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第13题 三角问题立足“三变”，关键在于恒等变换
已知，，则（ ）．
A． B． C． D．
把条件等式与联立，解方程组求、的值，进而求的值，最后求的值，一步步深入，这是最基本的解法
∵∴．
∴或
∴或，代入公式，求得．
（2024·贵州毕节·二模）
1．若，且，则（ ）
A． B． C． D．
条件等式平方转化为、的齐次式，利用“1”的代换，，弦化切求出，进而求的值.
∵，∴．
∴，分子分母同除以得，
解得或，
代入公式，求得．
（2024·湖南衡阳·二模）
2．已知，则（ ）
A． B． C．2 D．4
条件等式平方化为、的齐次式，利用“1”的代换，得到，降幂，弦化切
∵，∴．
∴．
∴，∴，∴．
3．已知，求的值．
对已知条件运用“辅助角公式”，求出符合条件的任意角，将转化成用辅助角函数值表示的形式.
，由辅助角公式得（其中），
∴，．
∴或，．
∴．
（2024·江苏·一模）
4．已知，且，，则 ．
运用对偶思想，令，联立，两对偶式平方相加求得t，通过解两对偶式联立的方程组求，再求.
令，联立，
两对偶式平方相加，得，解得．
当时，由方程组可解得，∴；
当时，由方程组可解得，∴．
（24-25高三上·浙江·开学考试）
5．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
运用“几何构图”，以形助数巧妙求解.构造两个斜边分别为2和1，其中一锐角为α的和，使AM、MD构成一长方形的边长.
构造两个斜边分别为2和1，其中一锐角为α的和，使AM、MD构成一长方形的边长，如图所示，
∵，∴．又∵，∴．
∴，∴，．
则．
（2023·贵州贵阳·模拟预测）
6．十七世纪德国著名天文学家开普勒曾经说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，如果把勾股定理比作黄金矿的话，黄金分割就可以比作钻石矿”．如果把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，那么我们常见的五角星则是由五个黄金三角形和一个正五边形组成．如图所示，（黄金分割比），则（ ）
A． B．
C． D．
【点评】
1.三角式的恒等变形是一种基本的数学技能，它的依据是三角变换公式和代数中代数式的恒等变换的一般方法，三角变换公式如：同角三角函数的基本关系式、两角和与差的公式、二倍角与半角公式、万能公式．积化和差与和差化积公式等，公式的数量较多，学习时要通过理解角的关系以及三角函数的关系揭示公式之间的内在联系、掌握公式的推导线索．要理解公式，注意公式的适用范围和符号的取舍，三角变换贵在灵活运用公式，掌握公式的逆用和各种变形的运用，以达到熟练、恰到好处地运用公式解决具体问题的目的．
2.不同角的三角函数关系式使用起来与同角三角函数关系式最大的不同点是必须根据题目的题设条件与结论去确定所应用的公式，而选定公式的能力靠观察角度关系、熟悉公式特征来培养．已知条件和所要求的角之间不相同时，常看它们的和、差、倍的情况，定能找出角之间的关系．角的变换是三角变换技巧之一，转化思想是实施三角变换的主导思想，变换包括：函数名称变换、角的变换、运算结构的变换.变换时必须熟悉公式，分清和掌握哪些公式会实现哪种变换，也要掌握各个公式的相互联系和适用条件．
3.“恒等”这个词始终是三角变换的重点．三角恒等变换中的方法与技巧是必须掌握的解题能力．在三角恒等变换中较为重要的变换技巧如下．
（1）函数名称的差异变换：
①切割化弦，弦化切割；②异名化同名．
（2）角的差异变换：
①异角化同角；②拆角、配角技巧．
（3）运算结构的差异变换：
①升次降次；②分式通分；③无理化有理；④和（差）积互化；⑤“1”的代换．
（4）引入辅助角的变换、角的分析与三角式的配凑．
（2024·山东泰安·一模）
7．若，则（ ）
A． B． C．2 D．
（23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）
8．已知，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）
9．已知，则 .
（2024·北京·模拟预测）
10．已知满足：，则 ； .
（23-24高一下·上海·阶段练习）
11．已知，，求的值.
（23-24高一下·云南·阶段练习）
12．已知是的内角，且.
(1)求的值；
(2)求的值.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】首先判断，再由同角三角函数的基本关系求出，最后由二倍角余弦公式计算可得.
【详解】因为，且，
所以，又，解得或（舍去），
又，解得或，
又，所以，所以，所以.
故选：B
2．A
【分析】利用诱导公式，二倍角公式和同角三角函数基本关系，结合角的取值范围，可求角的正切值.
【详解】由，
所以或.
又，所以.
所以.
故选：A
3．1
【分析】将所求式中的“1”替换成，得到正弦、余弦的齐次式，构造分母，分数上下同除以，即可化成关于的表达式,代入计算即得.
【详解】∵，，
∴原式
．
即．
4．##
【分析】变形后得到，利用辅助角公式得到，得到，两边平方后得到，利用同角三角函数关系求出.
【详解】由题可知，所以，
所以，
因为，所以，
又，所以，故，
所以，
两边平方后得，故，
．
故答案为：
5．D
【分析】利用和差公式和同角三角函数关系以及二倍角即可得出结论.
【详解】将平方得，
所以，则．
所以，
从而．
联立，得．
所以，．
故．
故选：D
6．D
【分析】构造，根据题意推得.然后根据诱导公式以及二倍角的余弦公式化简，即可得出答案.
【详解】如图：
过D作于E，则．
，
所以，.
故选：D．
7．C
【分析】先利用诱导公式结合二倍角的正弦公式及商数关系和平方关系化弦为切，再根据二倍角的正切公式即可得解.
【详解】由，得，
即，即，
所以，所以，
则.
故选：C.
8．ABD
【分析】根据题意，利用三角函数的基本关系式，逐项计算，即可求解.
【详解】因为，平方可得，
解得，
因为，所以，所以，所以A正确；
又由，
所以，所以D正确；
联立方程组 ，解得，所以B正确；
由三角函数的基本关系式，可得，所以C错误.
故选：ABD
9．##
【分析】利用二倍角的正弦公式与正余弦的齐次式法即可得解.
【详解】因为，
所以.
故答案为：.
10． ##
【分析】根据同角三角比的基本关系求解出的值，然后利用二倍角的余弦公式并结合弦化切即可求出的值.
【详解】因为，所以；
因为，所以，
所以，
故答案为：；.
11．
【分析】借助降幂公式与辅助角公式，同角三角函数的基本关系与二倍角公式计算即可得.
【详解】，
即，由，故，
故，
则.
12．(1)
(2)
【分析】（1）由题意，从而可求得，得到，从而可求解.
（2）由（1）结论可求出，然后再利用二倍角公式及两角和的余弦公式从而可求解.
【详解】（1）由，所以，
则，因为，则，所以，则，
所以，
则.
（2）由（1）得，解得，
且，，
所以.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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