资源简介

第8题 周期性挂帅，诸性质联袂
（2022·全国·高考真题）
（1）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A． B． C．0 D．1
（2022·全国·高考真题）
（2）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．

根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出．
因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以
一个周期内的．由于22除以6余4，
所以．故选：A．
【点评】利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；
（23-24高三下·上海·阶段练习）
1．已知函数，定义域为，且，，，则下列结论正确的是（ ）
①若，则；②若，则
A．② B．① C．①② D．都不对

观察的结构特征，联想到余弦函数和差化积公式
，故联想构造特殊函数，从而寻求得到简便算法.
【最优解】由，联想到余弦函数和差化积公式
，可设，则由方法一中知，解得，取，
所以，则
，所以符合条件，因此的周期，，且，所以，
由于22除以6余4，
所以．故选：A．
【点评】作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.
（2024·四川泸州·二模）
2．已知，都是定义在上的函数，对任意，满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．若，则
C．函数的图像关于直线对称 D．

本小题是一道多选题，根据函数的奇偶性，转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.具体的，因为为偶函数，得到，亦即①，知道关于对称；又因为为偶函数，，所以关于对称.
对称性和周期性的关系研究
对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确；
对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
（23-24高三下·陕西·开学考试）
3．已知定义在上的函数为奇函数，为偶函数，当时，，则方程在上的实根个数为 ．

由方法一，知周期为2，且图象关于对称，故设，知，结合选项验证即可.
对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，又，得，即，所以关于对称，因为其定义域为R，二者结合知周期为2，关于对称！故可设，则，显然A，D错误，选BC.
故选：BC.
【点评】根据题意，结合特殊值，得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．
（2024·河南新乡·二模）
4．已知函数满足，则下列结论一定正确的是（ ）
A．是奇函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是奇函数

根据，均为偶函数，可以得到即，，所以，；又，且函数可导，推出，结合选项代入验证.
因为，均为偶函数，
所以即，，
所以，，则，故C正确；
函数，的图象分别关于直线对称，
又，且函数可导，
所以，
所以，所以，
所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
（2021·全国·高考真题）
5．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【点评】
1.涉及到抽象函数的求值问题，一般利用赋值法，即令x取特殊值，求得函数值；
2.涉及抽象函数的奇偶性、单调性、对称性以及周期性问题，往往利用变量代换结合相关定义进行推导，确定新的关系.
3.函数的对称性、奇偶性与周期性常见结论：
（1）若，则函数关于中心对称；
（2）若，则函数关于对称；
（3）若，则函数的周期为2a；
（4）若，则函数的周期为2a.
（5）设是R上的偶函数，且图像关于直线对称，则是周期函数，2a是它的一个周期；
（6）设是R上的奇函数，且图像关于直线对称，则是周期函数，4a是它的一个周期；
（7）若有两条对称轴和，则函数是周期函数，是函数的一个周期；
（8）若有两个对称中心 和，则函数是周期函数， 是函数的一个周期；
（2021·全国·高考真题）
6．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B． C． D．
（2018·全国·高考真题）
7．已知是定义域为的奇函数,满足.若，则
A． B． C． D．
（2009·全国·高考真题）
8．函数的定义域为R，若与都是奇函数，则
A．是偶函数 B．是奇函数
C． D．是奇函数
（23-24高一下·四川成都·开学考试）
9．已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．在上单调递减
C． D．函数恰有8个零点
（2024·新疆·一模）
10．已知定义在上的函数，满足，且，，则 .
（2024·江西鹰潭·一模）
11．已知函数，的定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，求= ．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】
根据函数满足的表达式可得是奇函数，是偶函数.由奇函数性质可得，利用赋值法可得；当时，可得，即，可知①错误.又时，，可得，即②正确.
【详解】
由得，
所以，故是奇函数，
由得，
所以，故是偶函数，
由题意得
，
令得，
由是奇函数得，
令，由可得，
又，解得，
当时，，所以①错误.
由题意得
，
令得
当时，，所以②正确.
故选：A
【点睛】
关键点点睛：本题关键在于通过赋值法利用以及，得出函数的周期性规律，计算得出结果.
2．D
【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断A、D，取可判断C，对于B，通过观察选项可以推断很可能是周期函数，结合的特殊性及一些已经证明的结论，想到令和时可构建出两个式子，两式相加即可得出，进一步得出是周期函数，从而可求的值.
【详解】对于A，令，可得，得，
令，，代入已知等式得，
可得，结合得，
所以，故A错误；
对于D，因为，令，代入已知等式得，
将，代入上式，得，所以函数为奇函数.
令，，代入已知等式，得，
因为，所以，
又因为，所以，
因为，所以，故D正确；
对于B，分别令和，代入已知等式，得以下两个等式：
，，
两式相加易得，所以有，
即，
有，
即，所以为周期函数，且周期为，
因为，所以，所以，，
所以，
所以
，故B错误；
对于C，取，，满足及，
所以，又，
所以函数的图像不关于直线对称，故C错误；
故选：D.
【点睛】思路点睛：对于含有的抽象函数的一般解题思路是：观察函数关系，发现可利用的点，以及利用证明了的条件或者选项；抽象函数一般通过赋值法来确定、判断某些关系，特别是有双变量，需要双赋值，可以得到一个或多个关系式，进而得到所需的关系，此过程中的难点是赋予哪些合适的值，这就需要观察题设条件以及选项来决定.
3．
【分析】根据条件确定函数周期性，画出函数在区间上的图象，根据图象可得实根个数.
【详解】函数为奇函数，即，对称中心为，
函数为偶函数，即，对称轴为，
又由可得
函数是周期函数，且周期为，
当时，，则，
令，得，单调递增，
令，得，单调递减，
所以.
作出函数在区间上的图象如下：
即在区间上，方程有个实根，
又,
则方程在上的实根个数为.
故答案为：.
4．B
【分析】利用赋值法推得，从而得到的对称性，再利用函数图象平移的性质可判断B，举反例排除ACD，由此得解.
【详解】因为，
令，可得，则；
令，则，
故的图象关于点对称，
则的图象关于点对称，即是奇函数，故B正确；
对于C，令，可得，则，
当时，，此时不可能是奇函数，
由于无法确定的值，故不一定是奇函数，故C错误；
对于AD，取，满足题意，但易知D错误；
故选：B.
5．B
【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.
【详解】因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，
故函数是以为周期的周期函数，
因为函数为奇函数，则，
故，其它三个选项未知.
故选：B.
6．D
【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．
【详解】[方法一]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
[方法二]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．
7．C
【详解】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.
详解：因为是定义域为的奇函数，且，
所以,
因此，
因为，所以，
，从而，选C.
点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
8．D
【详解】[方法一]：
与都是奇函数，，
，函数关于点，及点对称，函数是周期的周期函数.，，即是奇函数.故选D.
[方法二]：
与都是奇函数，，
，由，得，
由，得，所以，
进而可得，可见是周期的周期函数.说明A与B不一定成立，C肯定不成立，而D成立的理由如下：，
，所以.
9．ACD
【分析】利用周期定义求出周期可判断A；求出函数在上的解析式，结合周期性画出的部分图象可判断B；利用周期性计算可判断C；首先判断为偶函数，再画出函数、的图象可判断D．
【详解】对于A，由，可得，
即的周期为，故A正确；
对于B，当时，，
则，
所以，，结合周期性画出的部分图象如图所示：
由图可得在上单调递增，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，函数的定义域为，
又，
所以为偶函数，当时，令，
得，即，画出函数的图象，
又，，，
所以与在上的图象只有个交点，
即在上只有个零点，
根据偶函数的对称性可得恰有个零点，故D正确．
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：D选项解题的关键点是画出函数与的图象，数形结合得到零点个数.
10．
【分析】
根据所给条件推出为偶函数且周期为，再求出、、，最后根据周期性计算可得.
【详解】因为，所以，
所以，
又，所以，
即，即，所以为偶函数，
所以，
所以，所以的周期为，
又，，
所以，，，则，
，
所以，又，
所以
.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键是由题干所给条件推出的奇偶性与周期性.
11．
【分析】先利用复合函数的导数与的奇偶性判断的奇偶性，进而推得与的周期性，再利用赋值法求得的值，从而得解.
【详解】因为是偶函数，则，
两边求导得，所以是奇函数，故，
由，
代入，得，
则，所以，
又是奇函数，所以，
所以是周期函数，且周期为4，
又，可知也是以4为周期的周期函数，
令，得，故，
而所以，
令，得，则，
而，，
又，则，
，
故答案为：.
【点睛】结论点睛：函数的对称性与周期性：
（1）若，则函数关于中心对称；
（2）若，则函数关于对称；
（3）若，则函数的周期为2a；
（4）若，则函数的周期为2a.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑