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压轴小题1 递推数列综合问题
【2024湖北省高中名校联盟第三次联考】
已知数列的前项和为，且，，则（ ）
A．当时，；
B．；
C．数列单调递增，单调递减；
D．当时，恒有．
取结合已知解不等式可判定A，取利用的关系及已知得，利用导数研究其单调性判定B，利用数列的特征根方程判定是等比数列，得通项公式判定C即可，利用及蛛网图构造等比数列结合放缩法判定D.
解：对于A：由知，取有，
解得．所以
，所以A正确；
对于B：，
所以
，
令
则，故，
因为，所以，即，
所以B错；
对于C：的特征方程为，
，
，
，
是等比数列，，
即，
解得：，
，
，
所以，所以C正确；
对于：由，画出函数和的图象，由蛛网图可知．（如下图）
，
，（伪等比数列）
，D正确．
（2023·湖南郴州·模拟预测）
1．已知正项数列满足，则下列结论正确的是（ ）
A．数列中的最小项为
B．当时，
C．当时，
D．对任意且
2．设满足，求数列的通项公式.
对于B项，令结合条件得，利用反证法及分解因式判定即可，对于D项，根据特征根得，结合放缩法与数学归纳法，由等比数列求和公式即可判定.
解：对于B，令，得
则
，
矛盾，B错误．
对于D，的特征方程为，
，
，
，
是等比数列，，
即，
解得：，
，
，
需证：，即证，
用数学归纳法证之：显然时，，
设当时，，
则时，，
，．
所以D正确．综上可知：选ACD．
【题后总结】
定义：方程的根称为函数的不动点.
利用递推数列的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法.
定理1：若是的不动点，满足递推关系，则，即是公比为的等比数列.
定理2：设，满足递推关系，初值条件
（1）：若有两个相异的不动点，则 （这里）
（2）：若只有唯一不动点，则 （这里）
3．已知数列满足，，，是数列的前项和，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．存在常数，使得
4．数列满足，数列的前n项和记为，则下列说法正确的是（ ）
A．任意 B．任意
C．任意 D．任意
5．已知数列满足，，则（ ）
A． B．
C． D．
6．已知数列满足：，设，数列的前项和为，则下列选项正确的是（ ）
A．数列单调递增，数列单调递减 B．
C． D．
7．已知数列满足：，，下列说法正确的是（ ）
A．，成等差数列 B．
C． D．，一定不成等比数列
（2023·浙江金华·模拟预测）
8．已知各项均为正数的数列满足为其前项和，则（ ）
A． B．
C． D．
9．定义：若数列满足，则称为“Titus双指数迭代数列”.已知在“Titus双指数迭代数列”中，首项，则（ ）
A．当时，
B．当时，为递增数列
C．当时，有最小值
D．当取任意非零实数时，一定有最大值或最小值
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．ABD
【分析】构造函数，判断函数的的单调性，得到是最小的项，且当时，，即可判断A，B；令，利用导数可得在区间内单调递减，从而判断C；根据，利用，，，，可得，判断D.
【详解】令，由，得，
又，则当时，单调递增；
当时，单调递减，且，
∴当时，；当时，，
∵，，∴，
∴是最小的项，且当时，，所以A，B正确；
由B正确可知，当时，，
所以令，
则，
又，
所以在区间内单调递减，∴，
又因为当时，，所以，即，，所以C错误；
因为当时，且，在区间内单调递减，所以，
因为，，所以，
又因为，，所以，
所以，所以D正确.
故选：ABD．
【点睛】关键点点睛：构造函数，，利用导数判断两个函数的单调性，利用单调性求解是解题关键.
2．
【分析】令，解方程可得的不动点，所以是以首项为，公比为的等比数列，即可求出数列的通项公式.
【详解】令，解方程，
，则，解得：或，
求出不动点，
于是，
所以是以首项为，公比为的等比数列，
，
由此解得：.
3．BC
【分析】根据给定条件，求出数列的通项公式，再逐项分析判断作答.
【详解】，数列满足，，即有，而，
因此数列是常数列，有，则数列的通项公式是，
对于A，令时，，而，即当时，不成立，A错误；
对于B，，令，
，即，数列是递增的，有，即，B正确；
对于C，用数学归纳法证明：当时，，
当时，，即当时，不等式成立，
假设当时，不等式成立，即，
则，即当时，不等式成立，因此，成立，
当时，，而，不等式成立，
当时，，，
所以，，C正确；
对于D，，取，则
，显然当时，数列是递增的，无最大项，所以不存在常数，使得成立，D错误.
故选：BC
【点睛】关键点睛：涉及数列最大最小项问题，探讨数列的单调性是解题的关键，可以借助作差或作商的方法判断单调性作答.
4．BCD
【分析】B：由题设得且，，讨论大小关系，结合给定条件即可判断；A：根据B的结论及，易知随n变化的趋势，并构造求得，即可判断；C：由A分析结果及即可判断；结合C可判断D.
【详解】由，且，又，故，，
则，
当时，则，即，显然与矛盾；
当时，则，即，显然与矛盾；
所以且，即递增，B正确；
由，根据B结论知：随n的增大，无限趋近于0，则无限接近于1，
又，令且递增，则 ，即，
综上，，A错误；
由，根据A的结论有，
又，可得，所以，即，
综上，，C正确；
由C结论知：
所以成立，D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：利用已知条件，将各项结论作转化，并应用分类讨论、极限、函数思想判断数列不等式是否恒成立.
5．BCD
【分析】由已知可得，则，结合可推导得，由此确定，可知数列单调递减，得到，知A错误；采用分析法可知，若B正确，则只需证明，采用数学归纳法可证得结论，知B正确；结合B中结论可知若C正确，只需证明，采用数学归纳法可证得结论，知C正确；结合B中结论可知若D正确，只需证得，构造函数，，利用导数可求得单调递减，由此可得，进而得到，知D正确.
【详解】恒成立，，又，，
，
对于A，，，，……，以此类推，，
而，，
，数列为递减数列，则，
即，，A错误；
对于B，若，则，只需；
当时，，满足；
假设当时，成立，
那么当时，
，
即当时，成立；
综上所述：成立，，B正确；
对于C，，，
由B得：，；
则若，只需，
当时，，不等式成立；
假设当时，成立，
那么当时，
，
即当时，成立；
综上所述：成立；
，C正确；
对于D，由B知：，
若，只需，
则只需，即，
令，，
，在上单调递减，
，即，
又，，则，D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题考查数列与不等式的综合应用问题，解题关键是能够证得，进而通过数列的放缩对选项中的不等式进行转化；通过数学归纳法或构造函数的方式对转化后的不等式进行证明.
6．ABC
【分析】由给定条件可得，由此构造函数，利用导数研究其单调性而判断选项A，利用不等式性质探求出可判断选项B，由的范围探求出的范围而判断选项C，取特值说明而判断选项D.
【详解】因，，则，即，
令，则，在上单调递增，
点与是函数图象上的两点，于是有，则，都单调，
又，则，即，，所以单调递增，单调递减，A正确；
显然，，而，即，则，，
于是，则有，所以，B正确；
，而，
，
所以，C正确；
若，则，而，即对和都不成立，D不正确.
故选：ABC
【点睛】关键点睛：涉及单调性的某些数列问题，数列是一类特殊的函数，准确构造相应的函数，借助函数导数研究其单调性是解题的关键，背景函数的条件，应紧扣题中的限制条件.
7．BCD
【分析】根据题意得，再结合数列单调性与得，可判断B选项；由递推关系式易得，进而可判断A选项；根据数列单调性得，进而可得判断C；利用反证法先假设，成等比数列，推出之间的公比为，结合可以得到成等比数列，与矛盾，故假设不成立，可判断D
【详解】解：因为，
所以，且，
所以①，
所以②
所以，②-①整理得：
因为，
所以数列为单调递增数列，
所以，即，故B选项正确；
对于A选项，若，成等差数列，则成等差数列，由递推关系得，显然不满足等差数列，故A选项错误；
对于C选项，因为，数列为单调递增数列，
所以，即，
所以，因为，所以，
所以，从第2项起，数列介于以为首项，公比分别为和为公比的等比数列对应项之间，
所以，故C选项正确；
对于D选项，假设，成等比数列，设之间的公比为，
由可得即，
因为，所以，解得，
因为为单调递增数列，所以，
由可得，即整理得，所以成等比数列，
所以以此类推能得到成等比数列，与矛盾，故假设不成立，故D正确；
故选：BCD
【点睛】本题关键点在于通过数列的递推关系式以及等差数列、等比数列研究数列的性质，D选项中反证法的应用是本题的重难点，注意掌握加以应用.
8．ACD
【分析】A选项，先构造函数，并研究其单调性，利用进行放缩，利用数学归纳法可证明；
B选项，构造函数，判断其单调性即可；
C 选项，利用数学归纳法和假设法可证明；
D选项，结合C选项结论对进行放缩即可证明.
【详解】设函数，则，故在上单调递增.
用数学归纳法下证.
当时，有；
假设当时，有，
由于，
所以根据在上单调递增可知，
即当时，有.
综上可知，.
对于A，令，
因为，故在上单调递增，故，
即，即.
，故A正确.
对于B，令，，
令，
令，则>0，所以，即在上单调递增，
所以，所以即 在上单调递增，
所以，所以在上单调递增，
所以，即，即.
故，故选项B错误；
对于C，可用数学归纳法证明：.
当时，有成立；
假设当时，有，
若，
则由可知，
与假设矛盾，故.
故，故C正确.
对于D，当时，，
故，故选项D正确.
故选：ACD.
【点睛】与数列相关的不等式问题证明方法点睛：
（1）可以利用数学归纳法来进行证明；
（2）可以构造函数，利用导数进行证明，通过求导得到函数的单调性并结合不等式进行放缩得到结果.
9．ABD
【分析】求出，即可判断A；构造函数，利用导数求出函数的单调区间，再通过取点与单调性确定的图象与直线的位置关系，逐一分析各个选项即可得解.
【详解】对于A，当时，，故A正确；
下面分析B，C，D项：
构造函数，则，
构造函数，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，所以，
即，所以单调递增，
再通过取点与单调性确定的图象与直线的位置关系，
当时，，
当时，，当时，，
根据位置关系作出大致图象如图1：
分析B项：如图2，
以为起始点，作垂直于轴的直线与的图象相交，确定交点，
从点作平行于轴的直线与的图象相交，确定交点，
从点作垂直于轴的直线与的图象相交，确定交点，
依此类推，由图可知，为递增数列，B正确；
分析C项：如图3，以为起始点，作垂直于轴的直线与的图象相交，确定交点，
从点作平行于轴的直线与的图象相交，确定交点，
从点作垂直于轴的直线与的图象相交，确定交点，
依此类推，由图可知，为递减数列，
无限趋近于0，无最小值，C错误；
分析D项：如图4，当时，以为起始点，作垂直于轴的直线与的图象相交，确定交点，
从点作平行于轴的直线与的图象相交，确定交点，
从点作垂直于轴的直线与的图象相交，确定交点，
依此类推，由图可知，当时，为递增数列，
设与的图象在第一象限的交点为，
结合B，C项可知：当或时，为递增数列，
当时，为递减数列，
当时，为常数列，
显然，一定有最小值或最大值，D正确.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：与数列的新定义有关的问题的求解策略：
①通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的；
②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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