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第3题 二次问题恒成立，转化最值求参数
设函数，对任意，恒成立，则实数m的取值范围是______．
由所给的解析式及对应法则，原不等式可转化为含参数不等式对恒成立，求参数m的取值范围.原不等式化简，参变分离，令求的最小值转化为解关于m的不等式结论
∵，∴，即，∵，∴恒成立．
令，∵，∴．
，∴，即．
∴或．
∴．
（23-24高三下·河南·开学考试）
1．已知正数满足，若恒成立，则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
原不等式化简，参变分离，整理成令求的最小值令或转化为解关于m的不等式结论.
不等式可化为，
即．
整理，得，∵，∴．
令，．
于是问题转化为对任意，恒成立向题，为此需求，的最大值．
设，则．函数在区间上是增函数．
因此在处取得最大值．
∴．整理得．
∴，解得或．
∴．
评注：问题转化为对任意，恒成立后，可以用下面的方法求，的最大值，从中读者可以体会对观察问题的不同视角可以呈现不同的解题方法，值得比较和品鉴．
设，则，于是．
∵函数在上是增函数，∴当时，，从而，∴．
整理，得，即．解得或．
（23-24高一上·浙江·阶段练习）
2．已知，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为 .
原不等式化简，整理成令转化为二次函数时恒成立结论.
不等式可化为，
即，
整理，得，令．
由于，则其判別式，因此的最小值不可能在函数图象的顶点处得到．∴为使对任意恒成立，必须使为最小值，如图3-1所示．
即实数m应满足
解得．因此实数m的取值范围是．
【点评】
有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．
（23-24高一上·广西·阶段练习）
3．已知函数
(1)若函数在上是单调函数，求实数的取值范围.
(2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
运用特例法，以代入原不等式转化为解关于m的不等式结论．作为填空题，与其他解法比较，取特例验证最为简捷.
由题设，∵对任意，恒成立，则对，不等式也成立．把代入不等式，得．
即．①
∵，①式两边同乘以，并整理得，
即．∴．解得或．
因此，实数m的取值范围是．
（2024·全国·模拟预测）
4．已知函数，若对任意，则所有满足条件的有序数对是 ．
（23-24高一下·重庆·阶段练习）
5．设函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意，都有，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
（2023高二上·山西·学业考试）
6．设函数，对任意恒成立，则实数的取值范围是 ．
（23-24高一上·江苏扬州·阶段练习）
7．已知正实数满足，且对任意恒成立，则实数的最小值是 .
（2018·天津·高考真题）
8．已知，函数若对任意，恒成立，则a的取值范围是 ．
（23-24高一上·云南曲靖·期中）
9．已知二次函数
(1)若为偶函数，求在上的值域；
(2)当时，恒成立，求实数a的取值范围.
（2024高三·全国·专题练习）
10．设函数．
(1)若对于一切实数，恒成立，求实数的取值范围；
(2)若对于，恒成立，求实数的取值范围．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】
将原不等式转化为，再求的最大值即可得到的最小值.
【详解】
因为，所以，
因为，所以，
故，
又，
当且仅当时，等号成立，
故，实数的最小值为.
故选：D.
2．
【分析】先把原不等式分解为二次不等式，分类讨论后运用整体代换和基本不等式即可.
【详解】原不等式，
由，知时，，时，，
故由原不等式知时，时，
由恒成立知且，即，
故所求式，
设，则，
则所求式递增，
故最小值在时取得：.
故答案为：.
3．(1)
(2)
【分析】（1）利用二次函数的性质，建立不等式即可求出结果；
（2）根据题意得，当时，恒成立，构造函数，将问题转化为即可求解.
【详解】（1）函数的对称轴为，
又函数在上是单调函数，
或，解得或，
∴实数a的取值范围为；.
（2）
当，时，恒成立，即恒成立，
令，恒成立，
函数的对称轴，
，
故m的范围为.
4．
【分析】
由题意可得，然后利用不等式的性质对不等式组变形可求得结果.
【详解】
因为对任意，
所以必须满足，
即，
由，得，
解得，①，
再由，得，
解得，②，
由①②得，
所以，即，解得，
经检验，当，时，，则
的最大值为，的最小值为，
满足任意，
所以满足条件的有序数对只有一对，
故答案为：.
5．D
【分析】
由题设条件画出函数的简图，由图象分析得出的取值范围.
【详解】当时，，
则，
即当时，，
同理当时，；
当时，.
以此类推，当时，都有.
函数和函数在上的图象如下图所示：
由图可知，，，解得，
即对任意，都有，即的取值范围是.
故选：D.
6．
【分析】
变换得到，计算的最大值得到，解得答案.
【详解】
原不等式可化为，，则，
令，则，因为最大值为2，所以，
即，解得.
故答案为：.
7．
【分析】利用分离常数法，结合二次函数的性质求得正确答案.
【详解】依题意，，解得，则
由得，
其中
①，
则当时①式取得最大值.
所以的最小值是.
故答案为：.
8．
【分析】
由题意分类讨论和两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果.
【详解】分类讨论：①当时，即：，
整理可得：，
由恒成立的条件可知：，
结合二次函数的性质可知：当时，，则；
②当时，即：，整理可得：，
由恒成立的条件可知：，
结合二次函数的性质可知：当或时，，则；
综合①②可得的取值范围是，
故答案为:.
9．(1)
(2)
【分析】（1）利用偶函数的定义求出，再利用二次函数求出值域即可得；
（2）变形给定不等式，分离参数构造函数，求出函数最小值即可得解.
【详解】（1）
函数定义域为R，由是偶函数，得，
即，
整理得，而不恒为0，
因此，函数，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
于是，又，，则，
所以在上的值域是；
（2）
不等式，
依题意，，，而对勾函数在上单调递减，
当时，，
即当时，，则，解得，
所以实数a的取值范围是.
10．(1)
(2)
【分析】（1）分和两类情况，当时采用验证法即可；当时根据一元二次不等式和二次函数之间的关系建立不等式组即可求出实数的取值范围.
（2）方法一：先利用分离参数法得出；再求出函数在上的最小值即可求解.方法二：先将问题转化为在上恒成立；再分类讨论，利用函数的单调性求出函数的最大值即可求解.
【详解】（1）要使恒成立，
若，显然；
若，则，解得．
综上：实数的取值范围是．
（2）方法一：
由得：，即.
因为，所以．
因为函数在上单调递增，
所以函数在上单调递减，
当时，函数在上取得最小值，最小值为，
所以只需即可，所以的取值范围是．
方法二：
由，得，即.
令，
当时，在上是增函数，
则，解得，所以；
当时，恒成立；
当时，在上是减函数，
则，解得，所以．
综上所述，的取值范围是．
答案第1页，共2页
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