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第2题 条件探求与判断，转化构造直接法
（1）已知，.若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
（2）求关于x的方程的两个实根均大于1的充要条件.
解不等式求集合A、B，再求，，利用是的充分不必要条件是.画数轴得不等式组解之.
，
∴或.
.
∵，∴.
∴或.
∵是的充分不必要条件，
又∵，把不等式的解表示在数轴上，如图2-1所示.
∴解得.
【点评】
1.探求问题的充要条件结构思想是核心，即进行条件与结论之间的双向等价转化.用集合观点处理充要条件问题可以使我们对条件的判断更加清晰简明.
2.假设条件甲和结论乙分别对应于集合A和B（它们包含于同一个全集），如果，则A为B的充分条件，特别地，如果，则称A为B的充分不必要条件.如果，则A为B的必要条件，特别地，如果，则称A为B的必要不充分条件.如果且，即，则称A为B的充要条件.如果以上3种关系均不成立，即A、B之间无包含或相等关系.则A既不是B的充分条件也不是B的必要条件，即A是B的既不充分.又不必要条件.
（2024·江西南昌·一模）
1．已知，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
由的逆否命题是：，利用B是A的充分不必要条件，通过画数轴求得m的取值范围.
，
.
∵，∴.
得，.若，则有，如图2-2所示.
∴解得.
【点评】判断命题的真假，可直接判断.如果不易判断，可根据“互为逆否命题的两个命题是等价命题”来判断.将问题不断地进行等价转化是探求充要条件的一个有效途径，它可以将不熟悉的问题转化为熟悉的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，从而有利于问题的解决，简言之，探求问题的充要条件结构思想是核心，即进行条件与结论之间的双向等价转化.
2．已知p3+q3=2,求证:p+q≤2.
从方程角度入手，运用判别式及韦达定理建立不等式组求解.
设方程的两个实根为，，则
解得，故所求的充要条件是.
（2024·广东·一模）
3．已知且，则“的解集为”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
讨论一元二次方程的解，通过转化（构造）二次函数，结合函数图象特征寻求充要条件..
由， 记，所求充要条件为
解得，故所求的充要条件是.
（23-24高三上·湖南娄底·期末）
4．已知函数的定义域为，对任意，有，则“”是“"的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
讨论一元二次方程的解，结合二次函数图象特征寻求充要条件.
由，记，所求充要条件为
解得，故所求的充要条件是.
（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）
5．命题“对任意的，总存在唯一的，使得”成立的充分必要条件是（ ）
A． B． C． D．
（23-24高三上·江苏南京·期中）
6．已知命题，，则的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
（2024·吉林白山·一模）
7．“”是“方程有唯一实根”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件
（2022高三上·河南·专题练习）
8．已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 ．
（23-24高一上·福建·期中）
9．已知命题“方程至少有一个负实根”，若为真命题的一个必要不充分条件为，则实数的取值范围是 ．
（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）
10．已知命题，为真命题.
(1)求实数的取值集合A；
(2)设为非空集合，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】
根据充分条件和必要条件的定义，结合对数函数定义域和基本不等式求最值，利用集合包含关系可得.
【详解】由，得，
设，
由的否定为，
令，当且仅当时，又，即等号成立，
若，则，
若，则，
设，因为，所以且，
所以是的充分不必要条件
故选：A
2．假设p+q>2,则q>2-p,
根据幂函数y=x3的单调性,得q3>(2-p)3,
即q3>8-12p+6p2-p3,
p3+q3>8-12p+6p2=6≥2,
故p3+q3>2.因此p3+q3≠2.
这与题设p3+q3=2矛盾,从而假设不成立.
故p+q≤2成立.
【分析】利用反证法，假设结论不成立，根据函数的单调性与整式的乘方运算，构造立方和的形式，证明假设的结论与题设矛盾，即可证得原结论正确.
【详解】假设p+q>2,则q>2-p,
根据幂函数y=x3的单调性,得q3>(2-p)3,
即q3>8-12p+6p2-p3,
p3+q3>8-12p+6p2=6≥2,
故p3+q3>2.因此p3+q3≠2.
这与题设p3+q3=2矛盾,从而假设不成立.
故p+q≤2成立.
【点睛】本题考查命题的证明，如果直接证明无思路，可以考虑利用反证法，由相反的结论，证明题设不成立即可.
3．A
【分析】
根据一元二次不等式的解及充分条件、必要条件求解.
【详解】由题意，二次不等式的解集为，
则等价于，即，即，
当时，不能推出，
所以“的解集为”是“”的充分不必要条件，
故选：A
4．A
【分析】
根据题意可构造函数，利用函数单调性解不等式即可解得，再由集合间的关系可得结论.
【详解】
设，该函数的定义域为，
则，所以在上单调递增.
由可得，
即，又在上单调递增，所以，解得，
显然集合是集合的真子集，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
【点睛】
关键点点睛：本题关键在于根据构造函数，并将不等式变形，利用单调性解不等式即可得结论.
5．D
【分析】
将方程整理为；当时，解方程可确定其符合题意；当和时，将问题转化为与在时，有且仅有一个交点的问题，采用数形结合的方式可构造不等式组求得的范围，由此可得原命题成立的充要条件.
【详解】由得；
①当时，，则，解得，
因为，，满足题意；
②当时，，
若存在唯一的，使得成立，
则与有且仅有一个交点，
在平面直角坐标系中作出在上的图象如下图所示，
由图象可知：当时，与有且仅有一个交点，
所以，，解得，此时，；
③当时，，
由②同理可得，解得：，则.
综上所述：原命题成立的充要条件为.
故选：D.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
6．B
【分析】
根据题意求得命题的充要条件，再结合选项进行选择即可.
【详解】命题，，等价于恒成立；
又在单调递减，在单调递增，
，故在上的最大值为；
故恒成立，即，也即命题的充要条件为；
结合选项，的一个充分不必要条件是.
故选：B.
7．A
【分析】应用数形结合求出“方程有唯一实根”时，的取值范围，再结合充分性、必要性即可求解.
【详解】方程有唯一解，
即直线与上半圆有且仅有一个交点，
解得的取值范围为，
∴是方程有唯一解的充分不必要条件；
故选：A．
8．
【分析】先对求解得，对化简得，再结合是的必要不充分条件，对进行分类讨论，即可求解.
【详解】
由，解得，所以，
对于，即，
若，解得，要使是的必要不充分条件，则，所以；
若，解得，要使是的必要不充分条件，则，所以；
若，则为，符合题意，所以实数的取值范围是.
故答案为：.
9．
【分析】
先求得为真命题时的取值范围，再根据必要不充分条件求得的取值范围.
【详解】若命题“方程至少有一个负实根”为真命题，
时，，符合题意；
当时，，且，
则此时方程有一个正根和一个负根，符合题意；
当时，由，解得，
此时方程为符合题意；
由解得，此时，
则此时方程有两个负根，符合题意.
综上所述，为真命题时，的取值范围是.
若为真命题的一个必要不充分条件为，
则.
故答案为：
【点睛】含参数的一元二次方程根的分布问题，可采用直接讨论法来进行研究，也可以采用分离参数法来进行研究，如果采用直接讨论法，在分类讨论的过程中，要注意做到不重不漏.求命题的必要不充分条件，可转化为找一个比本身“大”的范围来进行求解.
10．(1)
(2)
【分析】
（1）把给定命题转化为不等式恒成立，再利用判别式求解．
（2）由已知结合集合的包含关系列出不等关系，求解即可．
【详解】（1）
依题意，关于的不等式恒成立，
于是得，解得，
所以实数的取值的集合．
（2）
因为是的必要不充分条件，所以为的真子集．
又为非空集合，
所以， 得，
所以实数的取值范围为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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