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第9题 周期函数图象对称，简化探寻方程的根
已知是定义在区间上以2为周期的函数，对，用表示区间，已知当时，．
（1）求在上的解析式．
（2）对自然数k，求集合．
根据题意，函数的解析式易于求得，即对，当时，．关键是解答第（2）小题．问题即方程，亦即，在上有两个不相等的实根，若用纯代数方法，构建不等式组繁琐，故把问题转化为求，，与有两个交点时直线的斜率a的取值范围，结合两函数的图象交点情况，确定得到参数值范围，即集合MK.
（1）∵2是的周期函数，当时，也是的周期．
又∵当时，．∴，
即对，当时，．
（2）（转化为求直线的斜率a的取值范围）
方程，即有两个不等实根，，，
令，，，，
如图7-1所示，在同一坐标系中分别作出、的图像．
的图像是过原点，斜率为a的直线方程有两个不等实根的充要条件是两个图像有两个不同交点，由图像可知，当时，两个图像有两个不同交点．
从而，原方程有两个不等实根时，．
1．已知以为周期的函数其中，若方程恰有5个实数解，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
根据题意，函数的解析式易于求得，即对，当时，．(2）小题即方程，在上有两个不相等的实根.通过参变分离，令，，将方程转化为另一类函数模型，利用函数图象的交点情况求解.
（1）∵2是的周期函数，当时，也是的周期．
又∵当时，．∴，
即对，当时，．
（2）（分离变量，将方程转化为函数模型，寻求问题的几何意义）
，
令，，
作这两个函数的图像，如图7-2所示，图像有两个不同交点的充要条件是．
即．
（江苏·高考真题）
2．已知是定义在上且周期为3的函数，当时，，若函数在区间上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是 .

根据题意，函数的解析式易于求得，即对，当时，．(2）小题即方程，在上有两个不相等的实根.设，利用二次方程根的分布与二次函数图象的关系求解.
（1）∵2是的周期函数，当时，也是的周期．
又∵当时，．∴，
即对，当时，．
（2）（用根的分布理论求解）
令，则问题转化为的图像在区间
上与x轴有两个不同的交点（如图7-3所示），其充要条件是
解得．
【点评】利用二次方程根的分布求参数，一般要分析对应的二次函数图象的开口方向、对称轴、判别式以及端点函数值符号.
（23-24高三上·四川·阶段练习）
3．若关于的方程在区间上有两个不相等的实数解，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【点评】
1.函数图象在方程问题中的应用策略：
（1）研究两函数图象的交点个数：在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解；
（2）确定方程根的个数：当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程的根就是函数图象与轴的交点的横坐标，方程的根就是函数与图象交点的横坐标
2.已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
4．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则函数在区间上所有零点之和为
A． B． C． D．
5．已知定义域为R的偶函数满足对，有，并且当时，，若函数在上至少有三个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
（2024·四川·模拟预测）
6．已知函数的图象关于直线对称，对任意的，都有成立，且当时，，若在区间内方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
（23-24高一上·陕西汉中·期末）
7．函数是定义在上的偶函数，且满足，当时，，若方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
（2020高三·全国·专题练习）
8．方程的一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是 .
（23-24高一上·河北石家庄·期末）
9．已知定义在上的函数满足：①的图象关于直线对称，②函数为偶函数；③当时，，若关于x的不等式的整数解有且仅有个，则实数的取值范围是 ．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】
依题意，将方程恰有5个实数解的问题，转化为函数与函数的图象恰有5个交点的问题，分析函数组成和周期性，作出函数的图象，结合图象，找到临界位置，即可求出参数范围.
【详解】
方程可化为，
依题意，函数与函数的图象恰有5个交点．
分析函数的解析式知，当时，函数的图象为的上半部分；
当时， ；当时，为．
如图所示，为一条过原点的直线，要使它适合题意，
需要与曲线有两个交点，与没有交点．
由于函数以为周期，故时，，其图象与直线有两个交点，
联立方程消去y可得，
∴判别式，即．
又函数的图像与直线没有交点，
联立方程可得．
∴判别式，即．
综上，m的取值范围是.
故选:B．
2．
【详解】作出函数的图象，可见，当时，，，方程在上有10个零点，即函数和图象与直线在上有10个交点，由于函数的周期为3，因此直线与函数的应该是4个交点，则有．
【考点】函数的零点，周期函数的性质，函数图象的交点问题．
3．A
【分析】
令，依题意可得，解得即可.
【详解】
令，因为方程在区间上有两个不相等的实数解，
所以，即，解得，
所以的取值范围是．
故选：A．
4．D
【分析】根据奇函数满足，可知其周期为，一条对称轴为，可作出函数在上的图象，再作出在上的图象，根据图象知两函数关于成中心对称，所以四个零点关于成中心对称，所以零点之和为.
【详解】根据奇函数满足，可知其周期为，一条对称轴为,可由 向右平移个单位得到，在同一坐标系作出与的图象如图：
由图象可知与都关于成中心对称，所以四个零点也关于成中心对称，设从小到大四个零点为，则，所以四个零点之和为，故选D.
【点睛】本题主要考查了函数的零点，函数的图像，函数的周期性和对称性，属于难题.
5．A
【分析】
由恒成立可知图像以为对称轴，周期，作出的图像，使得的图像与的图像至少有三个交点．
【详解】
由得，以代，得，
由于为偶函数，所以，得出，可知图像以为对称轴．
在，令，得出，所以，函数周期，
时，，作出的图像，如图所示，

的图像与的图像至少有三个交点，即有且，解得，
故选：A．
6．D
【分析】
由题意可知函数的图象关于轴对称且周期为4，由此可画出函数在区间上的图象，若在区间内方程有5个不同的实数根，即函数与的图象有5个交点，数形结合列出不等式组求解即可.
【详解】
因为函数的图象关于直线对称，
所以函数的图象关于轴对称，
因为对任意的，都有成立，
所以，
所以函数的周期为4，
画出函数在区间上的图象，如图所示：

若在区间内方程有5个不同的实数根，
即函数与的图象有5个交点，
显然，则，解得，
即实数的取值范围为.
故选：D．
7．C
【分析】易得函数是以为周期的周期函数，方程恰有三个不相等的实数根，即为函数与的图象有三个不同的交点，做出两个函数的图象，结合图象列出不等式组，进而可得出答案.
【详解】因为，所以函数是以为周期的周期函数，
方程恰有三个不相等的实数根，
转化为函数与的图象有三个不同的交点，
如图所示，作出函数的函数图象，
函数的图象过定点，
要使函数与的图象有三个不同的交点，
则，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：C.
【点睛】方法点睛：已知函数零点（方程的根）的个数求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
8．
【分析】令，由二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】令，
由二次函数根的分布性质，若一根在区间内，另一根在区间内，
只需，解不等式组可得，即的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用二次方程根的分布求参数，一般要分析对应的二次函数图象的开口方向、对称轴、判别式以及端点函数值符号，考查计算能力，属于中等题.
9．
【分析】根据函数性质可知函数关于，对称，且周期为4，再利用上的解析式，画出函数图象，有数形结合即可求得实数的取值范围.
【详解】由函数为偶函数可知，函数关于对称，且，即，
又因为关于对称，所以，即，
可得函数的周期，
当时，可得其图象如下所示：
由对称性可知，当时满足不等式的整数解有3个即可，
根据图示可得，解得，
即.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：函数图象在方程、不等式中的应用策略
(1)研究两函数图象的交点个数：在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解；
(2)确定方程根的个数：当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程的根就是函数图象与轴的交点的横坐标，方程的根就是函数与图象交点的横坐标；
(3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.
答案第1页，共2页
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