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第11题 不等式里面含参数，转化与化归辟蹊径
设，若时均有，求a的值．
直接把所给不等式变为等价的两种不等式组，通过参变分离，构造函数，用研究函数的最值确定a的值.不等式等价于如下两种情况：
ⅰ，ⅱ．分别讨论求解.
不等式等价于如下两种情况：
ⅰ，ⅱ．
对于ⅰ，有．
这时，对，有．
易知，函数在上为增函数，在区间右端点取到最大值；
函数在上为减函数，在区间右端点取到最小值．
有，得．
对于ⅱ，有．
这时，对，有．
易知，函数在上为减函数，在区间左端点取到最大值；
函数在上为增函数，在区间左端点取到最小值．
有，得．
合并两种情况，求并集得．
又当时，对均有．
∴为所求．
1．设a，，若对任意，都有，则 ， ．
利用变更主元法，已知不等式变形为关于a的不等式，即．
解关于a的不等式得，通过求的最大值、的最小值确定a的值.
将已知不等式变形为关于a的不等式，对有
．
比较与的大小知，当时，有；当时，有．
ⅰ当时，解关于a的不等式，得，有，得．
ⅱ当时，解关于a的不等式，得．
有，得．∴．
又当时，对均有．
∴为所求．
（2024高三·全国·专题练习）
2．设函数是定义在上的增函数．若不等式对于任意恒成立，求实数x的取值范围.

视ax为主元，原不等式变形为，比较与的大小进一步讨论求解.
视ax为主元，原不等式变形为，，
比较与的大小知，当时，有；
当时，有．
ⅰ当时，解关于ax的不等式，得．
即．
有，得．
ⅱ当时，解关于的不等式，得．
即．
有，得．∴．
又当时，对均有．
∴为所求．
3．设函数是定义在上的增函数．若不等式对于任意恒成立，求实数x的取值范围.

根据不等式，构造函数，，讨论两函数的图像与性质确定a的值.
令，，则两函数图像都经过同一点．
ⅰ当时，对一切有，需不等式在时恒成立，而二次函数的图像开口向上，显然在时不能恒成立，即不成立．
ⅱ当时，函数在上单调递增．
且在时，在时．
故只需在时，，在时，．
∵二次函数的对称轴方程为，函数图像开口向上，且过点，
∴只需，即，整理得，故（舍去）．
4．设a，，若对任意，都有，则 ， ．

已知不等式变形为关于a的不等式，即．转化为研究直线介于两函数与图像之间（）.
对，已知条件可以变形为关于a的不等式，即直线介于两函数与的图像之间（如图所示），故直线过两图像与的交点，得．
（20-21高一上·江苏南通·阶段练习）
5．不等式有多种解法，其中有一种方法如下，在同一直角坐标系中作出和的图象，然后根据图象进行求解，请类比此方法求解以下问题：设，若对任意，都有成立，则的值可以是（ ）.
A．1 B． C．8 D．0

视ax为主元，原不等式变形为，．这表明ax介于与之间，转化为根据直线介于两函数与图像之间（）求参数.
视ax为主元，原不等式变形为，．这表明ax介于与之间，即在右半平面上．直线介于两函数与的图像之间（如图所示）．故直线过两图像数与的交点，代入，得．
（23-24高一上·上海·期末）
6．若存在实数，对任意实数，不等式恒成立，则实数m的取值范围是 .

视a为主元，原不等式变形为，．把它看成a的二次不等式，按x分类讨论，利用特殊值确定a的值.
将原不等式看成关于a的二次不等式，即．
当时，；
当时，．∴当时，，故．
（辽宁·高考真题）
7．已知函数，，且对任意的实数t均有，．
(1)求函数的解析式；
(2)若对任意的，恒有，求x的取值范围．

注意到时不等式成立，直接利用特殊值法，由求解.
由题意知时不等式成立．
即，∴，故．
又当，时，有．
∴．
（高三·北京·强基计划）
8．如果不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是 ．
（2017·天津·高考真题）
9．已知函数设若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）
10．设，若关于的不等式对任意的恒成立，则的最大值为 .
11．已知，若对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围为 ．
（22-23高一上·浙江杭州·期中）
12．若不等式对任意的恒成立，则的最大值为 .
（23-24高三上·上海浦东新·期中）
13．已知函数
(1)解不等式;
(2)若关于的方程在上有两解，求的取值范围:
(3)若函数，其中为奇函数，为偶函数，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
14．求使（，）恒成立的a的最小值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1． 1
【分析】由题意首先得到，，其次由数轴穿根法讨论的大小关系可知它们不相等不符合题意，进一步可知，结合a，，即可求解.
【详解】若对任意，都有，则有，．
理由如下：若，则当无穷小时，，矛盾，
若，则当无穷小时，，矛盾，
所以，
若，，则，
这与对任意，都有矛盾，
若， ，，
这与对任意，都有矛盾，
综上所述，，．
方程的根为，，，
由数轴穿根法可知：
若，则当时，如图所示，
可知，不合题意．
若，则当时，如图所示，
可知，不合题意．
因而，所以，
又a，，故，．
故答案为：1；.
2．
【分析】首先利用函数的单调性，把函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，接下来把a作为主元（变量），x作为参数，把不等式恒成立问题转化为求函数的最值解决，
【详解】∵是增函数，∴对于任意恒成立．
，即对于任意恒成立．
令．，为关于a的一次函数，在上是一条线段，
由，得．
3．
【分析】首先利用函数的单调性，把函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，接下来把a作为主元（变量），x作为参数，把不等式恒成立问题转化为求函数的最值解决，
【详解】∵是增函数，∴对于任意恒成立．
，即对于任意恒成立．
令．，为关于a的一次函数，在上是一条线段，
由，得．
4． 1
【分析】由题意首先得到，，其次由数轴穿根法讨论的大小关系可知它们不相等不符合题意，进一步可知，结合a，，即可求解.
【详解】若对任意，都有，则有，．
理由如下：若，则当无穷小时，，矛盾，
若，则当无穷小时，，矛盾，
所以，
若，，则，
这与对任意，都有矛盾，
若， ，，
这与对任意，都有矛盾，
综上所述，，．
方程的根为，，，
由数轴穿根法可知：
若，则当时，如图所示，
可知，不合题意．
若，则当时，如图所示，
可知，不合题意．
因而，所以，
又a，，故，．
故答案为：1；.
5．BC
【解析】结合题意，排除、；当，时，作出两函数的图象，数形结合可得，结合即可得解.
【详解】若时，当时，，此时恒成立，即，
不存在这样的实数；
当时，，此时即对任意恒成立，
不存在这样的实数；
所以，，
当，时，函数是减函数，与x轴的交点为，
函数与x轴的交点为，
在同一直角坐标系内，画出函数的图象，如下图所示：
数形结合可得，若满足题意，则即，
又，，，所以或，
所以或.
故选：BC.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是准确理解题意，结合二次函数、一次函数的性质分类讨论，转化条件为.
6．
【分析】由题意研究，，三个函数图象的关系，进而转化为对恒成立即可求解答案.
【详解】如图所示，若存在实数，对任意实数，不等式恒成立，
则直线在时位于上方（可重合），且位于下方（可重合），
又因为在时为凹函数，所以当直线经过时符合题意，
由，得，此时直线为，则，即对恒成立，
则，则，即实数m的取值范围是.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题考查函数图象的应用问题.本题的关键点在于将原不等式转化为三个函数图象的关系，结合三次函数的凹凸性进一步转化为对恒成立，再通过求解最值得到答案.本题考查转化与化归能力，数形结合能力，属于中难题.
7．(1)；
(2)
【分析】（1）先求出，根据题意转化为对任意的实数，都有；对任意的实数，都有列不等式求出，即可得到的解析式；（2）转换主元，令，列不等式组，即可求解.
【详解】（1）因为函数，所以.
对任意的实数t均有，，所以可转化为：
对任意的实数，都有；对任意的实数，都有，
所以，即，解得：.
所以.
（2）可化为，记.
对任意的，恒有，
只需，即，解得：，
即.
所以实数x的取值范围为.
8．
【分析】利用特例可判断，再证明当时，不等式恒成立即可得到参数的取值范围.
【详解】分别取和，可得．
接下来证明时命题成立，
此时只需要证明
这显然成立，因此所求实数a的取值范围是．
故答案为：.
9．B
【分析】由题意，令，作出函数的图象，当的图象与的图象相切时求得，若使得不等式在R上恒成立，需满足、，即可求解.
【详解】由题意知，令，函数的图象如图所示，

当函数的图象经过点时，得.
当的图象与的图象相切时，
由，得，结合图形，由得.
若不等式在R上恒成立，
当时，需满足，即，
当时，需满足，即，
所以，
所以实数a的取值范围为.
故选：B.
10．
【分析】假设，可得与矛盾，所以，即，解不等式，根据不等式的解集确定，进而可得的最大值.
【详解】假设，则由不等式得，
又，所以，则，与矛盾，
所以，即，
不等式
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等的解集为，
又，，
所以若不等式对任意的恒成立，
则只需，即，解得，
所以，即的最大值为，
故答案为：.
11．
【分析】思路一：移向转换为对一切实数x恒成立，对分类讨论即可求解；思路二：移向构造函数，对分类讨论，转换为函数最小值大于0求参数即可；思路三：分离参数，构造函数，利用导数求最值即可求解.
【详解】解法一（运用判别式）：由已知可得，
即对一切实数x恒成立．
当时，不可能恒成立，
从而由二次函数的性质可得，只能，解得．
因此实数a的取值范围为．
解法二（利用二次函数图像与性质）：原不等式整理得，
令，则原问题转化为对恒成立．
当时，抛物线开口向下，显然不合题意；
当时，，其图像是一条直线，也不合题意；
当时，抛物线开口向上，只要，即．
解得或，∴，因此实数a的取值范围为．
解法三（参变分离，构造新函数，运用导数求解函数的单调性及最值）：
∵恒成立．
∴问题转化为对恒成立，从而．
令，则，
令，则或．
从而在，上单调递增，在上单调递减．
又，且当时，，故．
于是，因此实数a的取值范围为．
故答案为：.
12．
【分析】根据不等式对和分类讨论，分别满足不等式对任意的恒成立，列式求解即可.
【详解】解：①当时，由得到在上恒成立，显然a不存在；
②当时，由，可设，
由的大致图象，可得的大致图象，如图所示，
由题意可知则，所以，
当且仅当，即时，取等号，所以的最大值为
综上，的最大值为
故答案为：
13．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由换元法求解，
（2）参变分离后转化为求值域问题，
（3）由函数的奇偶性先求出、的解析式，再由换元法与参变分离求解.
【详解】（1）设，则原不等式可化为，解得，
则，
故原不等式的解集为
（2），即，
设，则在上有两解，
由图知，

（3）由题意得
解得
故原不等式即对恒成立，
令，不等式可化为对恒成立，
即，而，由对勾函数性质得当时，
取最大值，则
【点睛】本题主要考查函数的最值以及不等式恒成立问题，属于中档题. 不等式恒成立问题常见方法：
① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；
② 数形结合(图象在 上方即可)；
③ 讨论最值或恒成立；
④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.
14．
【分析】思路一：对所给不等式平方变形结合均值不等式，通过比较确定a的最小值；思路二：由题设条件构造函数，由均值不等式求的数最值，进而确定a的最小值；思路三：通过对题设不等式变形，运用三角换元法求解.
【详解】解法一：由于a的值为正数，将已知不等式两边平方，得
，即，①
∵、，∴，②
当且仅当时，②式中等号成立，比较①②式，可得a的最小值满足．
即（∵），∴a的最小值为．
解法二：设．
∵，，∴（当且仅当时等号成立），
∴，的最大值是1，从而可知，u的最大值为．
又由已知得，∴a的最小值为．
解法三：∵，，∴原不等式可化为，
设，，∴，即．
∴．③
又∵的最大值为1（此时），故由③式可知a的最小值为．
答案第1页，共2页
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