资源简介

专题6 全概率与数列结合问题
【广东省深圳中学2024届高三下学期二轮一阶测试数学试题】
从这个数中随机抽一个数记为，再从中随机抽一个数记为，则______．
根据全概率公式依次计算时能取到的各种情况的概率之和，再利用数列求和公式计算即可.
由全概率公式知：
，…
，
所以
．
（22-23高三上·山东潍坊·阶段练习）
1．现有n（，）个相同的袋子，里面均装有n个除颜色外其他无区别的小球，第k（，2，3，…，n）个袋中有k个红球，个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个取后不放回），若第三次取出的球为白球的概率是，则 .
根据取数的等可能性结合全概率公式及等差数列求和公式计算即可.
根据题意可知当时，此时等可能，
显然，而取的可能性为，∴.
（2023·浙江杭州·二模）
2．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，，，，，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即．
现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．
假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博．记赌徒的本金为，赌博过程如下图的数轴所示．
当赌徒手中有n元（，）时，最终输光的概率为，请回答下列问题：
(1)请直接写出与的数值．
(2)证明是一个等差数列，并写出公差d．
(3)当时，分别计算，时，的数值，并结合实际，解释当时，的统计含义．
（2023·山西·一模）
3．假设有两个密闭的盒子，第一个盒子里装有3个白球2个红球，第二个盒子里装有2个白球4个红球，这些小球除颜色外完全相同.
(1)每次从第一个盒子里随机取出一个球，取出的球不再放回，经过两次取球，求取出的两球中有红球的条件下，第二次取出的是红球的概率；
(2)若先从第一个盒子里随机取出一个球放入第二个盒子中，摇匀后，再从第二个盒子里随机取出一个球，求从第二个盒子里取出的球是红球的概率.
（2023·河北衡水·模拟预测）
4．某游戏中的角色“突击者”的攻击有一段冷却时间（即发动一次攻击后需经过一段时间才能再次发动攻击）.其拥有两个技能，技能一是每次发动攻击后有的概率使自己的下一次攻击立即冷却完毕并直接发动，该技能可以连续触发，从而可能连续多次跳过冷却时间持续发动攻击；技能二是每次发动攻击时有的概率使得本次攻击以及接下来的攻击的伤害全部变为原来的2倍，但是多次触发时效果不可叠加（相当于多次触发技能二时仅得到第一次触发带来的2倍伤害加成）.每次攻击发动时先判定技能二是否触发，再判定技能一是否触发.发动一次攻击并连续多次触发技能一而带来的连续攻击称为一轮攻击，造成的总伤害称为一轮攻击的伤害.假设“突击者”单次攻击的伤害为1，技能一和技能二的各次触发均彼此独立：
(1)当“突击者”发动一轮攻击时，记事件A为“技能一和技能二的触发次数之和为2”，事件B为“技能一和技能二各触发1次”，求条件概率
(2)设n是正整数，“突击者”一轮攻击造成的伤害为的概率记为，求.
（2023·全国·模拟预测）
5．甲袋中装有3个红球，2个白球，乙袋中装有5个红球，5个白球，两个袋子均不透明，其中的小球除颜色外完全一致.现从甲袋中一次性抽取2个小球，记录颜色后放入乙袋，混匀后从乙袋一次性抽取3个小球，记录颜色.设随机变量表示在甲袋中抽取出的红球个数，表示时，在乙袋中抽取出的红球个数，表示在乙袋中抽取出的红球个数.
(1)求的分布列；
(2)求的数学期望（用含的代数式表示）；
(3)记的所有可取值为，证明：，并求.
（2024·广东肇庆·模拟预测）
6．某市12月的天气情况有晴天，下雨，阴天3种，第2天的天气情况只取决于第1天的天气情况，而与之前的无关.若第1天为晴天，则第2天下雨的概率为，阴天的概率为；若第1天为下雨，则第2天晴天的概率为，阴天的概率为；若第1天为阴天，则第2天晴天的概率为，下雨的概率为.已知该市12月第1天的天气情况为下雨.
(1)求该市12月第3天的天气情况为晴天的概率；
(2)记分别为该市12月第天的天气情况为晴天 下雨和阴天的概率，证明：为等比数列，并求出.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．8
【分析】方法一：根据古典概型性质，先计算出某一情况下取球方法数的总数，在列举出第三次取球为白球的情形以及对应的取法数，根据古典概型计算概率，最后逐一将所有情况累加即可得出总概率，最后即可得到答案.
【详解】方法一：设选出的是第k个袋，连续三次取球的方法数为，
第三次取出的是白球的取法有如下四种情形：
白白白，取法数为：
红白白，取法数为：
白红白，取法数为：
红红白：取法数为：
所以第三次取出的是白球的总情形数为：
则在第k个袋子中取出的是白球的概率为：，
因为选取第k个袋的概率为，故任选袋子取第三个球是白球的概率为：
当时，.
故答案为:8．
方法二：设“取出第个袋子”，“从袋子中连续取出三个球，第三次取出的球为白球”， 则，且，，，两两互斥，，
，，所以，
所以，，即，解得：.
故答案为：．
【点睛】思路点睛：本题为无放回型概率问题
根据题意首先分类讨论不同k值情况下的抽取总数(可直接用k值表示一般情况)
再列出符合题意得情况(此处涉及排列组合中先分类再分组得思想)
最后即可计算得出含k的概率一般式，累加即可.
累加过程中注意式中n与k的关系可简化累加步骤.
2．(1)，
(2)证明见解析；
(3)时，，当时，，统计含义见解析
【分析】（1）明确和的含义，即可得答案；
（2）由全概率公式可得，整理为，即可证明结论；
（3）由（2）结论可得，即可求得，时，的数值，结合概率的变化趋势，即可得统计含义.
【详解】（1）当时，赌徒已经输光了，因此.
当时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率.
（2）记M：赌徒有n元最后输光的事件，N：赌徒有n元上一场赢的事件,
,
即，
所以，
所以是一个等差数列，
设，则，
累加得，故，得，
（3），由得,即,
当时，，
当时，，
当时，，因此可知久赌无赢家，
即便是一个这样看似公平的游戏，
只要赌徒一直玩下去就会的概率输光．
【点睛】关键点睛：此题很新颖，题目的背景设置的虽然较为陌生复杂，但解答并不困难，该题将概率和数列知识综合到了一起，解答的关键是要弄明白题目的含义，即审清楚题意，明确，即可求解,
3．(1)
(2)
【分析】（1）利用对立事件的概率公式与条件概率公式，结合古典概型求解即可；
（2）利用全概率公式，结合古典概型求解即可.
【详解】（1）依题意，记事件表示第次从第一个盒子里取出红球，记事件表示两次取球中有红球，
则，
.
（2）记事件表示从第一个盒子里取出红球，记事件表示从第一个盒子里取出白球，记事件表示从第二个盒子里取出红球，
则.
4．(1)；
(2).
【分析】（1）分析试验过程，分别求出和，利用条件概率的公式直接计算；
（2）分析 “突击者”一轮攻击造成的伤害为,分为：i.进行次，均不触发技能二；前面的次触发技能一，最后一次不触发技能一；ii.第一次触发技能二，然后的次触发技能一，第次未触发技能一；iii. 前面的次未触发技能二，然后接着的第次触发技能二；前面的触发技能一，第次未触发技能一. 分别求概率.即可求出.
【详解】（1）两次攻击，分成下列情况：i.第一次攻击，技能一和技能二均触发，第二次攻击，技能一和技能二均未触发；ii .第一次攻击，技能一触发，技能二未触发，第二次攻击，技能二触发，技能一未触发；iii. 第一、二次攻击，技能一触发，技能二未触发，第三次攻击，技能一、二未触发；
所以.
.
所以.
（2）“突击者”一轮攻击造成的伤害为,分为：
i. 记事件D：进行次，均不触发技能二；前面的次触发技能一，最后一次不触发技能一.其概率为：
ii. 记事件E：第一次触发技能二，然后的次触发技能一，第次未触发技能一.其概率为：
iii. 记事件：前面的次未触发技能二，然后接着的第次触发技能二；前面的触发技能一，第次未触发技能一. 其概率为：
，
则事件彼此互斥，记，
所以
.
所以
【点睛】关键点睛：这道题关键的地方是题意的理解，文字较多，要明白一轮攻击中含多次攻击，每次攻击判断技能的触发，在第二问中需要分多种情况进行讨论，然后用互斥事件的概率计算公式进行求解
5．(1)分布列见解析；
(2)；
(3)证明见解析，.
【分析】（1）根据题意，求得的取值，再求对应概率，即可求得分布列；
（2）服从超几何分布，直接写出期望即可；
（3）根据全期望公式，结合条件概率的和全概率公式，整理化简即可证明，再根据所证结论，直接计算即可.
【详解】（1）的所有可能取值为
，
所以的分布列为
X 0 1 2
P
（2）依题意，服从超几何分布，且，
故.
（3）的所有可能取值为0，1，2，3，则由全概率公式，
，；
因此
，
故.
【点睛】本题属于中档题，考查随机变量的分布列、期望、全概率公式.同四省联考一样，本题直接考查超几何分布的期望.作为重要的离散型随机变量之一，超几何分布的参数含义、均值一定要熟记，方差课本上不做要求，如果对自己要求较高的同学应掌握推导过程，具体证明可参见2023届“星云”五一联考22题.本题第（3）问的背景是重期望（或全期望）公式：对随机变量和，总有.
6．(1).
(2)证明见解析，.
【分析】（1）设“该市12月第天的天气情况为晴天,下雨, 阴天”分别为事件，，，通过列举得到，然后利用全概率公式计算概率即可；
（2）记，先根据全概率公式求出之间的递推关系，然后利用递推关系求通项公式.
【详解】（1）设“该市12月第天的天气情况为晴天”为事件，“该市12月第天的天气情况为下雨”为事件，“该市12月第天的天气情况为阴天”为事件，且.
由图可得，，
由全概率公式可得，
，
故该市12月第3天的天气情况为晴天的概率为
（2）记.
由（1）可得，
由全概率公式可得
.
，
即①，
同理可得②，③，
②+③得④，
由①得，则，
代入④得，即，
故，即.
又，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以当时，，
累加得.
又，所以.
又当时，也满足上式，
所以.
【点睛】方法点睛：对于数列和概率相结合的题目，一般是先根据条件得到递推公式，然后再根据递推公式求通项公式.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑