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专题10 取球模型中的概率问题
【2024届浙汇名校协作体高三上开学考10】已知甲盒中有2个红球，1个蓝球，乙盒中有1个红球，2个蓝球．从甲、乙两个盒中各取1个球放入原来为空的丙盒中．现从甲、乙、丙三个盒子中分别取1个球，记从各盒中取得红球的概率为，从各盒中取得红球的个数为，则（ ）
A． B．
C． D．
通过树状图分析出所有可能的情况，再由全概率公式求出概率，进而得出期望和方差.
首先，应明确甲盒和乙盒摸出球的颜色情况，在根据全概率公式求解；
由树状图可得：；；
；
且均服从两点分布，则
0 1
故
0 1
故
0 1
故
故选项正确，选项错误；故选；
（23-24高三上·江苏常州·阶段练习）
1．甲箱中有两个白球三个红球，乙箱中有一个白球三个红球，先从甲箱中取一球放入乙箱，再从乙箱中任取一球，则从乙箱中取得的为白球的概率为 ．
（23-24高三上·江苏镇江·开学考试）
2．现有两个罐子，1号罐子中装有3个红球 2个黑球，2号罐子中装有4个红球 2个黑球.现先从1号罐子中随机取出一个球放入2号罐子，再从2号罐子中取一个球，则从2号罐子中取出的球是红球的概率为 .
根据已知利用平均值的原理去快速解决问题判断A选项，再结合两点分布分别得出数学期望和方差大小判断B,C,D选项.
可以利用平均值的原理去快速解决问题，甲盒中有2个红球，1个篮球，拿出一个球，相当于平均拿出个红球，个篮球；
乙盒中有1个红球，2个篮球，拿出一个球，相当于平均拿出个红球，个篮球，
那么拿出一个球后，放入丙盒子中后，相当于甲盒子内还有个红球，个篮球，乙盒子内还有个红球，个篮球，丙盒子中有1个红球，1个篮球，
故，，，，A选项正确 ；
满足两点分布，
故，，
，，
，，，，B,C选项正确，D选项错误.
故选：ABC.
（2024·北京怀柔·模拟预测）
3．甲袋中有5个红球和3个白球，乙袋中有4个红球和2个白球，如果所有小球只存在颜色的差别，并且整个取球过程是盲取，分两步进行：第一步，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别用、表示由甲袋中取出红球、白球的事件；第二步，再从乙袋中随机取出两球，用B表示第二步由乙袋中取出的球是“两球都为红球”的事件，则事件B的概率是 .
（22-23高二下·新疆喀什·期末）
4．甲箱中有个红球，个白球和个黑球，乙箱中有个红球，个白球和个黑球.先从甲箱中随机取出一个球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则从乙箱中取出的是红球的概率为 .
（23-24高三上·天津宁河·期末）
5．甲和乙两个箱子中各装有大小质地完全相同的个球，其中甲箱中有个红球、个白球和个黑球，乙箱中有个红球、个白球和个黑球．若从甲箱中不放回地依次随机取出个球，则两次都取到红球的概率为 ；若先从甲箱中随机取出一球放入乙箱；再从乙箱中随机取出一球，则从乙箱中取出的球是红球的概率为 ．
（2023·湖南永州·二模）
6．已知盒中有3个红球，2个蓝球，若无放回地从盆中随机抽取两次球，每次抽取一个，则第二次抽到蓝球的概率为 ．
（23-24高三上·山东滨州·期末）
7．甲和乙两个箱子中各装有10个除颜色外完全相同的球，其中甲箱中有4个红球、3个白球和3个黑球，乙箱中有5个红球、2个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用、和表示由甲箱取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，用B表示由乙箱取出的球是红球的事件，则
（23-24高二上·上海·期末）
8．某校中学生篮球队集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）.每次训练都从中任意取出2个球，用完后放回.已知第一次训练时用过的球放回后都当作旧球，则第二次训练时恰好取到1个新球的概率为 .
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．
【分析】根据全概率公式求解即可.
【详解】设事件A表示从甲箱中随机取出一红球放入乙箱中，事件B表示从甲箱中随机取出一白球放入乙箱中，设事件表示从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则取出的球是白球，
则有,
所以，
故答案为:
2．
【分析】
根据给定条件，利用全概率公式求解作答.
【详解】记1号罐子中取出红球的事件为，取出黑球的事件为，从2号罐子中取出红球的事件为，
显然互斥，，
所以.
故答案为：.
3．
【分析】
根据全概率公式即可求解.
【详解】
因为，
所以,
故答案为：
4．
【分析】
令事件，，分别为“从甲箱中取出一个球是红球、白球、黑球”，根据条件和相应的概率，再求出从乙箱中取出的是红球的概率即可.
【详解】令事件为“从甲箱中取出一个球是红球”，
事件为“从甲箱中取出一个球是白球”，
事件为“从甲箱中取出一个球是黑球”，
事件为“从乙箱中取出一个球是红球”，
则，，，
所以.
故答案为：
5．
【分析】根据条件，先求出基本事件的个数和事件包含的基本事件的个数，再由古典概率公式即可求出第一空的结果；用，，表示从甲箱中随机取出一球是红球、白球、黑球，事件：从乙箱中取出的球是红球，从而有，再利用互斥事件的概率公式及全概率公式即可求出结果.
【详解】因为从甲箱中不放回地依次随机取出个球，共有种取法，
又两次都取到红球，共有种取法，由古典概率公式知，两次都取到红球的概率为，
记事件：表从甲箱中随机取出一球是红球，记事件：表从甲箱中随机取出一球是白球，
记事件：表从甲箱中随机取出一球是黑球，记事件：从乙箱中取出的球是红球，
则，，
所以
.
故答案为：；.
6．##0.4
【分析】分两种情况，由全概率公式求出答案.
【详解】第一次抽到红球，第二次抽到蓝球的概率为，
第一次抽到蓝球，第二次抽到蓝球的概率为，
故第二次抽到蓝球的概率为.
故答案为：
7．
【分析】
由题设求出，，，利用全概率公式、条件概率公式进行求解即可．
【详解】
由题意得，，，
若发生，此时乙箱中有6个红球，2个白球和3个黑球，则，
先发生，此时乙箱中有5个红球，3个白球和3个黑球，则，
先发生，此时乙箱中有5个红球，2个白球和4个黑球，则．
，
；
.
故答案为：
8．
【分析】
求出第一次取到0个、1个、2个新球的概率，再结合条件概率及全概率公式列式计算即得.
【详解】用表示第一次取到个新球的事件，用表示第二次训练时恰好取到1个新球的事件，
则，且两两互斥，，
，
因此，
所以第二次训练时恰好取到1个新球的概率为.
故答案为：
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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