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第5题 直线与圆关系，巧求面积最值问题
【四川省成都市石室中学2023～2024学年高三上学期期中考试T16】
如图，已知圆，圆，过直角坐标原点作直线分别交两圆于，过点作直线分别交两圆于，连接，则四边形面积的最大值为______．

由相似以及线段比例得出面积比，进而得出，设，得出，，再由导数法得出面积最值．
设轴与圆交于点，交圆于点，连结，，则，
．同理，
所以，
设，则，
则，设点到直线的距离为，
则，
所以，
设，
当单调递增，当，单调递减，
所以当．
1．在平面直角坐标系xOy中，已知，A，B是圆C：上的两个动点，满足，则△PAB面积的最大值是 ．
（23-24高三上·海南·阶段练习）
2．在平面直角坐标系中，已知，A，B是圆C：上的两个动点，满足，则面积的最大值是 ．
分别过两圆心作AB垂线，利用相似比得出，再由面积公式以及基本不等式得出面积最值．
作于于，易知，
所以，同理．
记面积为，则，
，所以．
下面求面积为的最大值（半径为1的内接三角形）
当且仅当时取等号，
所以．
（23-24高二上·湖北武汉·期中）
3．已知点的坐标为，点是圆上的两个动点，且满足，则面积的最大值为 ．
（2023·安徽阜阳·三模）
4．已知A，B分别为圆与圆上的点，O为坐标原点，则面积的最大值为 .
设，对面积构造一个关于的函数，利用圆内接三角形面积最大的结论（圆内接正三角形面积最大）求解．
设，
则，所以
（2022·全国·模拟预测）
5．在平面直角坐标系中，点，直线-1），动点满足，则动点的轨迹的方程为 ，若的对称中心为与交于两点，则的方程为面积的最大值为 ．
（2023·河北·一模）
6．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知圆的半径为3，直线，互相垂直，垂足为，且与圆相交于，两点，与圆相交于，两点，则四边形的面积的最大值为（ ）
A．10 B．12 C．13 D．15
（2022高三·全国·专题练习）
7．过圆内一点作倾斜角互补的直线和，分别与圆交于、和、，则四边形面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
（2020高三下·全国·专题练习）
8．已知过定点P(2，0)的直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取到最大值时，直线l的倾斜角为（ ）
A．150° B．135°
C．120° D．不存在
（18-19高二上·湖南长沙·开学考试）
9．已知圆，过圆T内定点作两条相互垂直的弦和，那么四边形面积最大值为（ ）
A．21 B． C． D．42
（20-21高三上·安徽池州·期末）
10．过点的直线与圆相交于A，B两点，则（其中O为坐标原点）面积的最大值为
A． B． C．1 D．2
（20-21高三上·重庆·阶段练习）
11．在平面直角坐标中，已知，，是圆上的两个动点，满足，则面积的最大值是 ．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．
【分析】根据条件得,再用圆心到直线距离表示三角形PAB面积，最后利用导数求最大值.
【详解】
设圆心到直线距离为，则，
所以点P到AB的距离为或，且
所以
令（负值舍去）
当时，；当时，，因此当时，取最大值，即取最大值为，
故答案为：
【点睛】本题考查垂径定理、利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.
2．
【分析】
根据条件先确定出的位置关系，然后利用到的距离表示出，由此构造函数利用导数求解出的最大值.
【详解】设中点为，因为，所以，
由垂径定理可知，且有公共点，所以共线，
所以，
设到的距离为，所以，，
所以到的距离为（位于和之间）或（位于和之间），且，
所以且，
设，
所以，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，所以的最大值为，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆的综合运用，涉及到几何法表示弦长、利用导数求最值，对学生的计算能力要求较高，难度较大.解答本题的关键点有两个：（1）根据长度关系能推理出位置关系；（2）表示出后选择用导数求解出对应最大值.
3．
【分析】
设，，的中点，由题意求解的轨迹方程，得到的最大值，写出三角形的面积，结合基本不等式求解．
【详解】设，，的中点，
点，为圆上的两动点，且，
，①，
，②，
③
由③得，即④，
把②中两个等式两边平方得：，，
即⑤，
把④代入⑤，可得，即在以为圆心，以为半径的圆上．
则的最大值为．
所以．
当且仅当，的坐标为时取等号．
故答案为：
4．##
【分析】作圆M关于y轴对称的圆，根据对称性，把问题转化为转化为在半径为1的内接三角形OEF的面积的最大值问题，运用三角形的面积公式和基本不等式计算即可求解.
【详解】设M：，则半径为1；
圆N：，则，半径为2.
以ON为直径画圆，延长BO交圆于F，连接FE，NE，NF，
如图:

则，又，所以F为BO的中点，
由对称性可得，
，及，
所以，
故当最大时，最大，
故转化为在半径为1的内接三角形OEF的面积的最大值问题，
对于一个单位圆内接三角形的面积，
，又，，
所以，
当且仅当时，即三角形为等边三角形时等号成立，
此时，
所以，
即三角形OEF的面积的最大值为，
所以最大值为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：利用对称思想把面积问题转化为圆内接三角形面积最大问题，用不等式求最值是难点.
5．
【分析】先根据条件求出 的方程，作图，分析图中的几何关系，设立参数，写出面积的解析式即可.
【详解】设，由题意得，
化简得的方程为，；
直线的方程可化为，由
解得， 所以直线过定点，
又 ，所以点在圆的内部；
作直线，垂足为，
设，易求，所以，
所以，
所以，
所以当，即时，；
故答案为：， .
6．B
【分析】设圆心到直线的距离为，圆心到直线的距离为，可得，，可求四边形的面积的最大值．
【详解】设圆心到直线的距离为，圆心到直线的距离为，
直线，互相垂直，垂足为，，
，，
．
故选：B．
7．D
【分析】
设直线的方程为，其中，设点、，将直线的方程与圆的方程联立，列出韦达定理，结合梯形的面积公式以及导数法可求得四边形面积的最大值.
【详解】
设直线的方程为，其中，设点、，
联立可得，
，
由韦达定理可得，，
，
易知四边形为等腰梯形，
所以，四边形的面积为，
令，其中，则，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，，因此，四边形面积的最大值为.
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：本题考查四边形面积最值的求解，解题的关键就是求出四边形面积的表达式，结合导数法求解.
8．A
【分析】由题意转化条件得曲线y＝为x2＋y2＝2(y≥0)，设过点P(2，0)的直线为y＝k(x－2)，利用点到直线的距离可得d＝，再由垂径定理可得|AB|，进而可得S△AOB，利用基本不等式即可得解.
【详解】由y＝得x2＋y2＝2(y≥0)，它表示以原点O为圆心，半径的圆的一部分，如图所示：
设过点P(2，0)的直线为y＝k(x－2)，则圆心到此直线的距离d＝，
弦长|AB|＝＝，
所以S△AOB＝
，
当且仅当4k2＝2－2k2即k2＝时等号成立，
解得k＝－或k＝ (舍去)，
所以直线l的倾斜角满足，所以.
故选：A.
【点睛】本题考查了圆的方程、直线与圆的位置关系的应用，考查了利用基本不等式求最值，属于中档题.
9．D
【分析】设圆心到、的距离分别为，，则，代入面积公式，使用基本不等式求出四边形的面积的最大值.
【详解】解：设圆心到、的距离分别为，.
则.
四边形的面积为：
.
当且仅当时取等号，
故选：D.
【点睛】此题考查学生掌握垂径定理及勾股定理的应用，灵活运用两点间的距离公式化简求值，学生做题时注意对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半，属于中档题．
10．B
【解析】设圆心O到直线的距离为，根据垂径定理，用表示，将面积表示为的函数，用基本不等式即可求解.
【详解】如图所示，过O作，垂足为M，
设，则，所以的面积
当且仅当时，取等号.
故选:B
【点睛】本题考查直线与圆的关系，解题的关键是垂径定理的应用，属于基础题.
11．
【分析】首先判断在弦的垂直平分线上.求得当过圆心时三角形的面积. 若不过圆心，设圆心到的距离为，求得三角形的面积的表达式，利用导数求得面积的最大值.
【详解】圆的圆心为，半径.
，在弦的垂直平分线上，
若过圆心， 则，
若不过圆心，设圆心到的距离为，；
，
，.
，
记，
则，
故在上为增函数，在上为减函数，
，.
故答案为：
【点睛】在求解最值的过程中，可利用导数作为工具来进行求解.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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