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专题7 三项式展开式问题
【2024年河南省普通高中毕业班高考适应性测试T13】．的展开式中的系数为__________.
利用二项式定理，直接法计算即可.
由题意可知展开式的第五项为，含有，
化简得，所以其系数为.
（2024·山东济宁·一模）
1．的展开式中的系数为（ ）
A． B． C．30 D．60
（2024·浙江·一模）
2．展开式中含项的系数为（ ）
A．30 B． C．10 D．
利用组合知识，将问题转化为从3个元素中每次取一个放回取七次，计算即可.
问题可转化为：看成3个元素，每次从中取一个元素后放回，共取7次，
最后得到□，并求□，
∴应取（－2y）3次，即7次里面3次后还剩4次，从x和中，
最后得到，即x取3次，取一次，有，
∴系数为.
（23-24高二上·江西南昌·阶段练习）
3．在的展开式中，项的系数为（ ）
A．299 B．300
C． D．
（23-24高三上·云南曲靖·阶段练习）
4．的展开式中的常数项为（ ）
A．588 B．589 C．798 D．799
利用通项公式待定系数计算即可.
展开式的通项，
通项为
令，∴，∴系数为.
（2024·福建龙岩·一模）
5．的展开式中的系数为（ ）
A． B． C．14 D．49
（2023·全国·模拟预测）
6．在的展开式中常数项为（ ）
A．721 B．-61 C．181 D．-59
（23-24高二上·江西·期末）
7．的展开式中，的系数为（ ）
A．60 B．120 C． D．
（2024·辽宁·一模）
8．的展开式中的系数为（ ）
A．55 B． C．30 D．
（2024·云南昆明·模拟预测）
9．的展开式中，项的系数为（ ）
A． B． C． D．
（23-24高二上·全国·课时练习）
10．在的展开式中的系数是（ ）
A．160 B．180 C．240 D．210
（2023·河南郑州·模拟预测）
11．在的展开式中，项的系数为（ ）
A．1680 B．210 C．－210 D．－1680
（2024·新疆乌鲁木齐·一模）
12．的展开式中的系数为（ ）
A． B． C．20 D．30
（2024·全国·模拟预测）
13．的展开式中，常数项为（ ）
A． B． C．70 D．72
（23-24高三上·河北唐山·阶段练习）
14．的展开式中的系数为（ ）
A．208 B． C．217 D．
（2023高三·全国·专题练习）
15．在的展开式中，项的系数为（　　）
A． B． C．30 D．50
（21-22高三下·四川成都·阶段练习）
16．的展开式中的系数为（ ）
A．12 B． C．6 D．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】
求得中含有的项，即可求得的系数.
【详解】，
则展开式中含有的项为，
故的展开式中的系数为.
故选：B.
2．B
【分析】
根据排列组合与二项式定理知识直接计算即可.
【详解】由题意得，展开式中含的项为，
所以展开式中含项的系数为.
故选：B
3．C
【分析】
根据给定条件，利用组合应用问题列式求出项的系数.
【详解】的展开式中，项是从5个多项式中任取1个用，
再余下4个多项式中任取1个用，最后3个多项式都用1相乘的积，
即，所以项的系数为.
故选：C
4．B
【分析】因为展开式中的项可以看作8个含有三个单项式各取一个相乘而得，分析组合可能，结合组合数运算求解.
【详解】因为展开式中的项可以看作8个含有三个单项式中各取一个相乘而得，
若得到常数项，则有：①8个1；②2个，1个，5个1；③4个，2个，2个1；
所以展开式中的常数项为.
故选：B.
5．D
【分析】
根据二项式的展开式的通项进行合理赋值即可.
【详解】的展开式的通项为，
则，，
则展开式中的系数为，
故选：D.
6．D
【分析】
先求出展开式的通项公式=,其中的展开式的通项公式为，令x的幂指数等于0，求得r，k的值，即可求得展开式中的常数项的值.
【详解】
=的展开式的通项公式为
=，
其中的展开式的通项公式为，
当时，，，常数项为；
当时，，，常数项为；
当时，，，常数项为；
故常数项为++.
故选：D
7．A
【分析】
根据二项展开式公式求解即可.
【详解】由题意中含的项为，则的系数为60，
故选：A
8．C
【分析】
借助二项式展开式的通项公式计算即可得.
【详解】对，有，
令，有，
令，有，
则，
故的展开式中的系数为.
故选：C.
9．C
【分析】
写出展开式通项，令的次数为，的次数为，求出参数的值，代入通项后即可得解.
【详解】
因为的展开式通项为，
的展开式通项为，
所以，的展开式通项为，
其中，，
由可得，
所以，展开式中项的系数为.
故选：C.
10．C
【分析】
根据二项式的定义可知有个因式中取，个因式中取项，即可得解.
【详解】
在的展开式中，要得到含的项，
则有个因式中取，个因式中取项，故的系数为．
故选：C
11．A
【分析】相当于在7个因式中有3个因式选，余下的4个因式中有2个因式选，最后余下2个因式中选，把所选式子相乘即可得项，求解即可.
【详解】相当于在7个因式中有3个因式选，有种选法，
余下的4个因式中有2个因式选，有种选法，
最后余下2个因式中选，把所选式子相乘即可得项，
而，所以项的系数为.
故答案为：A.
12．A
【分析】
利用二项式定理展开式的通项公式进行计算即可.
【详解】，
其展开式的通项公式为，
令，则，
而的展开式的通项公式为：
，
令，则的展开式中的系数为:
,
故选：A.
13．C
【分析】方法一：由，利用通项公式求解；方法二：由，利用通项公式求解.
【详解】解：方法一：展开式中，
第项，
所以常数项为，
方法二：展开式中，
第项，
当时，展开式中常数项为；
当时，展开式中常数项为；
当时，，
所以的展开式中，常数项为70，
故选：C．
14．B
【分析】根据各未知数的次数以及二项式定理，即可得出答案.
【详解】根据二项式定理可得，
的展开式中，含的项为.
所以，的展开式中的系数为.
故选：B.
15．B
【分析】根据多项式展开式确定含的项组成情况，再根据乘法计数原理与加法计数原理求结果.
【详解】
表示5个因式的乘积，在这5个因式中，
有2个因式都选，其余的3个因式都选1，相乘可得含的项；
或者有3个因式选，有1个因式选，1个因式选1，相乘可得含的项，
故项的系数为.
故选:B．
16．B
【分析】由，利用组合的知识求解展开式中含的项，即可得解.
【详解】视作4个相乘，从中取2个式子提供，1个式子提供，1个式子提供，则可得到，
即展开式中项的系数为.
故选：B.
答案第1页，共2页
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