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专题9 排列组合综合问题
【天一大联考---顶尖联盟2024第二次考试理数第7题（改编题）】斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1， 1， 2， 3， 5， 8， …，这个数列从第3项开始，每项都等于前两项之和.小李以前6项数字的某种排列作为他的银行卡密码，如果数字1与2相邻，则小李可以设置的不同的密码个数为（ ）
A. 252 B. 264 C.240 D. 216
法一：由排列计算出所有密码个数，再计算1，2不相邻的排法，从而间接的得出答案.
法二：得出“12”捆绑则所有排法，再减去重复的情况即可.
法一：用1，1，2，3，5，8组成的所有密码个数为（或），
再计算1，2不相邻的排法：先排数字2，3，5，8，有种排法，4个数字形成5个空当
第一类:若两个1相邻，则从可选择的3个空，当中选出一个放入两个1，有3种排法;
第二类:若两个1也不相邻，则从可选择的3个空当中选出两个分别放入数字1，有3种排法.
所以1，2相邻的个数为，则不同的密码个数为360-144=216.选D
法二：将“12”捆绑则所有排法有种，其中重复是“121”连排情况（121×××即与121×××重复）所以重复了种，∴共有种密码.
（22-23高二下·四川资阳·期末）
1．由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数，其中奇数不相邻，且2不在第二位，则这样的六位数个数为（ ）
A．120种 B．108种 C．96种 D．72种
（18-19高二下·山西吕梁·期末）
2．用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为 .
以“2”所在位置分类讨论，结合分类分步以及排列组合得出答案.
以“2”所在位置分类讨论①若“2”在第1位，则第2位置为1，其余1，3，5，8后四位，∴有种．
②若“2”在第2位，又可分三类，第1位为1，第3位不是1，则第3位有种选择，其余三个数后三位全排列有种，∴共有种；同理第1位不是1，第3位是1，也有18种．
当第1位和第3位都为1时，有种，综上“2”在第2位共有种．
③若“2”在第3位至第5位方法数同②，每个位置排法均有42种．
④若“2”在最后一位同①有24种，∴共有种．
（20-21高二下·上海长宁·期末）
3．由0、1、2、3、4、5六个数字组成无重复数字且数字2、3相邻的四位数共 个（结果用数字表示）．
（2018·天津·一模）
4．用0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位偶数，要求奇数不相邻，且0不与另外两个偶数相邻，这样的五位数一共有 个.（用数字作答）
利用捆绑法，讨论“1与2相邻”且与另一个“1”的相对位置，根据计数原理得出答案.
解：依题意，就满足“1与2相邻”且与另一个“1”的相对位置进行分类计数，
第一类，“112”与“3，5，8”的排列共有个；
第二类，“121”与“3，5，8”的排列共有个；
第三类，“211”与“3，5，8”的排列共有个；
第四类，“12”相邻且与另一个“1”不相邻的排列共有个．
：3，5，8的排列个数
：从3，5，8排列形成的四个空位中选择2个空位，分别作为“12”与另一个“1”的位置的方法数
：“12”相邻的位置方法数
根据加法原理，满足题意的密码共有，选D．
（23-24高二上·上海·课时练习）
5．用1、2、3、4、5、6组成没有重复数字的六位数，要求所有相邻两个数字的奇偶性都不同，且1和2相邻．问：有多少个这样的六位数？
（23-24高三上·江西九江·阶段练习）
6．由1，2，3，4，5，6组成的没有重复数字的六位数，要求奇数1，3，5两两不相邻，但1和2必须相邻，这样的六位数共有 个．
（2023·四川成都·模拟预测）
7．形如45132的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比它们各自相邻的数字大，由1，2，3，4，5构成的无重复数字的五位“波浪数”的个数为（ ）
A．13 B．16 C．20 D．25
（21-22高二下·浙江·阶段练习）
8．用这五个数字能组成无重复数字且与不相邻的五位数的个数有（ ）
A．36 B．48 C．60 D．72
（20-21高二下·天津南开·期中）
9．用1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的五位数，要求偶数不能相邻，则这样的五位数有（ ）个
A．120 B．216 C．222 D．252
（2021·浙江·三模）
10．用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的六位偶数，若有且仅有2个奇数相邻，则这样的六位数共有（ ）
A．192个 B．216个 C．276个 D．324个
（19-20高三上·浙江·期末）
11．若数字1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数，则数字3，6不相邻且数字4不在第四位（从左往右数）的六位数的个数有（ ）
A．228 B．312 C．396 D．480
（2012·甘肃武威·二模）
12．用0，1，2，3，4排成无重复数字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是(　　)
A．36个 B．32个 C．24个 D．20个
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】
利用全部不相邻的奇数中去掉2在第二位的情况，即可利用不相邻问题插空法求解.
【详解】1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数，其中奇数不相邻，先排3个偶数，然后把3个奇数插入即可，共有个，
若2在第二位，则第一位一定为奇数，则从3个奇数中选择一个放在第一位上，此时还剩下2个偶数和2个奇数安排在后四位上，则先排2个偶数，然后把剩下2个奇数插空即可，此时共有个，
因此符合条件的六位数有个，
故选：B
2．288
【分析】用排除法，先计算2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻的方法数，从2，4，6三个偶数中任意取出2个看作一个整体，将“整体”和另一个偶数插在3个奇数形成的四个空中，减去1在左右两端的情况，即可.
【详解】从2，4，6三个偶数中任意取出2个看作一个整体，方法有种，
先排三个奇数，有种，形成了4个空，将“整体”和另一个偶数插在3个奇数形成的四个空中，方法有种
根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有：种
若1排在两端，3个奇数的排法有种，形成了3个空，将“整体”和另一个偶数中插在3个奇数形成的3个空中，方法有种，根据分步计数原理求得此时满足条件的6位数共有种
故满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻的六位数有种
故答案为：288
【点睛】本题考查了排列组合在数字排列中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
3．60
【分析】分两种情况：四位数有0和没有0时，然后求出数字2,3相邻的即可.
【详解】四位数没有0时，数字2,3相邻看作一个数字，2,3需要排列，所以有种，
四位数有0时，求出数字2,3相邻，看作一个数，2,3排列，0只能在后两位置选一个，所以有种，故满足题意的共有60个；
故答案为：60.
4．
【分析】分末尾数字为0，2，4三种情况讨论即可.
【详解】①若末位数字为时，则共有个五位数；
②若末位数字为时，则当十位数字为时，只有；当十位数字为时，只有；当十位数字为时，有和两个五位数，共有个五位数.
③若末位数为时，则当十位数字为时，只有；当十位数字为时，有和两个五位数；当十位数字为时，只有，共有个五位数.
综上，这样的五位数共有个.
故答案为：.
5．40
【分析】
分三步，第一步安排3、5，第二步安排4、6，第三部安排1、2；
【详解】先排3、5，有种方法，再将4、6插空排列，有种方法，
最后将捆绑放到3、4、5、6形成的5个空中，
且保持所有相邻两个数字的奇偶性都不同，共有种方法，
综上：一共有个这样的六位数.
6．72
【分析】
根据题意，1和2两个数按“12”的顺序和“21”的顺序捆绑，再利用插空法可得答案.
【详解】根据题意1和2必须相邻，将“12”或“21”看成一个整体与4、6全排列，
排好后，要求奇数1，3，5两两不相邻，则有3个空位可选，再将“3”和“5”插入到3个空位中，
所以有种，即满足条件的六位数共有72种，
故答案为：72
7．B
【分析】
根据给定条件，确定十位、千位数字，再分类求解作答.
【详解】依题意，由1，2，3，4，5构成的无重复数字的五位“波浪数”的十位、千位数字分别为5与4或5与3，
当十位、千位数字为5与4时，排十位、千位数字有种，排另三个数位有种，共有种，
当十位、千位数字为5与3时，则4与5必相邻，且4只能为最高位或个位，即4与5可视为一个整体，
1，2，3视为一个整体，且3在1与2的中间，因此不同排法有种，
所以构成的无重复数字的五位“波浪数”的个数为.
故选：B
8．C
【分析】根据题意分当在万位，当在万位，当在万位和当在万位四种情况分别求解即可.
【详解】根据题意：当在万位时，千位不能排，所以千位有：种，再排列剩下的数字有：，所以当在万位时，共有：种；
当在万位时，先排和，有：种，会出现三个空，再将数字和插入三个空，有种，所以当在万位时，共有：种；
当在万位时，千位不能排，所以千位有：种，再排列剩下的数字有：，所以当在万位时，共有：种；
当在万位时，先排和，有：种，会出现三个空，再将数字和插入三个空，有种，所以当在万位时，共有：种；
综上所述：满足条件的方法共有：.
故选：C.
9．D
【分析】按含2个偶数字和含3个偶数字分成两类，每一类插空法而得解.
【详解】完成组成无重复数字的五位数这件事有两类办法：
取2个偶数字，3个奇数字有种，先排3个奇数字，再把所取的2个偶数字插入有种，不同五位数有个；
取3个偶数字，2个奇数字有种，先排3个偶数字，再把所取的2个奇数字插入有种，不同五位数有个；
由分类计数原理知，没有重复数字的五位数共有个.
故选：D
【点睛】关键点睛：有特殊元素的排列组合问题，按含特殊元素的个数多少分类是解决问题的关键.
10．A
【分析】先考虑0也有可能在首位的所有情况，再运用排除法解决问题.
【详解】这6个数字中，偶数有0，2，4，奇数有1，3，5.
要使所组成的六位数为偶数，且有且仅有2个奇数相邻，先将0可能出现在首位也考虑进去.这样共有个，
再减去0在首位的个数，
当0在首位，且有且仅有2个奇数相邻，末位也是偶数的，共有个.
所以满足题意的6位数共有个.
故选：A.
11．C
【分析】首先求出数字3，6不相邻的情况，再求出3，6不相邻且数字4在第四位的情况，即可得解；
【详解】解：数字3，6不相邻的情况共有（种），其中数字4在第四位的情况有（种），则数字3，6不相邻且数字4不在第四位（从左往右数）的六位数的个数为.
故选：C.
【点睛】本题主要考查排列组合的有关知识，考查考生的逻辑推理能力，属于中档题.
12．D
【分析】分万位是2或4，或者万位数时1或3时，结合排列组合即可得解.
【详解】当万位数是2或4时，有个，
当万位数时1或3时，有个，
所以共有12+8=20个，
故选：D.
答案第1页，共2页
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