资源简介

压轴小题2 平面几何中的双动点问题
【湖北省部分地市2024年1月高二期末考试】
在平面直角坐标系中，为椭圆上的动点，
为直线上的动点，且，则的最小值为______．
利用向量“换底公式”，结合向量的基本运算，以及几何构图，得到，将问题转化为求椭圆上的动点与直线上的动点的距离的最小值，进而转化成动点到直线的距离，利用三角换元求最值即可.
如图，设直线与直线交于点，与直线交于点，设的中点为，
由得，故，
故，即求点到点距离的最小值，
设，则到直线的距离为
，
故的最小值为．
（2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模）
1．已知直线交圆于两点，则的最小值为（ ）
A．9 B．16 C．27 D．30
（2024·吉林延边·统考一模）
2．已知是圆上的两点，则下列结论中正确的是（ ）
A．若点到直线的距离为，则
B．若，则
C．若，则的最大值为6
D．的最小值为
角度一、利用向量关系、以点的坐标为参数，得到点的轨迹是一条直线，问题转化为求坐标原点到此直线的距离，再利用椭圆的参数方程进行三角换元得解；角度二、分别固定P、Q点移动另一点得出M轨迹所处带状区域，结合直线与椭圆的位置关系计算该区域的下界，利用平行线的关系计算距离即可.
角度一、设，
由得，又在上，故，
即有，整理得，故点的轨迹是一条直线，
所以
，
故的最小值为．
角度二、固定点，当移动时，的轨迹为与平行的直线，移动点，则轨迹扫出一条带状区域，
设与椭圆相切，设切点为，
则又可以表示为，比较得，代入得，即，解得，所以．（也可联立方程，判别式等0求）设为轨迹的下边界，则在与之间，靠近的三等分处，易知，所以．
3．在平面直角坐标系中，为坐标原点，是椭圆上的两个动点，动点满足，直线与直线斜率之积为，已知平面内存在两定点，使得为定值，则该定值为（ ）
A． B． C．4 D．
4．已知为椭圆和双曲线的公共顶点，分别为双曲线和椭圆上不同于两点的动点，且有，设直线、、、的斜率分别为，则 ．
（23-24高三上·浙江金华·期末）
5．已知抛物线的焦点为，准线为，点，在上（在第一象限），点在上，，，（ ）
A．若，则 B．若，则
C．则的面积最小值为 D．则的面积大于
6．如图，已知双曲线的右焦点为F，点在双曲线上，直线AF与y轴交于点B，点为双曲线左支上一动点，且，作，垂足为Q，则的最大值为 .
7．已知实数a，b，c成等差数列，记直线与曲线的相交弦中点为P，若点A，B分别是曲线与x轴上的动点，则的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．已知双曲线的两个焦点分别为，离心率等于，设双曲线的两条渐近线分别为直线；若点分别在上，且满足，则线段的中点的轨迹的方程为
A． B．
C． D．
（2024下·广东·广州天河区一模）
9．已知直线，动点分别在直线上，，是线段的中点，记点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)已知点，过点作直线与曲线交于不同的两点，线段上一点满足，求的最小值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】根据题中条件，先求得弦的中点的轨迹方程，则的几何意义为两点到直线的距离之和，即点到直线距离的2倍，结合点到直线的距离公式求解即可.
【详解】由题设直线与轴的交点为，设弦的中点为，
连接，则，即，所以，
即，
所以点的轨迹方程为，
即的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
设直线为，则到的最小距离为，
过分别作直线的垂线，垂足分别为，
则四边形是直角梯形，且是的中点，
则是直角梯形的中位线，所以，即，
即，
所以的最小值为30.
故选：D.
2．ACD
【分析】对于A选项：利用圆的弦长公式即可求解；对于B选项：运用余弦定理即可求解；对于C选项：将转化为到直线的距离之和的倍，进而求解；对于D选项：利用数量积公式即可求解；
【详解】依题意，圆的圆心，半径为
如图所示：
对于A选项：因为点到直线的距离为，所以，故选项A正确；
对于B选项：因为，且，
所以在中，由余弦定理可得：,
所以，故选项B错误；
对于C选项：由，
其几何意义为到直线的距离之和的倍
设的中点为,结合梯形的中位线可知：
则有，
因为，所以,
在直角三角形中，,
所以点的轨迹为以原点为圆心，为半径的圆.
因为到的距离为，
所以，
所以，故选项C正确；
对于D选项：因为，
所以当所成的角为时，.
故选项D正确;
故选：ACD.
3．A
【分析】设点，，，根据已知列式化简得出动点的轨迹方程为椭圆，由椭圆的定义得出为椭圆的两焦点，即可根据椭圆的定义得出答案.
【详解】设点，，，
由，得，
点在椭圆上，
，，
则代入，得，
，
，
将代入，得，
得
由，得，
则，
直线与直线斜率之积为，即，得，
则，即，
故动点的轨迹方程为，即，
即动点的轨迹方程为椭圆，
平面内存在两定点，使得为定值，
则为椭圆的两焦点，
则，
故选：A.
4．0
【解析】可根据题的已知条件，设、，利用斜率公式得到；
同理可得，
结合三点共线即可得出的值．
【详解】由题意，
可知三点共线．
、
设、，
点在双曲线上，
则．
所以①
又由点在椭圆上，
则．
同理可得②
三点共线．
．
由①、②得．
故答案为：0
【点睛】本题考查运算求解能力、数形结合思想、化归与转化思想．
主要思路为结合曲线与点的位置关系、向量关系式，根据斜率公式，列相关关系式化简求解.
5．ABD
【分析】对A，设点在准线上的投影为，准线与轴交于点，由相似比可得解；对B，易证，可得为等边三角形，得解；对C，分点在第一和第四象限两种情况，由焦半径公式求出，表示出利用三角函数求出最小值，对D，分点在第一和第四象限两种情况，由焦半径公式求出可证，得解.
【详解】对于A，如图1，设点在准线上的投影为，准线与轴交于点，
又，，则，所以，
故A正确；
对于B，设点在准线上的投影为点，易证，又，
，即，又，则为等边三角形，
所以，且，，故B正确；

对于C，分两种情况：
当点都在第一象限，如图1所示，设，，
由焦半径公式可得，，，
令，
设，且，
，当且仅当时取得最小值.
当点在第四象限时，如图2所示，设，，则，，
所以，
同理令，且，
，
所以，当且仅当时取得最小值，
综上，面积的最小值为，故C错误；
对于D，当点都在第一象限，如图1所示，，，
则，所以，即，，
当点在第四象限时，如图2所示，同理可得，即，，
综上，的面积大于，故D正确.
故选：ABD.

【点睛】关键点睛：对于C,D选项，关键是利用抛物线焦半径公式求出，从而易求出三角形面积.
6．40
【分析】由已知求得点A、B的坐标，继而有， ，由向量的线性运算和数量积运算可得，由的最小值可求得的最大值.
【详解】解：由已知可得F（2，0），将点A（4，m）（m>0）代入双曲线方程得，解得（舍去），
所以A（4，3），所以，
所以直线AF的方程为，令x=0，解得，所以B（0，-3），所以|BF|=，
所以，因为，所以，
所以
.
又因为点P为双曲线上一点，且，所以，
所以的最大值为40，
故答案为：40.
7．B
【分析】由已知得，可得出直线过定点，设直线与曲线相交的一个交点为Q，设另一个交点为，设，由中点坐标可得出点，代入曲线上，得出P在抛物线上运动，由抛物线的定义及圆的性质可得出选项.
【详解】解：因为实数a，b，c成等差数列，所以，
则直线化为，
即，
由解得,
所以直线过定点，
又点Q在曲线上，
所以直线与曲线相交的一个交点为Q，
设另一个交点为，
设，则，
又在曲线上，化简得，
即P在抛物线上运动，
设抛物线的焦点为，
设，，
曲线，得，

记圆心
所以
.
故选B.
【点睛】本题综合考查直线恒过定点，动点的轨迹方程，抛物线的定义以及两线段长度之和的最值问题，属于难题.
8．A
【分析】根据离心率得到双曲线方程，渐近线方程为．设，，线段的中点，根据得到轨迹方程.
【详解】由已知，求得，得双曲线方程为，
从而其渐近线方程为．
设，，线段的中点，
由已知不妨设，，
从而，，
由得，
所以，即，
则M的轨迹C的方程为．
【点睛】本题考查了轨迹方程，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
9．(1)
(2)
【分析】（1）由已知设，可得，设，利用中点坐标公式计算可得，代入化简即可得出结果.
（2）设，则,,设,,利用向量的坐标计算化简可得①.设，由可得②，结合在曲线上，可得的轨迹方程，利用点到直线的距离公式计算即可.
【详解】（1）根据条件可设，
∵，∴（*），
设，由题意知，∴，
代入（*）式得，故曲线的方程为.
（2）设，则,,设,,
由，可知，
∴，∴①.
∵，设∴②.
①②可得（**），
∵在曲线上，∴，
∴，化简得：，
（**）式代入可得，即.
∴的轨迹方程为：.
∴的最小值为到直线的距离.
∴.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑