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第12题 综合法由因导果，分析法执果索因
已知，且，求证：．
采用分析法（执果索因），从所证不等式整体变形得到与条件完全一致的结果，也可以先分析得到不等式成立的条件，利用综合法推出这一条件.
【点评】
1.通常一个命题或一个有待证明的数学问题，都是由条件和结论两方面构成的，解题的过程一般总是有正、逆两种不同的思维方向：一是从条件出发推导出结论的思维过程（由因导果），称之为综合；二是从结论出发逆向追溯到结论的条件（执果索因），称之为分析．从论证的思维方向和表达形式来看，前者称为综合法，后者称为分析法，这是证明高中代数推理题的两种基本方法
2.从不等式证明的角度理解两种证法的定义．
（1）综合法．从已知条件或已证明过的基本不等式出发，结合不等式的基本性质，推导出所要证明的不等式，是“由因导果”的直接推理论证，每一步所推导出的不等式都是前一不等式的必要条件．
（2）分析法．先假定所证明的不等式结论成立，然后逐步求出使它成立的充分条件，直到所找到的充分条件是已知成立的不等式为止，基本思想是：“执果索因”“顺藤摸瓜”，论证中通常采用“欲证……，只需证……”的形式．
3.从广义上讲，综合法又称之为顺推法，分析法又称为逆推法．由题目的条件出发推导其结论的顺推法和由题目的结论出发回溯条件的逆推法分别相当于充要条件证明中的充分性和必要性的证明．
（22-23高二下·河南省直辖县级单位·期中）
1．已知，求证：
采用综合法（由因导果），从所证不等式左端变形，运用均值不等式，把条件代入可得结果.
综合法1：由已知，且
．
所以.
综合法2：
（23-24高一上·甘肃·期末）
2．已知，求证
(1)；
(2).

采用分析法（执果索因），从所证不等式整体变形得到与条件完全一致的结果
欲证原不等式成立，即证，
也即证．①
∵，故，代入①式得
，即证．
也即证或，而不可能成立，故即证．
由，，，得，因此原不等式成立．
（23-24高一上·辽宁丹东·阶段练习）
3．（1）为实数，求证：
（2）用分析法证明：
根据已知，且，令，，注意应用三角恒等变换及三角函数的性质.
（三角换元结合函数单调性）令，，
则
．
令，∵，∴，设．
当时，．
∴，即在上为减函数，∴．
∴，等号当且仅当时成立．
4．a、b、x、y均为正数，且，求证：；
比较法是不等式证明的基本方法，一般有“差比法”、“商比法”.本题根据已知条件首先得到，.然后求证不等式两边作差、变形、定号、结论.
（23-24高一上·上海闵行·期中）
5．已知实数，满足，求证：.
6．若，求证：，
7．若是不全相等的正数，求证：．
8． 设，且,试证：．
（2023·广西南宁·一模）
9．设.
(1)，证明：；
(2)若，证明：.
（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）
10．完成下列不等式的证明：
(1)对任意的正实数，，，证明：；
(2)设，，为正实数，且，证明：.
（2023·河南·模拟预测）
11．设a，b为正数，且.证明：
(1)；
(2).
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．证明见解析
【分析】根据题意，将不等式转化为只需证，然后逐步反推，即可证明.
【详解】要证，
只需证，
即证，
只需证，
只需证，
即证，
因为，所以只需证，
因为成立，
所以原不等式成立.
2．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解；
（2）根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】（1）解：因为，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以.
（2）解：因为，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以.
3．（1）见解析 （2）见解析
【分析】（1）先将转化为，再利用基本不等式加以证明.
（2）分析使不等式成立的充分条件，一直分析到使不等式成立的充分条件显然具备，从而使不等式得证.
【详解】（1）要证，
需证，
，，，
，
即.
（2）欲证，
只需证，
即，
只需证，
即证，
只需证，而显然成立，
所以成立.
4．证明见解析
【分析】根据式子的结构进行三角换元，利用三角变换进行证明.
【详解】设，，
.
（其中），.
即证.
5．证明见解析
【分析】利用作差法比较大小即可证明.
【详解】
，
因为，所以，
所以.
6．证明见解析
【分析】利用综合法或分析法，结合完全平方公式即可得证.
【详解】证法一（综合法）：因为当时，，
所以，即，
因为，，
所以，故不等式得证.
证法二（分析法）：要证，即证，
即证，
因为，故证，
即证，即证，
只需证，即证，这是显然成立的，故原不等式成立.
7．证明见解析．
【详解】试题分析：根据基本不等式，得到成立，两边同时取对数，即可证明．
试题解析：证明：∵，
∴，
又上述三个不等式中等号不能同时成立．
∴成立．
上式两边同时取常用对数，得，
∴．
考点：对数的性质；基本不等式的应用．
【方法点晴】本题主要考查了对数函数的图象与性质、基本不等式的应用，其中解答中涉及到不等式与不等关系的证明，基本不等式的应用和对数函数的运算与性质等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归思想，以及学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中，根据基本不等式和不等关系，得出成立是解答的关键，属于中档试题．
8．证明见解析
【分析】利用三角代换即可证明.
【详解】由：
设
则恒成立.
即.
9．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由条件出发，得到，再结合基本不等式，即可证明；
（2）利用分析法，从结论出发，逐步得到使结论成立的充分条件.
【详解】（1）证明：（1）由，
得.
由基本不等式及，
得，
即.
（2）因为，所以.
所以要证，
只需证，
只需证，
只需证，
即证，
而显然成立，
故成立，
故成立.
10．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由基本不等式得到，相加后得到答案；
（2）由基本不等式得到，相加后得到答案.
【详解】（1）由基本不等式可得，
所以，
即
当且仅当时取等；
（2）因为
所以，即，
因为
所以，
所以，当且仅当时取等
11．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）运用等量代换可得，结合转化为求关于的二次函数在上的值域即可.
（2）将原式展开后结合可得，运用“1”的代换及基本不等式即可证得结果.
【详解】（1）证明：由，可得，即，
所以，
因为a，b为正数，所以，
所以，
所以，
所以，
所以.
（2）证明：由可得，
由（1）可得，
所以，当且仅当即时取等号.
故，当且仅当时取等号.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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