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第10题 动静转换求范围，构造函数是关键
若函数在区间上恒为正数，求实数a的取值范围．
由题意，原问题等价于①或②
在上恒成立，问题的难点是如何解答这两组含参数不等式组，不同的视角必然会产生难易不同的解法．
构造函数，分类讨论的最值满足上述不等式.
令，其对称轴为．
ⅰ当时，，在上单调递增，，解得．
ⅱ当，即，，则解得．
当，即时，在上单调递增．，
得，故．
当，即时，，得，矛盾，舍去．
当时，即时，在上单调递减．，
得，矛盾，舍去．故a的取值范围为．
综上，实数a的取值范围为．
【点评】此种思路易得，但过程较为繁琐.
1．设函数是定义在上的增函数，如果不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围.
对于的情况相对简单，沿用上述解法，对于的求解过程作出改进，采用由特殊到一般的思维过程，从而简化了分类讨论.
令，其对称轴为．
ⅰ当时，，在上单调递增．，得．
ⅱ当时，对恒成立．
故解得．
则由，在上单调递增．可得．
综上，实数a的取值范围为．
（23-24高一上·江苏扬州·阶段练习）
2．已知二次函数（，为实数）
(1)若函数图象过点，对，恒成立，求实数的取值范围；
(2)若函数图象过点，对，恒成立，求实数的取值范围；
通过对不等式的分析变形为，构造函数，运用数形结合求解更显简洁直观，对于的情况，沿用解法一
ⅰ令，其对称轴为．
当时，，在上单调递增，，解得．
ⅱ当时，可转化为在上恒成立，
令，即当时，对恒成立，即．
由得，如图6-1所示可知，．
解得．
综上，实数a的取值范围为．
（23-24高一上·广东深圳·期末）
3．已知函数，且．
(1)若，求方程的解；
(2)若对，都有恒成立，求实数的取值范围．
由题意，原问题等价于①或②在上恒成立.
对①②中的不等式实施参变分离，构造关于的二次型函数，通过求新函数的最值确定a的取值范围．
ⅰ当时，等价于对恒成立．
令，即对恒成立，
则．
ⅱ当时，等价于对恒成立．
即，令．
易得，，可得．
综上，实数a的取值范围为．
（23-24高一上·河南驻马店·期末）
4．已知定义在上的函数，且是偶函数．
(1)求的解析式；
(2)当时，记的最大值为．，若存在，使，求实数的取值范围．
由题意，原问题等价于①或②在上恒成立.
对①②中的不等式剥离出，构造函数和直线方程，应用数形结合思想，通过时两个函数图像之间的关系求解，体现了解决问题的直观性.
ⅰ当时，对恒成立．
即当时，的图像在的图像上方．
是下凸函数，以代入不等式，得．
ⅱ当时，，．
当图像经过点时，二次函数为．
当图像经过点时，二次函数为．
结合图像均为下凸函数，故．
综上，实数a的取值范围为．
（23-24高一上·上海·期末）
5．若存在实数，对任意实数，不等式恒成立，则实数m的取值范围是 .
由题意，原问题等价于①或②在上恒成立.
对①②中的不等式剥离出，构造函数和直线方程，动静角色转换．方法五中在运动中，线段是确定的，而这里是确定的，线段，在运动中，这两种解法的直观性是明显的，由于涉及曲线段与直线段的位置关系，详细讨论会显得复杂，简单处理则解题严谨性不够，供读者参考
ⅰ当时，对恒成立．
的图像在的图像上方（），以点代入，可得；
ⅱ当时，对恒成立，
即时，函数的图像在和的图像之间，以点代入，以点代入，结合函数图像下凸的特点可知．
综上，实数a的取值范围为．
（2020·北京·高考真题）
6．已知函数，则不等式的解集是（ ）．
A． B．
C． D．
（23-24高一上·贵州铜仁·期末）
7．当时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2024高一·全国·专题练习）
8．定义上单调递减的奇函数满足对任意，若恒成立，求的范围 .
（2024高三·全国·专题练习）
9．已知正实数满足，且对任意恒成立，则实数的最小值是 .
（23-24高一上·四川成都·开学考试）
10．已知，不等式恒成立，则x的取值范围 ．
11．已知，函数，若存在，使得，则实数的最大值是 .
12．设函数是定义在上的增函数．若不等式对于任意恒成立，求实数x的取值范围.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．
【分析】先利用函数的单调性将函数值间的关系转变为自变量间的关系，令，所以原问题等价于，利用二次函数的性质求出，可得实数的取值范围.
【详解】因为是上的增函数，
且对于任意恒成立，
所以对任意恒成立，
等价于对任意恒成立，
令，
所以原问题等价于，
的图像在上的对称轴方程为，
又，
即，
由，
当时，，
则；
当时，
，
则，
当时，
成立，
则；
综上可得：，
所以实数的取值范围：.
【点睛】方法点睛：本题考查函数单调性、恒成立问题.（1）通过函数单调性可将函数值间的关系转变为自变量之间的关系；（2）恒成立问题的常用处理方法：判断别式分析法、分类讨论法、参变分离法.
2．(1)
(2)
【分析】（1）由已知可得，由，恒成立列出不等式求解即得.
（2）由对恒成立，结合一次函数的性质求出答案即可.
【详解】（1）依题意，，即，
由，恒成立，得，
即，整理得，
解得.
所以实数的取值范围是.
（2）由（1）知，，
由，得，即，
依题意，对恒成立，
令，
则对，恒成立，于是，
解得，
所以实数的取值范围是．
3．(1)或
(2)
【分析】
（1）令，利用换元法将原方程转化为，则或，结合对数的运算性质即可求解；
（2）令，原不等式可转变为在上恒成立，结合二次函数的性质分类讨论，求出即可求解.
【详解】（1）
令，则，
当时，等价于，即，
得，有或，
则或，所以或.
（2）
法一：令，由，得，
依题意得恒成立，因为，所以在上恒成立，
令，对称轴，
①当时，即，，得.所以.
②当，即，，得.所以.
综上所述，的取值范围为.
法二：令，由，得，
依题意得恒成立，令，
①当时，易知在上单调递增，且当时，，
所以此时没有最小值，即不存在使得不等式恒成立.
②当时，易知在上单调递增，故恒成立，解得，
即当时，不等式恒成立.
③当时，由基本不等式得，当且仅当时取等号，
要使原不等式成立，须使恒成立，解得
综上所述，的取值范围为.
法三：令，由，得，
依题意得恒成立，因为，所以在上恒成立，
由，得，
①当时，恒成立，R；
②当，，所以在上恒成立，
令，，
则，
在上单调递减，所以，
所以，的取值范围为.
③当，，所以在上恒成立，
令，，
则，
当且仅当，即，，时等号成立，即，
所以，的取值范围为
综上所述，的取值范围为.
4．(1)
(2)
【分析】（1）令，结合偶函数的定义计算即可;
（2）借助函数的单调性求出的最大值为，再对进行参变分离求出最值即可.
【详解】（1）记，
为偶函数，恒成立，
即恒成立，
恒成立，
恒成立，即恒成立，，
.
（2）和都是单调递增函数,
在是单调递增的，
,
在上有解，
在上有解，
在上有解，
在上单调递增，
,
.
5．
【分析】由题意研究，，三个函数图象的关系，进而转化为对恒成立即可求解答案.
【详解】如图所示，若存在实数，对任意实数，不等式恒成立，
则直线在时位于上方（可重合），且位于下方（可重合），
又因为在时为凹函数，所以当直线经过时符合题意，
由，得，此时直线为，则，即对恒成立，
则，则，即实数m的取值范围是.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题考查函数图象的应用问题.本题的关键点在于将原不等式转化为三个函数图象的关系，结合三次函数的凹凸性进一步转化为对恒成立，再通过求解最值得到答案.本题考查转化与化归能力，数形结合能力，属于中难题.
6．D
【分析】作出函数和的图象，观察图象可得结果.
【详解】因为，所以等价于，
在同一直角坐标系中作出和的图象如图：
两函数图象的交点坐标为，
不等式的解为或.
所以不等式的解集为：.
故选：D.
【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.
7．D
【分析】
对二项式系数进行分类，结合二次函数定义的性质，列出关系式求解.
【详解】当时，不等式恒成立，
当时，满足不等式恒成立；
当时，令，则在上恒成立，
函数的图像抛物线对称轴为，
时，在上单调递减，在上单调递增，
则有，解得；
时，在上单调递增，在上单调递减，
则有，解得.
综上可知，的取值范围是.
故选：D.
【点睛】方法点睛：分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容，分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力.
8．
【分析】根据为R上的奇函数且为减函数，可得出对任意的恒成立，这样求出的最小值，从而可得出的取值范围.
【详解】因为是定义在R上的奇函数，所以，
又因在R上单调递减，
所以对任意恒成立，
所以对任意恒成立，所以，
设，对称轴，
所以当时，，
所以.
故答案为：.
9．
【分析】利用分离常数法，结合二次函数的性质求得正确答案.
【详解】依题意，，解得，则
由得，
其中
①，
则当时①式取得最大值.
所以的最小值是.
故答案为：.
10．或
【分析】
根据给定的不等式，构造一次型函数，再利用函数的图象特征列出不等式组求解即得.
【详解】不等式等价于，令，
依题意，，，于是，
即，解，得或，
解，得或，
因此或，
所以x的取值范围是或.
故答案为：或
11．
【分析】
从研究入手，令，从而使问题加以转化，通过绘制函数图象，观察得解.
【详解】
使得，
使得令，则原不等式转化为存在，
要求实数的最大值，不妨令则，即，，
即的最大值是
12．
【分析】首先利用函数的单调性，把函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，接下来把a作为主元（变量），x作为参数，把不等式恒成立问题转化为求函数的最值解决，
【详解】∵是增函数，∴对于任意恒成立．
，即对于任意恒成立．
令．，为关于a的一次函数，在上是一条线段，
由，得．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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