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第14题 解三角形大题
（2024·河南·青桐鸣大联考）
记的内角的对边分别为，且.
（1）证明：；
（2）若，求当面积最大时的值.
（1）根据→→二倍角的余弦公式化简；
（2）由正弦定理→→→求出→结合导数得面积最大值.
详解 模板总结
（1）由已知得，∴， 又，且，∴； （2）由（1）可得， 由正弦定理可得， ∴，. ∵，∴， ∴，∴，∴， 又 ∴， ∴， 令，则，则， 设，， 则， 令，得，即， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则当时，取得最大值，此时最大， 则. 1.在弦切共存的等式中，一般采用“切化弦”的手段进行化简； 2.利用正弦定理进行“边化角”或“角化边”变形时，要注意等号左右两边次数相等； 3.含有多个角时，要考虑三角形内角和为的使用； 4.三角形中不能直接利用三角函数性质求最值时，可以构造函数，借助导数求解.
方法总结：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.
（2024·陕西西安·一模）
1．已知△ABC为钝角三角形，它的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，，．
(1)求的值；
(2)若△ABC的面积为，求c的最小值．
（2024·重庆·缙云教育联盟一诊）
记的内角的对边分别为.已知．
（1）求A；
（2）若为的中点，且，求．
（1）由联想余弦定理转化→由正弦定理边化角→三角形内角和转化求解；
（2）中两次利用余弦定理→由正弦定理→同角三角基本关系式求得结果.
详解 模板总结
（1）由余弦定理形式和，因此． 又，即， 由正弦定理得： ， 整理得：， ． ，， ，． （2）由，得，得． 在中，由余弦定理得 ， 为的中点， ， 即， （其中）， ． 由正弦定理得，， ， 即． ， 由，可得； ，． 1.牢记余弦定理的内容，并会对几种变形进行运算是解题的关键； 2.在三角形中出现角平分线、中线或其他线段，把三角形分成多个三角形时，常常在不同三角形中多次使用余弦定理解题；
方法小结：解三角形中的中线、角平分线、爪形三角形问题的一般方法：
（1）利用互补角余弦值之和为0，在两个三角形中两次利用余弦定理；
（2）利用面积关系进行转化；
（3）利用向量，再进行平方、余弦定理转化.
（2024·辽宁大连·一模）
2．在中,
(1)求点到边的距离:
(2)设为边上一点，当取得最小值时，求外接圆的面积.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．(1)
(2)
【分析】（1）由三角恒等变换化简可得，再由同角三角函数的基本关系及诱导公式得解；
（2）由三角形面积公式、余弦定理及重要不等式即可求解.
【详解】（1）因为
，
因为，所以，
由△ABC为钝角三角形且，知，为钝角，
所以，即，
所以.
（2）因为，
所以，
由余弦定理，，
当且仅当时，等号成立，
此时的最小值为，所以c的最小值为.
2．(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理可得，再由面积相等可得结果；
（2）求出的表达式并利用二次函数性质求得时，，由正弦定理求出外接圆的半径可得结论.
【详解】（1）设的内角所对的边为，即；
由余弦定理可得，解得；
又的面积；
设点到边的距离为，
因此，
解得.
点到边的距离为.
（2）如下图所示：

在中，由余弦定理可得；
所以，
又，所以，且；
因此；
易知当时，；
由可得为正三角形，所以；
设外接圆的半径为，
在中由正弦定理可得，解得；
所以外接圆的面积为.
答案第1页，共2页
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