线的距离最小为.
故答案为：.
2．##
【分析】根据题意先求出直线关于原点的对称直线，然后利用几何知识得，设，在利用点到直线的距离公式，从而可求解.
【详解】直线关于原点的对称直线为，记直线与直线的交点为，连结，，如图，
为的中位线，则，
设，
，或，
当时，与椭圆相交，最小值为0，与矛盾，舍去.
当时，符合要求，此时，，椭圆离心率.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题主要利用数型结合方法，并巧妙设点，从而求出相应的的值，从而求解.
3．
【分析】先得到圆心在上，半径为，故的最小值等于的最小值减去半径，由反函数可知，的最小值等于到直线的距离的最小值的2倍，求导得到在点处的切线与平行，求出到的距离最小值，得到答案.
【详解】由题意得，即圆心在上，半径为，
故的最小值等于的最小值减去半径，
设，由于与关于对称，
的最小值等于到直线的距离的最小值的2倍，
由，可得，令，解得，
故在点处的切线与平行，此时到的距离最小，
最小值为，
故的最小值为，
则的最小值等于.
故答案为：
【点睛】方法点睛：两曲线上点的距离最值问题，处理思路如下：
①设出两点的坐标，利用两点间距离公式表达出距离，结合基本不等式或求导，得到函数最值；
②利用几何关系，找到取最小距离的位置或点的坐标，进行求解.
4．
【分析】
设出点P的坐标，利用点到直线的距离公式，借助导数求出最小值作答.
【详解】
依题意，设点，则点到直线的距离，
令，求导得：，当时，，当时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增，，
显然有，当且仅当时取等号，
所以点 到直线的距离的最小值为.
故答案为：
5．##
【分析】通过转化可得的最小值为到距离平方的最小值，利用导数求出切线即可得出.
【详解】由题可设，，则
则
即，
即的最小值为到距离平方的最小值，
其中点在曲线上，在直线上，
的最小值为在曲线上与直线平行的切线的切点到直线的距离，
设切点为，因为曲线导数，则，解得，所以切点为，
所以，所以.
故答案为：.
6．
【分析】画出函数及其关于对称的曲线的简图，根据图像，分别过P，Q作的平行线，如图虚线，由于中点在图中两条虚线的中间线上，要中点到原点的距离最小需要左边最近，右边最远，因此当两条虚线是如图所示曲线的切线时，此时切点分别是P，Q，此时P，Q的中点M到原点O的距离最小，利用相切求得切点坐标，即得解．
【详解】,
函数在单调递增，单调递减.
它的图像及关于直线对称的图像如图所示：
分别过P，Q作的平行线，如图虚线，由于中点在图中两条虚线的中间线上，要中点到原点的距离最小需要左边最近，右边最远，因此当两条虚线是如图所示曲线的切线时，此时切点分别是P，Q，此时P，Q的中点M到原点O的距离最小.
令，又P在y轴右侧，；
根据两条曲线的对称性，且P，Q处的切线斜率相等，点Q为点关于对称的点，可求得
因此PQ中点坐标为：
故答案为：
【点睛】本题考查了函数综合，考查了函数的对称性，单调性综合应用，考查了学生转化划归，数形结合的能力，属于难题．
7．
【解析】过点作直线平行于，则在两条平行线的中间直线上，当直线相切时距离最小，计算得到答案.
【详解】如图所示：过点作直线平行于，则在两条平行线的中间直线上，
，则，，故抛物线的与直线平行的切线为.
点为线段的中点，故在直线时距离最小，故.
故答案为：.
【点睛】本题考查了抛物线中距离的最值问题，转化为切线问题是解题的关键.
8．
【详解】试题分析：因为 ，由得，，即曲线在处的切线与直线平行，所以到直线的距离就是两点间的距离的最小值，由点到直线的距离公式得，故答案为．
考点：1、利用导数求切点坐标；2、点到直线的距离公式及转化与划归思想的应用．
【方法点睛】本题主要考查利用导数求切点坐标、点到直线的距离公式及转化与划归思想的应用．属于难题．数学中常见的思想方法有：函数与方程的思想、分类讨论思想、转化与划归思想、数形结合思想、建模思想等等，转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度．运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点．以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中．本题讲两点间的最值问题转化为，切点到直线的距离是解题的关键．
9．0
【分析】根据函数与函数互为反函数，可知、两点间的最短距离为点到直线的最短距离的2倍，利用导数求出即可．
【详解】，，，，
∴函数与函数互为反函数，
∴函数与函数的图象关于直线对称，
设，则
令,得x=ln2+，
又为增函数
∴在在单调递减，在在单调递增
∴的最小值为
即，使得
即函数图象与直线有交点，
即函数与函数的图象有公共点在直线上
故的最小值是0
故答案为：0．
10．
【解析】求出与直线平行的直线与曲线的切点，再根据点到直线的距离求出即可．
【详解】解：，，
与直线平行的切线斜率，
解得或（舍去），
又，即切点，
则切点到直线的距离为，
到直线距离的最小值为.
故答案为：.
【点睛】本题考查用导数法求函数的切点问题，点到直线的距离公式．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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