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专题8 服从二项分布的随机变量概率最大问题
【2024届唐山市普通高等学校招生统一考试第一次模拟演练T16】
某项测试共有8道题，每道题答对5分，不答或答错得0分．某人答对每道题的概率都是 ，每道试题答对或答错互不影响，设某人答对题目的个数为X．
（1）求此人得分的期望；
（2）指出此人答对几道题的可能性最大，并说明理由．
（1）由二项分布定义判断答对题目的个数服从二项分布，进而得出期望；
（2）由二项分布得出，再由，解不等式得出结论.
（1）某人答对每道题的概率都是，则答对题目的个数服从二项分布，
即，，
由于每道题答对得5分，所以此人答题得分为5X，因此在此项测试中，此人答题得分的期望为．
（2）设此人答对道题的可能性为．
记，则．
，
当时，随的增加而增加，即；
当时，随的增加而减小，即；
所以当时，最大，因此此人答对2道题的可能性最大．
（云南省昆明市嵩明县2024届高三上学期期中考试数学试题）
1．数轴上的一个质点Q从原点出发，每次随机向左或向右移动1个单位长度，其中向左移动的概率为，向右移动概率为，记点Q移动n次后所在的位置对应的实数为．
(1)求的分布列和期望；
(2)当时，点Q在哪一个位置的可能性最大，并说明理由．
2．若，则取得最大值时， .
由二项分布得出，再逐一计算，从而得出此人答对几道题的可能性最大.
解：（2）记此人答对k道题的可能性为，其中．
记，
则
易知，，
且．
因此，最大，最大，此人答对2道题的可能性最大.
（江苏省淮安市马坝高级中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题）
3．经检测有一批产品合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则取得最大值时的值为 .
由二项分布得出，再假设最大项为第t项，利用Pt≥Pt+1，Pt≥Pt-1，解不等式得出结论.
解：（2）设此人答对道题的可能性为，．
记，设是中的最大项，则
，即，∴，
又，
因此，是中的最大项，即此人答对2道题的可能性最大
（模块二专题3计数原理、随机变量及其分布列B提升卷（人教A））
4．经检测一批产品中每件产品的合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则以说法错误的是（ ）
A．的可能取值为1，2，3，4，5
B．
C．的概率最大
D．服从超几何分布
（山东省德州市万隆中英文高级中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题）
5．如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落过程中，每次碰到小木钉后可能向左或向右落下，其中向左落下的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为，，，，，则小球落入 号格子的概率最大.图片仅供参考
6．一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端．某种植户对一块地的个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立．对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种．则当 时，有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为 ．
（河北省石家庄市第一中学东校区2020-2021学年高二下学期教学质量检测（二）数学试题）
7．如果，其中， 时，最大.（注：是整数）
（江苏省徐州市铜山区2022-2023学年高二下学期期中数学试题）
8．已知一个质子在随机外力作用下，从原点出发在数轴上运动，每隔一秒等可能地向数轴正方向或负方向移动一个单位.若移动次，则当时，质子位于原点的概率为 ，当 时，质子位于6对应点处的概率最大.
9．在高三的一个班中，有的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出5名学生，那么数学成绩优秀的学生人数，则取最大值时 ．
（第八届高二试题（B卷）“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题解析（高中版））
10．随机变量，当取最大值时， ．
（上海市第二中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题）
11．一个不透明的箱子里放着大小质地均相同的10个红球和90个白球.
(1)甲从箱子中随机拿走了一部分球，箱子中还剩几个球的可能性最大？
(2)设随机变量表示甲从箱子中拿走的球的个数，求的值；
(3)甲从箱子中随机拿走了20个球，其中有几个红球的可能性最大？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)分布列见解析，；
(2)点Q所在的位置对应的实数应为4，理由见解析.
【分析】
（1）利用二项分布得出和的分布列，继而求出期望即可；
（2）设点Q向右移动m次，向左移动次的概率为，则，继而求作比求解即可．
【详解】（1）
由题意知可能的取值为：，，0，2，4，
则，，
，，
，
的分布列
0 2 4
P
.
（2）
设点Q向右移动m次，向左移动次的概率为，则，
，
当时，，随m的增加而增加，
当时，，随m的增加而减小，
所以当时，最大，此时点Q所在的位置对应的实数应为4．
2．6或7
【分析】
根据已知条件，结合二项分布的概率公式列不等式即可求解．
【详解】
由题意可知，服从二项分布，
所以，
，且，
由不等式，即，解得，
所以时，，
时，，其中当时，，
所以或7时，取得最大值．
故答案为：6或7．
3．
【分析】由已知可得，，根据二项分布的分布列公式求出时的概率，即可得出答案.
【详解】由已知可得，，.
则，，，，，，
所以，当时，取得最大值.
故答案为：.
4．ABD
【分析】的可能取值包括0可判断A；可判断B；若取得最大值时,则有，，求出的值可判断C；服从二项分布可判断D.
【详解】
对于A，的可能取值为0，1，2，3，4，5，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于D，由题意，随机变量，故D错误；
对于C，随机变量，所以，
若取得最大值时，则，
则，即，
解得，则，故的概率最大，所以C正确.
故选：ABD.
5．7
【分析】
小球下落需要次碰撞，每次向左落下的概率为，向右下落的概率为，归纳出小球掉入号格子，需要向左次，向右次，概率为，然后由小球落入号格子的概率最大，列不等式组求解．
【详解】
小球下落需要次碰撞，每次向左落下的概率为，向右下落的概率为，
小球掉入号格子，需要向左次，概率为，
小球掉入号格子，需要向左次，向右次，概率为，
小球掉入号格子，需要向左次，向右次，概率为，
小球掉入号格子，需要向左次，向右次，概率为，
依此类推，小球掉入号格子，需要向左次，向右次，
概率为，
设小球落入号格子的概率最大，显然，，
则解得，又为整数，所以，
所以小球落入号格子的概率最大．
故答案为：．
6． 5或6##6或5 ##0.3125
【分析】由题设可得补播种的概率，进而可得3个坑要补播种的概率为，应用不等式法求最大概率并确定对应n值即可.
【详解】对一个坑而言，要补播种的概率，
所以补播种坑的数量服从，则3个坑要补播种的概率为．
要使最大，只需，解得，
当或，.
所以，当或时有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为．
故答案为：5或6，.
7．或
【分析】根据题意可得，，1，2，…，，由最大，则有，从而可得答案.
【详解】解：∵，其中，
∴，，1，2，…，，
∵，
得，
∴，
∴当是整数时，或时，最大.
故答案为：或.
8． ## 或
【分析】根据独立重复试验的概率公式求时质子位于原点的概率，再求质子位于对应点处的概率表达式并求其最值.
【详解】设第次移动时向左移动的概率为，
事件时质子位于原点等价于事件前次移动中有且只有次向左移动，
所以事件时质子位于原点的概率为，
事件第次移动后质子位于对应点处等价于事件质子在次移动中向右移了次，
所以第次移动后质子位于对应点处的概率，
设，
则，
令可得，
化简可得，
所以，，所以，
令可得，，所以，
又，
所以或，即或时，质子位于对应点处的概率最大.
故答案为：；或.
9．1
【分析】，可得．则且计算可得．
【详解】解：依题意，可得
则，
且，
解得，又，所以．
故答案为：1
【点睛】本题考查了二项分布列的概率计算公式、组合数的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10．13或14
【分析】
根据所给的随机变量，写出变量所对应的概率，根据题意列出不等式即可.
【详解】 随机变量，，
依题意有
即
解得，故或14．
故答案为：13或14.
11．(1)50
(2)50
(3)2个
【分析】（1）设拿走个球的概率最大，列出概率表达式根据二项式系数性质求解；
（2）根据题意列出的分布列，求出的表达式，结合组合数性质化简得解；
（3）设有个红球的可能性最大，，则，化简运算得解.
【详解】（1）
设拿走个球，则剩余个球的概率最大，
则最大，即当最大时，求得时，可能性最大；
（2）
由题意可得分布列为
0 1 2 3 100
，
令，
则，①
又，②
由组合的对称性知
则①+②得，
，
；
（3）
设有个红球的可能性最大，即，，
则，
，
，
，
，
又，，
则有2个红球的可能性最大.
【点睛】关键点睛：第二问，求出，令，结合组合数性质，利用倒序相加化简求解；第三问，设有个红球的可能性最大，即，，列式运用组合数公式化简运算.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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