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专题8 数列与不等式恒成立问题
【2023-2024年华中师大一附中高二上期末】记上的可导函数的导函数为，
满足的数列称为“牛顿数列”．若函数，且，
数列为牛顿数列．设，已知，则______，数列的前项和为，
若不等式对任意的恒成立，则的最大值为______．
根据题意得出递推公式，由化简得出为等比数列，求其通项及和，分离参数结合对勾函数的性质求最值即可.
由题意知：，
又，
，
，又因为，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列．
所以．
显然递增．
而不等式对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
由双勾函数，在单调递减，在单调递增．
所以当，即时，取得最小值．
所以的最大值为，所以答案为．
1．艾萨克·牛顿（1643-1727），英国皇家学会会长，英国著名物理学家，在数学上也有许多杰出贡献.牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时给出了一个数列：，我们把该数列称为牛顿数列.如果函数有两个零点1和3，数列为牛顿数列，，且，，则数列的通项公式为 ．
（2023·河南开封·模拟预测）
2．已知数列的前n项和为，，且，若不等式对一切恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
根据题意得出递推公式，结合已知计算数列前几项，由不完全归纳法得数列通项，再分离参数结合对勾函数的性质求最值即可.
由题意知：，
又，，
同理可得，
所以可由不完全归纳法推出．
所以．
显然递增．
而不等式对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
由双勾函数，在单调递减，在单调递增．
所以当，即时，取得最小值．
所以的最大值为，所以答案为．
总评
本题是一道以数列为背景的不等式恒成立问题，多与数列的求和相联系，最后利用数列或数列对应函数的单调性处理，对递推公式的变形有较高的要求，通常出现在选择题和填空题难度一般为中等偏难．解决此类问题的一般思路有：
（一）特殊到一般的思想，通过列举找到数列的规律，求出通项公式，将恒成立问题转化为最值问题；
（二）通过递推公式的结构，找到对应求数列通项的方法求出通项公式，在将恒成立问题转化为最值问题；
从不等式恒成立问题角度出发，可采用处理恒成立的策略（分类讨论，分离参数等），差异在于将变量变成了一个数列的前项和，因此只需求出的范围，此问题就与我们熟悉的恒成立问题一致了，而要求前项和，必须找到数列的通项，通项有递推公式求或则不完全归纳法观察得出．
3．已知正项数列，其前项和为，且满足，数列满足，其前项和，设，若对任意恒成立，则的最小值是 .
（22-23高二上·江苏镇江·期末）
4．已知数列满足，若对任意正实数，总存在和相邻两项，使得成立，则实数t的最小值为（ ）
A．9 B．9.5 C．10.5 D．17
（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）
5．已知各项均为正数的数列的前n项和，且满足，．设（非零整数，），若对任意，有恒成立，则的值是（ ）
A．2 B．1 C． D．
6．已知数列满足，，记数列的前n项和为，若对于任意，不等式恒成立，则实数k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知数列的前n项和为且，若对任意恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.已知二次函数有两个不相等的实根，其中.在函数图象上横坐标为的点处作曲线的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替，重复以上的过程得到；一直下去，得到数列.记，且，，下列说法正确的是（ ）
A． （其中） B．数列是递减数列
C． D．数列的前n项和
9．已知是各项均为正实数的数列的前n项和，，若，则实数m的取值范围是 ．
（22-23高二下·湖南邵阳·期中）
10．已知数列的首项，数列满足，为数列的前n项和，且满足：，则数列的通项公式为 ，若对且，不等式恒成立，则t的取值范围为
（2024高三·江苏·专题练习）
11．数列满足，数列满足，数列的前n项和为，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．
【解析】根据函数有两个零点1和3可将写成零点式,再利用求得关于的地推公式,进而根据求得的通项公式即可.
【详解】函数有两个零点1和3可得
.故.由题意得
.
故.
故.
故数列是以为首项, 公比为2的等比数列.故.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了新定义的问题方法,需要根据题意找到对应的数列的递推关系,从而推导出为等比数列.属于难题.
2．B
【分析】
根据递推公式等价变形构造等比数列，求出数列的通项，利用错位相消法求得，对进行奇偶分类，将不等式运用参变分离法分别求出参数的范围再求交集即得.
【详解】
因为，，所以，
而，所以是以为首项，公比为的等比数列.
于是，，即，
所以，
，
两式相减得，，
即 .
由，得，
即
①当为奇数时，有，因是单调增函数，故，从而；
②当为偶数时，有，因，从而.
综上，的取值范围为．
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查构造等比数列求通项和错位相减法求数列的和以及运用参变分离法求解恒成立问题等知识点，属于难题.
解题关键在于根据数列递推公式特征构造等比数列，运用错位相减法求数列的和，并就的奇偶分类求出的取值范围．
3．1
【分析】利用，得出，即可判断数列是首项为3，公差为2的等差数列，因此，，，，根据，不等式恒成立，转化为，不等式且恒成立，即可得出结论.
【详解】由题意知，，且，
则当时，，
两式相减得，
所以，
而，即，
又，解得，
数列是首项为3，公差为2的等差数列，因此，
则，
，
，
数列是单调递增的，，
而数列是单调递减的，，
因为，不等式恒成立，
则，不等式且恒成立，
因此且，即有，
又，所以的最小值是1.
故答案为：1
4．B
【分析】
根据数列的递推关系化简可得，再利用等差数列的通项公式及存在性问题，结合恒成立问题及解不等式即可求解.
【详解】
由，得，
，即，于是有，所以，即，
所以是首项为，公差为的等差数列，
所以，
由，得，所以，
由于，则，所以，可得，
因为，所以，即，
因为总存在，使得成立，即，
所以，即.
又，所以实数的最小值为.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：根据数列的递推关系得出数列为等差数列，利用等差数列的通项公式，结合存在性问题的处理办法及恒成立问题的处理办法即可求解.
5．D
【分析】
先根据条件求出，，再根据探索数列的通项公式，代入，根据，分为奇数、偶数讨论的取值范围，最后根据为非零整数确定它的值.
【详解】由，，又，所以，
，又，所以，
由得（），
相减得，，，
所以，所以，
再相减得，
则，而，
所以数列是等差数列，首项和公差均为1，所以，
，
对任意，有恒成立，则恒成立，
，
即，
是奇数时，，，∴，
为偶数时，，，∴，
综上，．又是非零整数，所以．
故选：D．
【点睛】思路点睛：数列问题中已知项与和的关系时，一般利用得出数列的递推关系，从而再求解；在含有的不等式参数问题中，需要利用的奇偶进行分类讨论化简不等式得参数范围．
6．C
【分析】
将数列递推式恒等变形，构造等比数列，求得数列通项，将题设中的数列的通项展开裂项，运用裂项相消法求和，求得和式的范围即得.
【详解】
依题意，当时，，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，，即，
所以，
所以，
因不等式恒成立，故的取值范围是.
故选：C.
7．C
【分析】根据给定条件，利用错位相减求和法求出，再按奇偶讨论求出a的范围.
【详解】由数列的前n项和为且，得，
于是，
两式相减得：，
因此，，显然数列是递增数列，
当为奇数时，，由恒成立，得，则，
当为偶数时，，由恒成立，得，则，
所以实数a的取值范围是.
故选：C
8．AD
【分析】
根据可求的表达式，判断A的真假；利用导数求二次函数在处切线的斜率，进一步写出在处的切线方程，求出直线与轴的交点横坐标，得，进一步判断数列的结构特征，得到数列是等比数列，可判断BC的真假；利用公式法可求数列的前项和，判断D的真假.
【详解】
对于A选项，由得，所以，故A正确.
二次函数有两个不等式实根，，
不妨设，
因为，
所以，
在横坐标为的点处的切线方程为：，
令，则，
因为
所以，即
所以为公比是2，首项为1的等比数列.
所以，故BC错.
对于D选项，，得，故D正确.
故选：AD.
【点睛】关键点睛：利用导数的几何意义及等比数列的定义、通项及前项和公式即可.
9．
【分析】由题意首先得，，进一步将原问题转换为恒成立，结合基本不等式即可求解.
【详解】因为，
又因为是各项均为正实数的数列，
所以，即数列是以1为首项，3为公比的等比数列，
所以，所以，
而，所以，
即恒成立，
又，当且仅当时，等号成立，
所以，即实数m的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：关键是首先得，，由此即可顺利得解.
10．
【分析】利用可求出数列的通项公式，然后根据构造等比数列求数列的通项公式，然后分奇偶讨论，将恒成立问题转化为最值问题求t的取值范围.
【详解】因为，故，
当时，，也适合，
故；
对且，不等式恒成立，
即恒成立，
结合，即对且恒成立，
又，
故为公比为，首项为的等比数列，
故，，
当n为奇数时，，，
则，
即对且恒成立，
而在上单调递减，
此时最大值为，故，所以；
当n为偶数时，，，
则，
即对且恒成立，
此时最大值为，故，所以；
结合，可得的取值范围为，
故答案为：；.
11．
【分析】
由条件变换可得是等比数列，求得，，将放缩求得，即可得解.
【详解】由，得，
故是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，
所以，
所以，
又，所以，故．
所以的取值范围为.
故答案为：.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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