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专题11 二项式定理中部分项的系数和问题
【 2024届广东省江门市高考模拟考试数学试题（一模）】
已知．则的值是（ ）
A．680 B．－680 C．1360 D．－136
根据原式系数特征，直接代入和，进而将两式相加，结合等比数列求和公式计算即可得到答案.
解：记，
则在已知等式中，令得，①
在已知等式中，令得，②
由①＋②得，
．
即，选B．
1．若，且，则（ ）
A．42 B．1092 C．1086 D．6
2．设，若，则＝（　　）
A．256 B．136 C．120 D．16
3．若，则（ ）
A．257 B．129 C． D．
4．的展开式的各项系数和是（ ）
A． B． C． D．
根据二项式定理的相关概念写出每一项的表达式，结合组合数的计算公式与相关性质逐一求解再求和即可.
解：
的展开式通项为
（注：上述过程利用此公式——）
5．若，则（ ）
A．
B．
C．
D．
先通过换元将原式进行化简，再通过变形与赋值的方法，结合等比数列求和公式求得答案.
解：由已知，令，则，
，①
，
即，②
由①＋②得
令代入上式得
．
6．已知，则（ ）
A． B．1 C． D．0
7．已知，则下列选项正确的有（ ）
A． B．
C． D．
8．设，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
通过换元的方法化简原式，结合奇数项与偶数项特征，求得偶数项各项的通项公式，进而求和计算即可.
解：由已知，
令，则，
，
设，
且的展开式中t的奇次方项系数和记为，t的偶次方项系数和记为，则
令得；令得，．
因此．
10．已知.求：
(1)；
(2)；
(3).
11．设，则结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．，，，，，，中最小的是
12．对任意实数x，有．则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．
13．若将函数表示为， 其中为实数，则（　　）
A． B．
C． D．
14．若，则下列说法中正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
15．若则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
16．已知，则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．
17．已知，则 .
18．设，则 ．
19．若，求：
(1)各项系数之和；
(2)奇数项系数的和与偶数项系数的和．
20．若，且.
(1)求实数a的值；
(2)求的值.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】
取结合等比数列求和公式得到，计算得到答案.
【详解】取得到，
即，
，则.
故选：C.
2．A
【分析】
根据条件，通过赋值，即可求出结果.
【详解】
因为，
令，得到，
又，所以
故选：A.
3．B
【分析】
令得，令得，相减即得结论．
【详解】
令，则，令，则，所以．
故选：B．
4．D
【分析】的展开式的各项系数和为，求出即得解.
【详解】的展开式的各项系数和为，
所以.
故选：D.
【点睛】结论点睛：关于二项式展开式的系数和问题，一般先设其为，再求即得解.
5．AC
【分析】
根据展开式的形式结合二项式定理，逐项赋值判即可.
【详解】①，令，则，故A正确，
易知，故B错误；
令，则，故C正确；
对①两边求导可得：②
令，得，
则，
两式相减得，
所以，故D错误．
故选：AC．
6．A
【分析】
首先利用换元，转化为，再去绝对值后，赋值求和.
【详解】
因为，
令，可得，
则，
二项式的展开式通项为（且），
则（且）.
当为奇数时，，当为偶数时，，
因此，令可得
.
故选：A.
7．BC
【分析】利用换元法将题设条件转化为，再利用赋值法判断ACD，利用二项展开通项公式判断B，从而得解.
【详解】因为，
令，则，所以，
对于A，令，得，故A错误；
对于B，因为的展开通项公式为，
令，则，故B正确；
对于C，令，得，故C正确；
对于D，令，得，
两式相减，得，故D错误.
故选：BC.
8．AB
【分析】
令，则，将原式变形，对于，为第二项的系数，由二项式定理即可求解；对于，令，即可得；对于，令，可求，令，即可求解；对于，令，即可求解.
【详解】令，所以，
所以原式可变形为，
所以，故正确；
令，则，故正确；
令，则，
令，则，所以，故不正确；
令，则，
所以，故不正确.
故选：.
9．AC
【分析】取，可以判断A正确；取，可以判断C正确；取，可以判断D错误；令，得，知，故B错误.
【详解】取，可得，故A正确；
取，得，则，故C正确；
取，得，故D错误；
令，得，知，故B错误.
故选：AC.
10．(1)
(2)
(3)
【分析】
（1）分别令和，进而求得的值；
（2）令，求得，两式相减，即可求解；
（3）令，求得的展开式中通项，进而求得的值.
【详解】（1）
解：由，
令，则，
令，则，
所以.
（2）
解：令，则，
因为，
两式相减，可得，所以.
（3）
解：令，则，所以，
可得的展开式中通项为，
令，则，；
令，则，则，
所以.
11．ABD
【分析】
赋值法可判断A，B；求出的通项可判断C，D.
【详解】对于A，令，则①，故A正确；
对于B，令，则②，
则②减①可得：，则，故B正确；
对于C，的通项为，
令，则，
令，则，所以，故C错误；
对于D，的通项为，
所以当时，即，而，
又，
故，，，，，，中最小的是，故D正确.
故选：ABD.
12．CD
【分析】
利用换元整理得，对于A、C、D：利用赋值法运算求解；对于B：结合二项展开式的通项公式运算求解.
【详解】令，则，可得，
对于选项A：令，即，可得，故A错误；
对于选项C：令，即，可得，
所以，故C正确；
对于选项D：令，即，可得，故D正确；
对于选项B：因为的二项展开式为，
所以，
令，则，故B错误；
故选：CD.
13．ABCD
【分析】根据条件，通过换元得到，对于选项ACD，通过赋值即可得判断出相应选项的正误；对于选项B，利用展开式的通项公式为，即可求出，从而判断出选项B正确.
【详解】因为，
令，得到，
选项A，令，得到，所以选项A正确；
选项B，因为展开式的通项公式为，
令，得到，所以，故选项B正确；
选项C，令，得到，又，所以，故选项C正确；
选项D，令，得到，又，所以.
故选：ABCD.
14．ABC
【分析】
利用换元法令，将方程转化为关于的多项式，然后利用赋值法进行求解即可.
【详解】令，则，
令，可得，即，故A正确；
令，可得，故B正确；
由题可知，故C正确；
由，对等式两边同时求导可得：
，
令，可得，故D错误.
故选：ABC.
15．BC
【分析】
令，则，再利用赋值法判断A、C，利用展开式的通项判断B，对式子两边求导，再利用赋值法判断D.
【详解】因为，
令，则，
令，可得，故A错误；
令，可得，
令，可得，
两式相加可得，
所以，故C正确；
将两边对求导可得，
再令，可得，故D错误；
二项式展开式的通项为，所以，故B正确；
故选：BC
16．AB
【分析】
令，将式子化为，再令求出，判断A，令判断B，写出展开式的通项，即可判断C，对式子两边求导，再令，即可判断D.
【详解】因为，
令，则，
令可得，故A正确；
令可得，故B正确；
二项式展开式的通项为，令，解得，
所以，即，故C错误；
在两边对求导可得，
，
再令可得，故D错误；
故选：AB
17．
【分析】在等式中令，利用等比数列求和公式可求得的值.
【详解】在等式中，
令可得.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用赋值法求各项系数和，同时也考查了等比数列求和，考查计算能力，属于中等题.
18．
【分析】
利用赋值法求得正确答案.
【详解】由，
令，得，
令，得，
所以.
故答案为：
19．(1)1
(2)奇数项系数和为，偶数项系数和为
【分析】（1）各项系数之和即为，利用“赋值法”即可求解；
（2）通过赋值，得到，再结合（1）中所求结果即可求出结果.
【详解】（1）因为，
令，得到，即.
（2）由（1）知，
令，得到，
两式相加得到，故奇数项系数的和为，
两式相减得到，故偶数项系数的和为.
20．(1)
(2)
【分析】
（1）换元后，利用展开式的通项公式可求出结果；
（2）根据通项公式判断各项系数的符号，去掉绝对值，再根据赋值法可求出结果.
【详解】（1）令，则，有，
，
令，得，解得.
（2）由（1）知，，
对照系数知，，，，，，，.
令，得，
令，得，
故.
答案第1页，共2页
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