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第1题 集合关系与运算，转化化归渡难关
设集合，，若对任意实数a，均有，则实数b的最大值为______．
参变分离得，要使此不等式恒成立，的最小值，而该最小值完全可以运用均值不等式求得.
当时，，此时A中任意元素均能使成立，则．
当时，．
∵，∴．
ⅰ当时，；
ⅱ当时，
∵，∴．
综上，b的最大值为2．
1．集合A中的元素个数用符号表示，设，N为自然数集．若，则实数m的取值范围是 ．
通过构造转化为直线与抛物线的位置关系，数形结合求解，临界状态是两者相切.
当时，．
．
依题意可知，当直线与抛物线相切时，，切点为．当时，，此时A中任意元素均能使成立，则．
∴b的最大值为2．
2．已知集合.若，求实数的取值范围
确定主元，视集合A中的方程为关于a的二次方程，利用判别式得到关于x、y的不等式，再把此不等式变形为的不等式，而集合B中的不等式变形为，而此不等式恒成立，即，在解的不等式时即可得到.
以a为主元，原方程整理为．
由得．
∴．
当时，有，解得或．∴
当时，．
综上，b的最大值为2．
3．设集合，，则有（ ）
A． B．
C． D．
4．集合，．若集合，则应满足
A．或 B．
C．或 D．
（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）
5．集合，集合，若中有8个元素，则值可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
（22-23高一上·江苏苏州·阶段练习）
6．函数的最大值记为M，最小值记为m，其中为负常数，若，则 ，T的最小值为 ．
7．设a、b是两个实数．
集合．
集合．
集合．
是平面xOy内的点集，试问是否存在实数a、b能同时满足如下两个条件：
①；②．
8．试求实数k的取值范围，使抛物线的所有弦都不能被直线垂直平分.
（23-24高一下·辽宁·阶段练习）
9．已知集合.
(1)求；
(2)若对任意的恒成立，求的取值范围.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．
【分析】
方法一：分离参数得，设新函数，利用导数即可得到不等式，解出即可；方法二： 转化为存在3个大于1的整数解，利用两函数，的图象得到不等式组，解出即可.
【详解】
解法一：由题意，当时，不成立．
故存在3个大于1的整数解．
此时，等价于存在3个大于1的整数解．
令，由于，
当时，；当时，.
故在上单调递減，在上单调递增．
由图1-1知，，即，即.
解法二：由题意，当时，不成立．
故存在3个大于1的整数解．
此时，等价于存在3个大于1的整数解．
令，，，
当时，；当时，.
故在上单调递減，在上单调递增．
如图1-2所示，作出两函数图象，
易知，即，解得.
故答案为：.
2．
【解析】集合表示的是二次函数上的所有的点，集合是直线在区间上的线段，由可知，两函数解析式联立方程转化为方程在上有根的问题
【详解】解：因为，
所以方程组在上有解，
所以方程在上有根，
（1）当方程在上有两个根时，
则，且，且，
解得，
当时，方程为，即，此时方程的根为或，两根均在区间上，
所以
（2）当当方程在上有1个根时，
则且，
解得，
由（1）可知当时，方程在上有两个根，
所以
综上，
所以实数的取值范围，
【点睛】此题考查集合的交集运算，由集合运算结果求参数的取值范围，属于中档题.
3．D
【分析】对集合中的方程中左边的项移项，然后用平方法进行化简，对集合中的参数方程用平方法进行消参，然后逐一判断即可.
【详解】,化简后再通过平方法化简，得，因此；
，因此
，
显然，，，.
故选：D
【点睛】本题考查了集合的交集、并集的运用，方程的恒等变形、消参是解题的关键.
4．A
【解析】先化简集合，再由，转化为直线与曲线无交点，结合图像，即可求出结果.
【详解】由题意可得，
因为，
由可得：
直线与曲线无交点，
由得或，
作出曲线的图像如下：
由图像易知，当直线恰好过时，恰好无交点；
因此时，满足题意；
综上或.
故选A
【点睛】本题主要考查根据直线与圆位置关系求参数的范围，熟记直线与圆的位置关系即可，属于常考题型.
5．B
【分析】对中的正负讨论，可得其表示的图象为正方形，又由含有8个元素即图中正方形与圆有8个公共点，数形结合可得解.
【详解】由，当时，上式变为，
当时，上式变为，
当时，上式变为，
当时，上式变为，
其对应图象如图所示正方形，集合表示以坐标原点为圆心，为半径的圆，
由含有8个元素即图中正方形与圆有8个公共点，即圆与正方形的关系介于内切与外接之间，
则，解得.
故选：B.
6． 9
【分析】
根据题意可得，，进而可得的值；不等式为，解得k的取值范围，不等式可化为对任意恒成立，即可得出答案．
【详解】
因为函数为开口向下，对称轴为，
所以，，
所以，不等式即，
所以，
令，因为为负常数，所以，
由，得到，则，
即，解得，
因为，所以，
由，即，
即对恒成立，
所以，即，所以最小值为.
故答案为：9；
【点睛】
结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若若，，有，则的值域是值域的子集 ．
7．不存在
【分析】
先假设存在，利用判别式的符号，整数解的情况以及集合的限制条件得出矛盾.
【详解】
解法一: 假设存在a，b使得关于m，n的方程组,至少有一组整数解．
可知点在直线上，
原点到此直线的距离为
，
当时等号成立．但，∴，∴，∴．
即与矛盾．
故不存在a、能使题中的两个条件同时成立，即满足已知两个条件的实数a、b不存在．
解法二：假设存在实数a，b同时满足题中的两个条件，
则必存在整数n，使，
于是它的判別式，即．
又由，得．
由此可得，即，故．
代入上述解及，得．∴．
将，代入方程，求得．
∴满足已知两个条件的实数a、b不存在．
解法三：假设存在实数a、b同时满足题意中的两个条件，即有
消去b，得．
（∵）．
又∵，∴关于a的二次不等式无解．∴这样的a、b不存在．
8．
【分析】先假设抛物线上两点 关于直线对称.求出的取值范围，即可得到不存在时的取值范围
【详解】设抛物线上两点 关于直线对称.
的中点为，则，，
由题设知，
∴，且的中点在直线上，
∴，因此中点.
由于点P在的区域内，∴，
整理得，解得.
因此当时，抛物线上存在两点关于直线对称
∴当时，抛物线上不存在两点关于直线对称.
故实数k的取值范围为.
9．(1)
(2)
【分析】
（1）根据指数函数的单调性，对数运算及对数函数的单调性，结合集合运算可得结果.
（2）根据指数函数的单调性，结合不等式恒成立问题解一元二次不等式可得结果.
【详解】（1）因为，
由，得，所以，
即，解得，所以，
所以.
（2）当时，因为单调递减，所以，
因为对任意的恒成立，
所以当时，则恒成立，即，即，
因为，所以解得；
当时，则恒成立，即，
因为，所以解得.
综上，的取值范围是.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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