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第7题 明辨奇偶性质，善用对称性关系
（1）函数，已知，求的值．
（2）若函数是定义在上的偶函数，求此函数的值域．
（3）已知函数，求的值．
本小题是函数奇偶性的应用，直接计算，将f(m)代入．
依题意有，①
．
将①代入，得．
（全国·高考真题）
1．已知函数，且，那么等于（ ）
A． B． C． D．10
根据已知函数的结构特点，令，其中是奇函数，从而由得解．
令，其中，可见，
对一切，都有，表明是奇函数，从而可得
，即．
（22-23高一上·贵州贵阳·阶段练习）
2．已知函数，若，则（ ）
A． B． C． D．
本小题是判断函数奇偶性的逆向问题，即已知函数的奇偶性，求参数的值．利用奇偶函数的定义，可建立关于参数的方程，即求解．
∵在上是偶函数，∴对任意，
都有，即，∴．
∵，∴，即．
∴，，值域为．
（2022·全国·高考真题）
3．若是奇函数，则 ， ．
由，不是偶函数，知道，为二次函数．讨论其对称轴为y轴，可求得参数值，得到二次函数式，求得其值域．
若，则不是偶函数，∴，故为二次函数．
其对称轴为，又∵为偶函数，其图像关于y轴对称，
∴，∴，∴，，值域为．
（2022高三·全国·专题练习）
4．已知二次函数，，且函数为偶函数.
(1)求函数的解析式；
(2)若，求在区间上的值域.
观察发现：自变量的取值关于原点具有对称性，因此，注意考察函数的奇偶性，得到，从而寻求得到简便算法．
由得函数的定义域是，
又，∴成立．
∴函数是奇函数．
∴，，．
∴．
（23-24高一下·湖北黄冈·阶段练习）
5．已知函数在其定义域内为偶函数，且，则（ ）
A．1 B．4050 C．－ D．
【点评】
1．对于函数的奇偶性，要注意三个对称性：①定义域的对称性；②函数值的对称性．以及由这两个对称性，确定得到的函数图像的对称性：函数是奇函数图像关于原点对称；函数是偶函数图像关于y轴对称．这一性质揭示了函数的奇偶性的“数”与“形”两个侧面的同一特征，为求值计算带来方便．同时，运用对称思想方法不仅可以处理解题中经常碰到的基本对称问题，还可以处理与此相关或拓展的对称性问题．
2．解题过程中也要注意以下性质的灵活运用：
（1）为偶函数；
（2）若奇函数在时有定义，则
（23-24高一上·江苏无锡·期末）
6．已知函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
（2023·全国·高考真题）
7．已知是偶函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）
8．已知函数（且），则等于（ ）
A． B． C．0 D．4
（23-24高一上·北京·期中）
9．已知函数，且，则 ．
10．对于函数，是否存在这样的实数a，使是偶函数或奇函数．
（重庆·高考真题）
11．已知定义域为R的函数是奇函数.
(1)求a，b的值；
(2)若对任意的，不等式恒成立，求k的取值范围.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据题意得，再代入计算即可得答案.
【详解】解：，，
，
，
.
故选：B
2．C
【分析】
令，即可判断为奇函数，根据求出，即可求出，从而得解.
【详解】解：令，则，即为奇函数，
因为，即，又，所以，即，所以，
所以.
故选：C
3． ； ．
【分析】根据奇函数的定义即可求出．
【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若，则的定义域为，不关于原点对称
若奇函数的有意义，则且
且，
函数为奇函数，定义域关于原点对称，
，解得，
由得，，
，
故答案为：；．
[方法二]：函数的奇偶性求参
函数为奇函数
[方法三]：
因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意．
故答案为：；．
4．(1)
(2)值域为.
【分析】
（1）先由得，再由函数的奇偶性得到的对称性，从而利用二次函数的性质求得，进而得解；
（2）先分析得恒成立，从而得到，再利用二次函数的性质即可得解.
【详解】（1）
因为，所以，则，
因为为偶函数，而的图象是由的图象向右平移2个单位而得，
所以的图象关于对称，则，
所以，所以.
（2）
由（1）知，，
所以，开口向上，对称轴为，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，
所以函数在区间上的值域为.
5．D
【分析】先利用的奇偶性求得，从而得到 ,进而利用并项求和法得解.
【详解】因为为偶函数，所以，
即，
所以对任意恒成立，即.
所以，又，
所以，即，所以，
故，
所以
.
故选：D
6．C
【分析】根据求解即可.
【详解】由题意，
故，又，则.
故选：C
7．D
【分析】
根据偶函数的定义运算求解.
【详解】
因为为偶函数，则，
又因为不恒为0，可得，即，
则，即，解得.
故选：D.
8．A
【分析】令，计算得，进而，据此可得答案.
【详解】解：设，则.
.
，
所以.
故选：A.
9．
【分析】
令，，即可判断、的奇偶性，再根据奇偶性求出.
【详解】令，，，
则，，
所以为奇函数，为偶函数，
又，且，，
所以，，
又，
所以.
故答案为：
10．存在实数，使是偶函数．
【分析】先假设函数是偶函数或奇函数，并利用偶函数或奇函数的性质得到a必须满足的条件，由条件确定a存在或不存在，从而确定函数的奇偶性，再根据定义加以证明．
【详解】由，．若函数是偶函数，
则．即；
若函数是奇函数，则，无解．
当时，，此时函数的定义域是，
对于定义域内任意自变量的值，
．
∴，即函数是偶函数．
存在实数，使是偶函数．
11．(1)，；
(2).
【分析】（1）根据，可得，再由即可求解；
（2）判断在R上为减函数，结合函数为奇函数可得，然后根据即可求解.
【详解】（1）因为是R上的奇函数，
所以，即，解得，
从而有，
又由，知，解得，
经检验，当时，，满足题意；
（2）由（1）知，
任取，且，则
，
因为，所以，
所以，即，
所以在上为减函数，又因为为上为奇函数，
所以由得，
所以，得恒成立，
所以，
所以，
所以k的取值范围为.
答案第1页，共2页
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